Функции
 
 М.И. Беляев, 1999-2007 г,©Вверх Иерархия функций

МНОГОМЕРНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

(страница находится на дооформлении)

1. МАТЕМАТИКА ПРЕРЫВНАЯ И НЕПРЕРЫВНАЯ
Математики уже осознали, что числа бывают не только простые, не только четные и нечетные, не только действительные, рациональные и иррациональные, не только мнимые, но могут иметь еще и иные смыслы, заключенные в сложные высказывания, например, в следующей форме: «Существуют  ли гипердействительные числа в квантово-релятивистской вселенной?» (.http://rusnauka.narod.ru/lib/author/poluyan_pav/2/ ).
Я ни в коем случае не имею намерения опровергать подобные высказывания и обоснования. Я хочу поведать о более прозаичных, но более фундаментальных числах -прерывных и непрерывных.
А почему бы и нет? Вселенная двойственна. Она может быть представлена в виде единственной монады, а может быть раскрыта в многомерную гипер-монаду. На уровне микромира прерывность и непрерывность такой гипермонады проявляется в форме корпускулярно-волнового единства. На уровне макромира мы имеем уже структурно-функциональное единство, а на уровне мегамира подобное единство отражается в двуединстве материи -единстве вещества и поля.
И если подобное единство, отраженное в рычажных весах характеризует единство внешнего и внутреннего, то подобные рычажные весы будут справедливы и для математики, изучающей свойства прерывного и непрерывного.
О взаимосвязи подобных математик свидетельствует, например, следующая теорема Коши
Если функция
непрерывна на отрезке [a, b], то определенный интеграл
существует. Эту теорему можно записать в форме рычажных весов
Дифференцирование функций можно рассматривать как математику прерывного. Здесь целое раскладывается на части -«корпускулярные функции», а правая часть -это математика непрерывного, ибо операция интегрирования говорит об этом сама за себя.
Может быть это не совсем удачный пример, но он демонстрирут, что современная математика также есть единство прерывного и непрерывного.
Но тогда категория прерывности и непрерывности должна распространиться и на числа, т. е м можем вполне обоснованно говорить о рычажных весах двойственных чисел.
Трудно в это поверить непросвященному человеку, но это так.
Вот как пишет А. Махов (Об НЛО) о сути прерывного (дискретного мышления):
«За 2 последних тысячелетия через „божественное“ воздействие тоже будет сделано немало для извращения человеческого сознания, превращения людей в биороботов:
в 933 году Константинопольский Синод осудил понятие реинкарнации как еретическое и изъял его из Библии;
церковь на протяжении многих столетий мечом насаждала христианство на планете, одновременно выжигая огнем инквизиции не только еретиков, но и ученых — за их космогонические теории, не укладывающиеся в рамки религиозных догматов;
с появлением на арене истории таких личностей как Вейсхаупт и Ротшильд, основателей ордена иллюминатов, возник и претворяется план установления единого мирового порядка, в котором основная роль отводится воздействию на сознание;
в конце XVIII века Т. Мальтус предложил использование биологических мер для предотвращения демографического взрыва;
в середине XIX века Ч. Дарвин, основываясь на гипотезе Мальтуса, разработал свои известные теории о происхождении и развитии человека;
Ф. Гальтон, используя работы Дарвина, создал свою „Расовую теорию“;
в середине XIX века В. Вундт выдвинул теорию познания, в которой понятие причины заменяется понятием совокупности условий;
И. Павлов, развивая теорию Вундта, выступил с идеей, что разум человеку не обязателен, что человек — это машина, действующая по принципу „стимул-реакция“ и подлежащая социализации.
Возвращаясь же к вопросу о способе мышления, как очередной факт отметим, что церковь, ссылаясь на слова Христа: „Но да будет слово ваше: „да, да“, „нет, нет“; а что сверх этого, то от лукавого“ (Мат.5,37), окончательно определяет выбор способа мышления в пользу дискретной логики, тем самым поддерживая и закрепляя нынешний путь развития земного сообщества».
Но в этой же статье А. Махов раскрывает и суть иной, непрерывной логики мышления.
Анализируя математическую предисторию нашей цивилизации А. Махов пишет:
«Вчитываясь в тест Обращения:
„…ошибочно и представление о всеобщей трехмерности пространства… Реальная мерность пространства редко является целочисленной… Наилучшим условием для возникновения органической жизни является мерность пространства, равная
-мерное пространство — категория из нецелочисленных. Нам понятно 1-мерное пространство — на численной оси, 2-мерное — на плоскости, 3-мерное — в кубе, параллелепипеде. Оси координат во втором и третьем случаях взаимно перпендикулярны. Можно представить себе 4-мерное пространство, где трехмерное пространство перемещается во времени как по четвертой координате».
Дальнейшее увеличение мерности пространства порождает гиперпространства, свойства которых описываются рычажными весами, по образу и подобию.
Гиперпространство (n-мерность) можно представить в виде n-мерного многогранника с числом вершин 2n.
Но и здесь мерность целочисленна. При такой многогранник превратится в сферу, но это, по нашим понятиям, будет бесконечная целочисленная мерность пространства. Что же касается отрицательной мерности, то у нас на этот счет вообще нет суждений. Значит, здесь в современной математике не все в прядке.
У А. Махова, в его статье приведены достаточно убедительные обоснования непрерывной логики. И они не противоречат Единому закону сохранения двойственного отношения. Мне нечего сказать по существу приведенных А. Маховым обоснований. Я рекомендую читателям ознакомиться с его статьей самым внимательным образом, чтобы лучше осознать и связать его обоснования с ходом дальнейших размышлений.
В этой статье обосновывается взаимосвязь чисел 12 и 60 и другая важная информация о сути непрерывной логики. Следующий рисунок дает самые первые представления, увязывающие число «
рис. 1−1
Приведенные на графике кривые пересекаются в точке „0,9493292102…“. нетрудно увидеть, что следующий лепесток начнет вить свой узор, начиная именно с этой точки, которая станет для него „нулевой“.
„И Последний становится Первым“. Так говорится в Библии по поводу свойств подобных сингулярных точек пространства-времени.
Можно теперь сказать, что Единица качества может быть как прерывной, так и непрерывной.
Прерывная Единица качества характеризует эволюцию двойственного отношния в рамках закона отражения (С-инвариантности), а непрерывная — характеризует свойства „зазеркальной“ математики.
В чем смысл этих форм математики?
Здесь господствуют взаимодополнительные математические операции.
Здесь все числа -непрерывные, т. е. все эти числа меньше Единицы качества.
Все математические операции над такими числами приводят к результату, который всегда должен быть меньше Единицы. Возможно ли такое представление, в рамках непрерывной математики?
Известно, что число —  отношение длины окружности к его диаметру, и тогда понятие „мерность“ необходимо отнести к длине замкнутой кривой: в нашем случае — к эллипсу, как форме огибающих земного эллипсоида. Определяя мерность эллипса как отношение длины огибающей эллипса к величине его большой оси, стало возможным перейти в рассуждениях от эллипса (на плоскости) к эллипсоиду вращения (в простанстве).
Заметьте, А. Махов пишет об отношении, которое позволяет, в итоге, получить численное выражение для определения мерности пространства любой точки эллипсоида вращения (ρ). Как на его поверхности, так и, собственно, в его простанстве, ибо в каждой точке это отношение будет уже иным.
Все непрерывные числа располагаются в плоскости экватора материальной точки.
Максимальное значение непрерывного числа достигается в центре Единичной сферы. И здесь мы видим, что такое число двойственно. Единичное значение здесь равно диаметру единичной сферы, но противоположность знаков приводит к нормировке, уравновешивающей значения числа из нижней и верхней полусферы.
Все остальные числа также двойственны, но их значение априори всегда будут меньше единицы.
Итак, мы сталкиваемся с математикой, в которой существует два предела.
Один нижний. Здесь значение числа равно нулю (в любой точке, лежащей на экваторе числовой сферы). В этой точке „энтропия“ числа максимальна).
В центре плоскости экватора числовой сферы мы имеем другой предел Единицы качества. Этот предел является единственным (но двойственным значением). В этой точке энтропия числа равна минимуму.
Один предел будет характеризовать нижний предел Меры чисел. Это „нуль“ рычажных весов чисел.
Другой-характеризует бесконечно большое число — целостную ЕДИНИЦУ КАЧЕСТВА.
Таким образом, диапазон значений чисел, лежащих внутри сферы, определяется радиусом сферы. Достаточно теперь любое число умножить н радиус, и мы получим абсолютное значение числа. т.е. непрерывная математика является относительной. Радиус сферы является ее „мировой константой“, определяющей подобие разных сферических математик.
Точки (числа) круга обладают теми же свойствами, что и числа Русской матрицы. Они даже триедины, уже по определению.
Во-первых, сама точка круга может представляться как проекция двух чисел, лежащих на верхней и нижней полусферах. Таким образом, каждая точка круга может рассматриваться как Великий предел двух точек расположенных на взаимодополнительных полусферах.
Во-вторых, между любыми двумя точками круга существует собственная Мера, через которую могут быт выражены рассматриваемые числа.
Если точки лежат на одной прямой, проходящей через центр вращения (сферы или одного из двух фокусов эллипсоида) то мы получаем очень интересный результат.
Рассмотрим случай, когда такие точки лежат на окружности экваториального круга.
Из небесной механики известно (закон Кеплера), что площадь, ометаемая радиусом-вектором в единицу времени есть величина постоянная.
Этот закон можно переписать в виде рычажных весов
А теперь это свойство чисел экваториального круга можно распространить на любые два числа, лежащие на вращающейся вокруг фокуса прямой. И векторы скорости будут характеризовать Меру взаимоотношений этих чисел. Для интереса заметим, что в круге векторы скорости будут равны, т. е.отношения и радиусов и скоростей будет единичным.
Весь диапазон чисел в такой относительной математике определяется площадью круга- . Но при единичном радиусе мы получаем, что все многообразие чисел определяется числом
Мы получили очень интересный результат, позволяющий более глубоко осознать смысл этого замечательного числа. Не правда ли?
Но, с другой стороны, мы знаем, что длина всей окружности равна И снова мы получаем, что в нормированной сфере (МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКЕ), длина окружности равна 2 Здесь радиус r как бы вынесен за пределы нормированного круга
Столько двойственных чисел располагаются на экваторе единичной сферы.
Посмотрите, мы получили ошеломляющий результат. Общее количество чисел, располагающихся на окружности экватора единичной сфере больше в два раза всех чисел, располагающихся внутри круга. Странный и пока не совсем понятный парадокс...Как предпосылку для объяснения сути такого феномоена можно выдвинуь предположение. что такой парадокс рождается в результате последовательного перебора всех чисел на окружности и что радиус окружности для исходного числа и результирующего может не совпасть…
Но рассмотрим теперь деформированную Единичную сферу-эллипсоид.
Диаметр эллипсоид вращения будет являться эллипсом, эксцентриситет которого будет определяться выражением
где, а и b соответственно большая и малая полуось эллипса.
Обозначая выражение в скобках через b, мы получим известную из специальной теории относительности ( в преобразований Лоренца, приведенных выше) аналогичное выражение. Не правда ли, очень занимательное совпадение. Да совпадение ли это? Оказывается, что вся специальная тория относительности лежит в Единичной сфере радиуса, равного скорости света.
Эллипсоид вращения СТО, все числа которого находятся в пределах, ограниченных большим и малым диаметром эллипсоида вращения. Тогда, когда материальная точка находится в покое, эксцентриситет равен нулю и мы будем иметь правильную Единичную сферу.
Это состояние и будет состоянием покоя тела в инерциальной системе сферы вращения.
Если теперь рассмотреть крайний случай СТО — когда скорость движения материальной точки и скорости света сравняются, то мы получим эксцентриситет эллипсоида равным
Мы получили снова очень занятный результат, причем возведение нуля в нулевую степень порождает Единицу нового качества, т.е. в результате мы получили „материальную точку“ на окружности эллипсоида вращения, в котором отношение большой и малой оси стали единичными.
Естественно, что вырваться за пределы такой специальной теории относительности современная математика не в состоянии. Мы никогда не достигнем вершины, где располагается непрерывная Единица качества („сизифов труд“). Мы испытаем либо „отражение“, либо „преломление“.
Кстати, возможно, что зная большую и малую полуоси земного эллипсоида вращения, нетрудно вычислить и его эксцентриситет и, следовательно, мы можем получить скорость движения планеты в некой абсолютной инерциальной системе (даже не в Солнечной системе).
Математика — один из ключевых инструментов для всех остальных наук, всего нашего бытия. И потому именно в этой сфере в первую очередь необходимо ее периодическое переосмысление.
2. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Если сами числа начинают характеризоваться отношениями прерывности и непрерывности, то таким же отношениями будет характеризоваться и пространство-время.
Напомним азы векторного умножения.
Взаимосвязь законов сохранения можно более глубоко осознать во вращающемся кресте (рис. 2). Эти законы являются всеобщими и потому проявляются на всех уровнях мироздания (и не только в физике и др. естественных науках).
Рассмотрим проявления этих законов на некоторых фундаментальных примерах.
Для более лучшего понимания законов сохранения напомним правила векторного умножения на примере векторов электромагнитного поля
Е-вектор напряженности электрического тока,
H—  вектор напряженности магнитного тока
рис. 1-2
Правило перемножения векторов гласит, что умножение двух векторов, лежащих в одной плоскости, порождает третий вектор, ортогональный данной плоскости, а его направление определяется правилом буравчика. Если мы будем перемножать векторы в порядке следования против часовой стрелки (правый винт), то результирующий вектор будет направлен вверх. В противном случае результирующий вектор будет направлен вниз (левый винт).
Геометрическая интерпретация векторного произведения в зеркальном отражении выявляет отличие в направлениях „базисных орт“ электромагнитного поля. Вектор Е в данном зеркале отражается в противофазе, вектор H характеризуется параллельным переносом, а вектор X переносится в противофазе.
Векторы H и Е называют полярными векторами, а вектор X называется аксиальным.
2.1. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
К началу III в. до н. э. в работах древнегреческого ученого Аристотеля была сформулирована идея построения научной теории. Применительно к геометрии ее реализовал Евклид в своей работе „Начала“. На основании накопленных к тому времени фактов и знаний он выделил и сформулировал несколько утверждений (постулатов), принимаемых без доказательств, из которых выводились их логические следствия в виде теорем. Система Евклида явилась первым опытом применения аксиоматического метода и просуществовала без изменений до XIX века н. э.
Среди аксиом Евклида был пятый постулат о параллельных линиях: если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с одной стороны. В современной формулировке она говорит о существовании не более одной прямой, проходящей через данную точку вне данной прямой и параллельной этой данной прямой.
Сложность формулировки пятого постулата породила мысль о возможной зависимости его от других постулатов, и потому возникали попытки вывести его из остальных предпосылок геометрии. Как правило, это заканчивалось неудачей. Были попытки доказательства от противного: прийти к противоречию, предполагая верным отрицание постулата. Однако и этот путь был безуспешным.
Наконец, в начале XX века почти одновременно сразу у нескольких математиков: у К. Гаусса в Германии, у Я. Больяи в Венгрии и у Н. Лобачевского в России возникла мысль о существовании геометрии, в которой верна аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную.
В силу приоритета Н. Лобачевского, который первым выступил с этой идеей в 1826, и его вклада в развитие новой, отличной от евклидовой геометрии последняя была названа в его честь „геометрией Лобачевского“.
Аксиоматика планиметрии Лобачевского отличается от аксиоматики планиметрии Евклида лишь одной аксиомой: аксиома параллельности заменяется на ее отрицание — аксиому параллельности Лобачевского
Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка A, что через A проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие a.
Напомним, что аксиома параллельности Евклида гласит:
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
В своей лекции „О гипотезах, лежащих в основании геометрии“, прочитанной в 1854 году, немецкий математик Риман замечает, что в основе всех предшествовавших исследований лежит допущение того, что прямые имеют бесконечную длину, которое является, конечно, крайне естественным. Но что получится, если отбросить это допущение, если, например, вместо него предположить, что прямые — суть линии замкнутые, вроде больших кругов на сфере. Речь идет по сути о различии между бесконечностью и безграничностью; это различие лучше всего можно понять, рассматривая аналогичное соотношение в двумерной области: безграничными являются как обыкновенная плоскость, так и поверхность сферы, но только первая бесконечна, в то время как другая имеет конечное протяжение.
Риман считает пространство лишь неограниченным, но не бесконечным; тогда прямая становится замкнутой линией, на которой точки расположены как на окружности. Если заставить теперь снова, как и прежде, точку P перемещаться по прямой, a все время в одном направлении, то она в конце концов снова вернется к исходному месту, а луч AP вообще не будет иметь никакого предельного положения; не существует вообще никакой прямой, проходящей через точку A параллельно прямой a.
Таким образом у Римана строится второй вид неевклидовой геометрии в противоположность геометрии Лобачевского.
Таким образом, все вышеприведенные геометрии отличаются друг от друга только выбором исходного постулата. Но все эти геометрии содержат общие „геометрические“ свойства. В них существуют собственные линейные и нелинейные пространства (прямые и кривые на плоскости, прямые и кривые на сфере и т. п.). И естественно собственные геометрические точки.
При этом любая геометрическая точка есть вектор. Фигура также есть вектор, полученный путем последовательного обхода ее вершин, а это значит, что любой отрезок, отражающий путь от начала координат до конечной вершины фигуры есть многомерный вектор. Так одномерная точка становится многомерной.
Если свойства такого m-мерного вектора связать с текущим вектором n-го пространства (m>n), то из вершины этого вектора мы „увидим“ все n-мерное пространство. Это „видение“ определяется тем, что именно самый последний вектор характеризует „ось вращения“ всего многомерного пространства вектора.
2.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Все многомерные вектора имеют прерывный характер, т. е. их проекция на выбранную плоскость отражается как ломаная кривая и потому они отражают структурный аспект пространства, как такового.
Этот мир прямых и кривых (ломаных прямых), мир многомерных векоров отражает структурные аспекты Единого.
Но ситуация кардинальным образом меняется, когда возникает „порочный круг“ (m=n). Здесь последний вектор становится первым. Многомерное пространство как бы сворачивается в одномерное -точку. Но эта точка содержит в себе Замысел многомерного вектора.
Так в системе любой природы возникает функциональный аспект Единого. Возникает понятие бесконечномерного вектора, свернутого в точку.
Так возникают рычажные весы Единого Пространства, в единстве структурного и функционального аспектов.
Функциональный аспект отражает суть отрицательной мерности Единого Пространства.
Всем известно, что любая функция имеет вектор цели, т. е. она имеет определенную ориентацию в Едином пространстве.
Так, каждая бесструктурная первочастица микромира, имеет собственную ориентацию в пространства-времени, определяемую ее спином.
Почему бесконечномерного?
К понятию бесконечномерного вектора приводит нас операция деления многочлена на многочлен.
Но в нашем случае гораздо важнее осознать суть этих процессов с позиции деления Единого (Единицы) на ее составляющие.
Рассмотрим следующие рычажные весы бинома Ньютона
В первом случае мы получили двумерный вектор, а во втором -бесконечномерный.
Если теперь с двойственным отношением совместим отношение „ян"-"инь“, то мы получим интересную интерпретацию
В этих рычажных весах левая часть характеризует двойственное отношение-вектор, как внешнюю двойственность. Здесь полюса монады отделены друг от друга, хотя они „неразлучны и неслиянны“.
А вот в знаменателе правой части это беснечномерный вектор с отрицательной мерностью пространства. И деление Единого (Единицы) на бесконечный вектор порождает вектор конечномерный.
Может быть, теперь станет понятным, почему в линейной алгебре запрещены операции деления на вектор (или на матрицу, как проекцию многомерного вектора на плоскость)?
Однако математика едина и в линейной алгебре подобные операции все же присутствуют. Так любая система линейных уравнений может быть приведена к виду
Из этой системы уравнений неизвестные Х находятся по формуле
т. е. операция деления на многомерный вектор, в проекции на плоскость (матрица А) заменена на операцию умножения на обратную матрицу.
Поскольку любое собственное пространство является нормированным (Единичным), то операция деления на линейный вектор транспонирует последний в бесконечномерный вектор, имеющим отрицательную степень мерности. Математики, без тени сомнения манипулирующие мнимыми числами, должны осознать реальность существования пространств с отрицательными степенями мерности.
И тогда мы выходим на новый уровень осознания мнимой единицы
Из этих весов видно, что между единицей структурной (прерывной) и единицей мнимой (функциональной, непрерывной) существует тесная взаимосвязь между функциональным (непрерывным) и структурным (прерывным) пространствами.
Таким образом, всякий раз, когда мы делим Единицу на многомерный, но конечный вектор, мы получаем вектор бесконечномерный.
В функциональном пространстве, также как в линейном и нелинейном пространствах существуют вектор-нуль и вектор-бесконечность.
Смысл этих векторов предельно прозрачен. Вектор-нуль характеризует сходящуюся последовательность (нисходящая спираль) векторов бесконечномерного вектора к нулю (функционального пространства). Вектор-бесконечности характеризует расходящуюся последовательность (восходящая спираль) векторов бесконечномерного вектора.
3. МАТЕМАТИКА НЕПРЕРЫВНОЙ ДВОИЧНОСТИ.
3.1. Аксиоматика квантовой механики. Гильбертово пространство
В конце 50-х — начале 70-х годов XX века значительные усилия физиков-теоретиков были нацелены на разработку аксиоматики квантовой теории. Предпринимались попытки на строгой математической основе разобраться в том, какие принципы и понятия заложены в фундамент квантовой теории поля (квантовой механики). На основе этого анализа надеялись понять источник трудностей квантовой теории как концептуального, так и технического характера, в частности, прояснить причины возникновения расходимостей. Примечательно, что за исходные стремились выбратъ. не те положения, которые непосредственно связаны со свойствами классического пространства-времени, а некоторые абстрактные принципы: суперпозиции, причинности, симметрии, аналитичности и другие.
Следует напомнить, что, во-первых, разработка аксиоматики представляет собой метафизическую задачу. Во-вторых, при построении аксиоматики вольно или невольно закладывается та или иная метафизическая парадигма. В-третьих, всякая аксиоматика лишь уточняет и систематизирует сложившиеся представления, а в данном случае это была квантовая теория в копенгагенской интерпретации, т. е. в ней так или иначе были представлены свойства классического пространства-времени. Тем не менее, анализируя минимальные системы примитивов и аксиом, составляющих фундамент квантовой теории, удается выделить ряд ключевых положений (понятий и закономерностей), общих как для дуалистической, так и монистической парадигмы.
Принято различать квантовую механику и квантовую теорию поля, где используются методы вторичного квантования. Сначала обсу­дим аксиоматику квантовой механики, придерживаясь ее изложения в книге П. А. М. Дирака „Принципы квантовой механики“ [41], в которой автор фактически стремился выйти на монистическую парадигму или, по крайней мере, обратиться макропонятиям как можно позже. В качестве ключевых понятий (примитивов аксиоматики) Дирак выбрал состояние системы (из частиц и переносчиков взаимодействий) и динамических переменных. Он писал: „Состояния и динамические переменные должны характеризоваться математическими величинами другой природы, чем те, которые обычно используются в физике. Новая схема станет точной физической теорией, если будут перечислены все аксиомы и правила действия для математических величин и если, кроме того, будут установлены некоторые законы, связывающие физические факты с математическим аппаратом“ [41, с. 31].
Аксиоматика квантовой механики Дирака, как и аксиоматика геометрии, состоит из нескольких блоков, которые разобьем на две части. Первую часть составляют блоки аксиом гильбертова пространства, которые имеют наиболее фундаментальный характер, подчеркивавшийся многими исследователями.
1. Аксиомы векторного пространства
В качестве исходного момента для развертки аксиоматики выбран принцип суперпозиции для состояний квантовомеханических систем, который можно усмотреть уже в волновых уравнениях квантовой механики. Поскольку они линейны, то обладают тем свойством, что сумма двух решений также является решением, а каждое решение трактуется как состояние. Этот принцип не имеет прямого классического аналога. „В классическом смысле слова нельзя представить себе, что система находится частично в одном состоянии, а частично в другом и что это эквивалентно тому, что система целиком находится в некотором третьем состоянии. Здесь вводится совершенно новая идея, к которой нужно привыкнуть и на основе которой следует далее строить точную математическую теорию, не имея при этом детальной физической картины“ [41, с. 29].
Математическая реализация этой идеи достигается в рамках понятий векторов, точнее, элементов линейного векторного пространства. Как известно из геометрии, сумма двух векторов также является вектором.
Отличие от привычных векторов заключается в том, что обычно имеют дело с векторами в пространствах конечного числа измерений, а в данном случае пространства могут быть бесконечномерными.
Дирак разработал специфическую систему обозначений, в которой вектор, А изображается в обрамлении сориентированной скобки (кет) вида . Названное выше свойство суперпозиции означает, что любым двум векторам и из данного линейного векторного пространства однозначно сопоставлен третий элемент этого же векторного пространства, что в обозначениях Дирака записывается следующим образом
Определенная в линейном векторном пространстве операция сложения векторов обладает обычными свойствами:
Кроме того, постулируется существование нулевого состоянии (нулевого вектора) такого, что
Эти свойства означают, что состояния (векторы) образуют абелеву группу.
Для элементов линейного векторного пространства также определена операция умножения на комплексные числа, обладающая свойством дистрибутивности. Напомним, это означает, что, если
, где С - поле комплексных чисел, то имеют место соотношения:
Принцип суперпозиции и связанное с ним линейное векторное пространство составляют устойчивое ядро многих аксиоматик квантовой механики (теории).
Перечисленные свойства в совокупности определяют линейное векторное пространство. Легко проверить выполнимость всех этих свойств для решений линейных волновых уравнений, записанных в предыдущих главах.
Заметим также, что эти свойства, как правило, нарушаются в случае нелинейных уравнений. Это послужило одной из основных причин неудач при разработке программ построения единой нелинейной теории поля.
2. Аксиомы скалярного произведения
В линейном векторном пространстве нет понятия длины. Строго говоря, два вектора, отличающиеся комплексным множителем, следует считать за один и тот же вектор, т. е. свойств линейного векторного пространства недостаточно для построения квантовой теории. Для определения амплитуды вероятности процессов необходимо ввести в векторное пространство операцию скалярного произведения векторов, означающую, что каждой паре элементов линейного векторного пространства поставлено в соответствие комплексное число, - своеобразная метрика.
Отметим, что понятие метрики составляет собой другой примитив аксиоматики.
Важно отметить, что для определения операции скалярного произведения Дираку и другим потребовалось ввести пространство со-векторов, строящееся из элементов пространства векторов: каждому вектору
соответствует со-вектор , изображаемый в иначе ориентированных обкладках (брэк). Скалярное произведение вектора
Скалярное произведение на изображается в виде символа упорядоченного
, где вместо первого вектора берется со-вектор, а вертикальные линии двух составных частей совмещаются друг с другом. Таким образом, в обозначении скалярного произведения два вектора оказываются заключенными в своеобразные скобки. (По-английски bracket (скобка) состоит из двух слогов: brae (брэк) и ket (кет).)
Скалярные произведения обладают следующими свойствами:
, где черта сверху означает комплексное сопряжение,
т. е. перестановка местами двух векторов приводит к комплексно сопряженному результату;
- множитель (С-число) выносится за знак скобки:
В выражении г) введена длина (норма) вектора, которая характеризуется вещественным положительным числом.
Перечисленные два блока свойств определяют так называемое унитарное или предгильбертово пространство.
Этот блок аксиом квантовой механики имеет глубокое метафизическое содержание, особенно важное для интерпретации квантовой механики в монистической парадигме.
Во-первых, определение векторов и со-векторов состояний можно понимать как проявление двух противоположностей платоновской диалектики, -двух сторон единого (двуединого) первоначала.
Во-вторых, в данном блоке аксиом определено скалярное произведение векторов, описывающих начальное и конечное состояния системы. Комплексное число, которым характеризуется скалярное произведение, описывает амплитуду вероятности перехода между этими состояниями — третье метафизическое начало квантовой механики, соответствующее аристотелевской сущности. Таким образом, в этом блоке аксиом заложена как двоичность, так и троичность метафизической системы (монистической парадигмы).
3. Гильбертово пространство
В квантовой теории используется векторное пространство с условиями непрерывности (полноты). Не будем выписывать все необходимые для этого понятия и определения, полагаясь на интуицию читателя, знающего хотя бы в общих чертах, как в математике определяется непрерывность. Отметим, что Дирак также уходит от деталей, заявляя: „Пространство векторов и со-векторов, имеющих конечную длину и конечное скалярное произведение, называется математиками пространством Гильберта“.
Однако следует заметить, что в квантовой теории фактически используются более общие пространства, чем пространство Гильберта, так как во многих случаях встречаются векторы с бесконечной длиной. Это подсказывает, что в данном блоке аксиом содержатся некоторые избыточные условия на квантовомеханические системы. Впрочем, это характерно и для аксиоматики геометрии пространства-времени, где, кроме точек с реальными частицами, рассматриваются и все промежуточные (пустые) точки.
Установим следующие параллели между примитивами аксиоматики гильбертова пространства, аксиом геометрии и ключевыми физическими категориями:
состояние системы - геометрическая точка - категория частиц;
скалярное произведение - метрика - категория переносчиков взаимодействий;
непрерывные множества - категория пространства-времени.»
В этом случае аксиоматика векторных пространств в какой-то мере заменяет аксиомы порядка в геометрии, аксиомы скалярного произв­дения векторов соответствуют метрическим аксиомам в геометрии, а понятие непрерывности (полноты) в пространстве Гильберта — топологическим аксиомам в геометрии.
3.1. Линейные операторы
Физики хорошо знают, что любая информация о микросистеме может быть получена на языке наблюда­теля, оперирующего лишь с классическими понятиями. Во всех учебниках по квантовой механике подчеркивается, что для получения классических характеристик микрочастиц необходимы физи­ческие объекты, которые сами описываются классическими понятиями, т. е. нужны макрообъекты. Процесс измерения сводится к взаимодей­ствию микрочастицы с макрообъектом, состояние которого изменяется. Другими словами, в любом случае возникает необходимость описывать микросистему как двойственное отношение «внутреннее-внешнее».
Математически это выражается с помощью операторов (линейных операторов), действующих на волновую функцию частиц.
В квантовой механике операторы соответствуют неким идеализированным макроприборам. Различают макроприборы, которые служат для измерения координат частиц или для измерения их импульсов. Это два предельных случая.
Линейные операторы в самом общем случае представляют собой функции, ставящие в соответствие одному состоянию некоторое другое состояние так что
где символом обозначен линейный оператор.
Линейные операторы, которые будем обозначать греческими буквами со шляпкой, обладают рядом привычных свойств, аналогичных свойствам векторов состояний:
При этом следует особо подчеркнуть, что в общем случае операторы не обладают свойством коммутативности, т. е. результат их действия зависит от их порядка.
Как пишет Дирак, «линейные операторы соответствуют динами­ческим переменным в тот же момент времени. Под динамическими переменными следует понимать такие величины, как координаты, ком­поненты скорости, импульса или момента количества движения частиц, а также функции от этих величин, т. е. все те переменные величины, ко­торые используются при построении классической механики. Из нового предположения следует, что эти величины должны встречаться также и в квантовой механике, однако, характерной особенностью является
то, что теперь эти величины подчиняются алгебре, в которой не выполняется коммутативный закон умножения» [41, с. 45]. Это важное утверждение (вместе со свойствами представлений) связывает аксиомы гильбертова пространства с классическим пространством-временем и всеми сопутствующими ему понятиями, составляя математический аппарат квантовой теории.
Важное место занимают понятия собственных векторов и собственных значений операторов. Напомним, что если для некоторого оператора, а и некоторого вектора \А) имеет место соотношение
(5.5.6)
где, а — некоторое число, товектор \А) называется собственным векто­ром, а число, а — собственным значением данного оператора а. Особое значение имеют операторы, обладающие вещественными собственными значениями, называемые эрмитовыми операторами. Именно через эр­митовы операторы в теорию вводятся наблюдаемые величины.
Так, в координатном представлении операторы импульса и коорди­наты имеют вид:
(5.5.7) а в импульсном представлении
(5.5.8)
В квантовой механике невозможно одновременное измерение положения частицы и ее импульса. Это выражается посредством некоммутативности их операторов и соответствующего им принципа неопределенности.
© Беляев М. И., «МИЛОГИЯ», 1999-2006г.
Опубликован: 13/04/2006г.,
Сайт ЯВЛЯЕТСЯ ТВОРЧЕСКОЙ МАСТЕРСКОЙ АВТОРА, открытой для всех посетителей.
Убедительная просьба сообщать о всех замеченных ошибках, некорректных формулировках.
Книги «Основы милогии», «Милогия» могут быть высланы в Ваш адрес наложенным платежом,
URL1: www. milogiya2007.ru e-mail: milogiya@narod.ru
Архив 2001 г:URL1: www.newnauka.narod.ru Архив 2006 г: URL1: www. milogiya. narod.ru