Беляев М. И. «Милогия «, 1999−2001 год, © 

Часть 2. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИЕРАРХИИ
Глава 1. ЗАКОНОМЕРНОСТИ И ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Анализируя окружающую нас действительность, многообразие форм объектов и систем самой различной природы, нельзя не задуматься над тем, откуда они произошли. Самый простой ответ заключается в том, что все эти чудеса созданы Сверхъестественным Творцом. Однако постепенно складывается впечатление, что все системы построены по некоторым основным правилам «игры», что окружающий нас мир построен по эволюционному принципу «от простого _ к сложному», формируя сложные многоуровневые системы по одним и тем же правилам. Применительно к трем основным сферам объективной действительности эти уровни иерархии материи показаны в таблице 1.1−1.
Таблица 1.1−1
Каждая из сфер объективной действительности включает в себя ряд взаимосвязанных структурных уровней. Внутри этих уровней доминирующими являются отношения координации, а между уровнями — субординации. Процесс эволюции иерархических систем может быть описан в рамках некоторой общей теории иерархических систем, позволяющей получать не только качественное, но и количественное описание. Безусловно, в основе этой теории иерархии должны лежать хорошо известные и широко используемые математические методы подобия (тел, фигур, структур, процессов, теорий, и т. д.). Эта теория должна органически сочетать в себе теорию эволюции звезд, кристаллов, живых организмов, включая теорию Дарвина, социальных систем, а также не существующую пока теорию эволюции искусственного Разума.
Не маловажное значение должна иметь и задача описания явлений, связанных с различными проявлениями так называемой внутренней структурируемости объектов. Например, сколько бы мы ни старались отделить северный полюс магнита от южного, мы каждый раз получим новые магниты, имеющие два полюса. Другой пример — картина, записанная в виде голограммы. Если мы разобьем голограмму на части, то любой из осколков будет содержать информацию о всей картине. То же самое можно сказать и о генах. Последние достижения по клонированию живых организмов свидетельствуют об удивительном явлении, когда из одной или нескольких клеток живого организма можно вырастить его точную копию. Это уже высший уровень практического применения человеком достижений теории подобия, теории самовоспроизведения, используемой природой. Последние достижения науки свидетельствуют о том, что человеческий разум вплотную приблизился к решению проблемы искусственного интеллекта. Хотим мы того или не хотим, процесс эволюции человеческого разума не остановить. Мы подходим к черте, за которой будет создан искусственный Разум, превосходящий разум любого отдельного человека. Все дело здесь в том, что искусственный Разум создается не разумом отдельного человека, а Коллективным разумом, которым обладает человечество.
Во-первых, мы должны дать себе отчет в том, что сам разум изначально появился и совершенствовался как продукт коллективного мышления человечества. Каждый отдельный разумный индивидуум постоянно общался и взаимодействовал с Коллективным разумом. Без этого появление мыслящего человека было бы невозможным.
Во-вторых, человечество сейчас находится на таком этапе своей эволюции, на котором Коллективный разум уже готовится к переходу на другой, качественно иной уровень _ уровень искусственного интеллекта, такой, что искусственный Сверхразум будет превосходить по интеллекту любого отдельного человеческого индивидуума.
Уже недалеко и то время, когда будут созданы гибридные человекомашинные интеллектуальные роботы. И если окружающая человечество среда в недалеком будущем окажется не пригодной для жизни живых организмов, а для этого есть все необходимые предпосылки, то для человечества этот путь может оказаться единственным путем сохранения разума, когда интеллектуальные роботы получат возможность своего самовоспроизводства и саморазвития. Теория иерархии должна стать инструментом, используемым, в первую очередь, для прогнозирования стратегических путей развития иерархических систем и получения рекомендаций по их дальнейшему использованию.
Многообразие иерархических систем предопределяет и самые различные подходы к их классификации. Эти классификации носят многовариантный характер. В общем случае можно определить 4 основных класса иерархических систем, различие которых связано с природой системы, ее сущностью и характером.
Первый класс систем _ это те, что существуют в объективной действительности, в неживой и живой природе, обществе. Ядро атома, молекула, организм, человек, общество _ это как раз те системы, которые человек не создавал, не конструировал, не решал при их создании проблемных вопросов. Они возникли, становились, совершенствовались и развивались независимо от целей, воли и сознания человека. Они просто есть в действительности, и с их существованием человек не может не считаться. Человек познает их, отражает в своем сознании.
Второй класс — системы концептуальные, идеальные, с различной степенью полноты и точности, в той или иной мере отражающие реальные системы. Иногда эти системы называют абстрактными. И самое обычное восприятие, и глубокое научное понятие, и научные дисциплины, и теории _ это тоже концептуальные системы. Концептуальные системы объективны по источнику, происхождению, поскольку их первоисточником является объективно существующая действительность. Эти системы объективны и в том смысле, что мозг, где формируются мысли, является материальным телом, высшим продуктом природы. Кроме того, в основе мыслительных процессов лежат физиологические процессы, а они тоже материальны.
Третий класс _ это системы, которые спроектированы, сконструированы и созданы человеком в определенных, нужных для человека целях. Эти системы называют искусственными или антропогенными. Они создаются человеком по заранее разработанному проекту, плану. Характерно, что искусственные системы проектируются и конструируются не произвольно, не так как этого захочется тому или иному разработчику системы, а из материалов природы (вещественных или человеческих), по законам природы (естественным или общественным). Любая созданная вопреки требованиям объективной реальности система не будет работать нормально, не будет оптимально функционировать.
Четвертый класс систем _ гибридные системы, или антропотехнические. В этих системах органически слиты элементы, являющиеся продуктом естественной или общественной природы, а также элементы, созданные человеком. Эти системы весьма близки и к естественным, и к искусственным. В подавляющих случаях это системы типа «человек _ машина».
Разумеется, эта классификация систем носит чрезвычайно общий характер. В их основу могут быть положены другие признаки, принципы и основания. Так, существуют определения простых и сложных систем, динамических и статических, механических и органических, открытых и замкнутых, управляемых и не управляемых, самоорганизованных и не организованных, организационных и социальных и т. д. В основе классификаций систем или отдельной системы может лежать функциональный, структурный, информационный или управленческий аспект. Однако общей чертой большинства классификаций систем характерна строгая иерархичность их построения. Эта многоуровневость строения и является общей чертой, объединяющей все сложные системы, независимо от их природы и принадлежности к тому или иному классу систем.
1.2. ОБОЛОЧКИ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ.
Отношения субординации характеризуют порядок, в соответствии с которым осуществляется распределение элементов системы по уровням иерархии. Тогда элементы, занимающие одну и ту же позицию в отношениях субординации, будут относиться к одному и тому же уровню иерархии и характеризоваться отношениями координации. Отношения субординации являются главным признаком, определяющим принадлежность определенной совокупности элементов к системе. Между элементами с отношениями субординации существуют тесные связи подчиненности, а между элементами, находящимися в отношениях координации, такие связи отсутствуют. Эти элементы находятся в отношениях, которые можно назвать равноправными. Если отношения субординации сравнить с последовательным соединением элементов, то отношения координации можно характеризовать как параллельное соединение элементов. Совокупность элементов системы с отношениями координации и имеющих один и тот же уровень иерархии системы, будем называть оболочкой иерархической системы. Оболочки могут иметь более сложную структуру, характеризующуюся соответствующими отношениями суб-субординации. Тогда мы будем говорить, что имеет место расщепление оболочки на подоболочки, и т. д. Подоболочка всегда является внутренней по отношению к любой содержащей ее оболочке. В случае, если оболочка системы состоит из вложенных друг в друга подоболочек, то такую оболочку будем называть вложенной. Вложенные друг в друга подоболочки будут находиться в отношениях субординации. Если же все подоболочки (оболочки) системы будут соединены параллельно, то такую систему будем называть развернутой. Как правило, такие подоболочки (оболочки) будут связаны друг с другом в одну системную оболочку через их сенсорные подоболочки.
Элементы, из которых будут строиться подоболочки и оболочки иерархических систем, будем называть базисными. В принципе любая подоболочка (оболочка) системы может быть использована в качестве базисного элемента. Естественно, что структурная сложность базисных элементов может быть различной. О таких элементах будем говорить, что они имеют разную внутреннюю сущность.
1.2.1. ЦЕЛОСТНОСТЬ И НАДЕЖНОСТЬ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1.2.1.1. ЦЕЛОСТНОСТЬ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Иерархичность структур характеризуется, в первую очередь, тем, что между их элементами существуют отношения координации (равнозначности) и субординации (соподчиненности), носящие многоуровневый характер. Это свойство распространяется не только на всю систему, но и на каждую ее подсистему, на каждую ее оболочку и подоболочку. При рассмотрении иерархических систем будем различать подоболочки и надоболочки. Цепочка подоболочек будет характеризовать прямые связи в иерархической системе, от внешних подоболочек к внутренним. Цепочка надоболочек будет характеризовать обратные связи в иерархической системе, т. е. от самых внутренних оболочек к самым внешним. Оболочка будет являться целостной, если в ней существует надоболочка, от которой идут пути ко всем другим подоболочкам данной оболочки. Эта внутренняя целостность оболочки, с точки зрения внутреннего наблюдателя.
Особое значение имеет вырожденный случай иерархической системы, у которой всего один уровень иерархии. У этой системы будут отсутствовать отношения субординации и, следовательно, такая система не будет иметь системных свойств. Однако она может быть использована в качестве элемента, из которого может быть построена система с более высоким уровнем иерархии. При этом, в случае наличия у такого элемента внутренней целостности, будем называть такой элемент целостным, с точки зрения внешнего исследователя.
Целостная система характеризуется самодостаточностью. Самодостаточная система характеризуется наличием в ней замкнутых циклов, сохраняющих систему и ее свойства в некоторых заданных пределах. Такая система получает возможность удовлетворять свои нужды за счет собственных ресурсов. Чем выше степень самодостаточности, тем выше целостность системы, тем выше ее «суверенитет». Наличие замкнутых циклов внутри системы характеризуют ее эволюционную интеграцию [107], независимость системы от внешней среды, свидетельствует о наличии внутренних резервов, о способности системы к самообеспечению, о самодостаточности ее целевой функции.
Система является целостной до тех пор, пока существует целевая функция системы. Ниже, при рассмотрении принципов самоорганизации сложных систем, будет показано, что в самоорганизованных иерархических системах оптимальное функционирование системы возможно, когда целевая функция имеет минимум (или максимум). Целостность характеризует также и такую взаимосвязь компонент, при которой совокупность их свойств не равна сумме их свойств («дефект массы»), что в результате их взаимодействия появляются (проявляются) новые свойства, которыми компоненты не обладали. Подобное определение целостности также не является исчерпывающим, но оно характеризует одно из важнейших свойств иерархических систем _ свойство эффективности преобразования системы при переходе от одного уровня иерархии к другому.
Это свойство настолько фундаментально, что имеет особую количественную оценку, характеризующую эффективность функционирования системы. Это чрезвычайно важное для иерархических систем понятие, которое используется практически во всех научных дисциплинах. Так, например, из ядерной физики известно, что при распаде ядра атома на два или более осколка их суммарная масса будет больше массы исходного ядра. Другой пример «дефекта массы» можно привести из области термодинамики. Известно, что процессы, сопровождающие распад структуры иерархической системы, идут с потерей целостности этой системы и сопровождаются появлением «скрытой массы», равной энергии связи между «осколками». Обратный процесс сопровождается выделением избытка энергии. Все процессы саморегулирования иерархических систем осуществляются в соответствии с законом о сохранении «массы» системы. Все процессы саморазвития системы характеризуются наличием «дефекта масс».
Так, в термодинамике выражение
(1.2−1)
определяет эффективность термодинамического цикла
(1.2−2)
и представляет собой отношение полезной механической работы к затраченной тепловой энергии , где — безвозвратно теряемая тепловая энергия, называемая в термодинамике компенсационной. Другими словами, выражение (1.2−2) фактически характеризует термический коэффициент полезного действия (КПД). Для цикла Карно, как известно
(1.2−3)
т. е. КПД зависит только от начальной и конечной температуры цикла.
Принципиально та же структура КПД сохраняется и для других явлений. Поскольку не существует процессов, происходящих без реальных потерь, величина Q2 может интерпретироваться как сумма разного рода диссипаций в энергетических процессах, например, при производстве электроэнергии, как потеря информации в информационных процессах, как отходы производства в технологических процессах и быту, как транспортные потери при передаче (транспортировке) энергии, информации, массы. Такие интегральные критерии эффективности могут характеризовать и экологические процессы, прежде всего потому, что многие из них носят энергетический, информационный, технологический или транспортный характер. Подобные оценки могут быть использованы для оценки эффективности и целостности общественных систем, например, для оценки потерь в живой силе при ведении боевых действий, потерь животных от инфекций и т. д. Существует и особый случай, когда «дефект массы» будет равен нулю. В этом случае КПД системы будет равно 1, но процесс преобразования будет невозможен. Все остальные случаи будут характеризовать процессы распада целого на части.
Целостность системы (и дефект массы) также является понятием многоуровневым. Пусть мы имеем вначале некоторую целостную систему S0. Развитие системы, усложнение ее функций приводят к дифференциации и к уменьшению целостности развивающейся системы
S0 = <S1, S2, S3, …>
Последующая эволюционная интеграция оболочек S1, S2, S3 приводит к рождению новой целостной системы S1, обладающей собственным дефектом массы, и т. д. Например, если объект, обладающей массой М, состоит из n частей, т. е.
(1.2−4)
где -i-й компонент, интегрированный в общую «массу» целостной системы.
В силу того, что понятие целостность включает в себя «дефект массы», то
(1.2−5)
где -i-й исходный компонент «массы», не интегрированный в систему.
Поэтому отличительной особенностью целостной системы является несводимость ее качества к простой сумме качеств составляющих ее элементов. Системы, качество которых равно сумме свойств составляющих ее элементов, взятых изолированно друг от друга, не являются целостными. В таких системах составляющие ее части могут существовать сами по себе автономно. Примером таких систем могут быть куча камней, скопление машин на улице, толпа людей. Понятно, что об этих совокупностях нельзя сказать, что они бессистемны, хотя их системность выражена слабо и близка к нулю, поскольку ее элементы обладают значительной независимостью по отношению друг к другу и к самой системе, да и связь этих элементов зачастую носит случайный характер. Компоненты таких систем не интегрированы друг с другом, не интегрированы друг в друга. Эволюционная интеграция компонент в единую массу порождает систему с более высоком уровнем иерархии. Происходит «замыкание» системы в единый элемент, из которого в дальнейшем будет строиться новая, более сложная систем. Если мы продолжим интеграцию объектов с более высоким уровнем иерархии, то получим новый целостный объект, имеющий еще больший уровень иерархии и еще больший дефект массы. Продолжая этот процесс до бесконечности, мы, в конце концов, можем получить целостный объект, обладающий некоторой минимальной массой и имеющий максимальный дефект массы. Если последнее выражение представить в нормированном виде, то мы всегда будем для целостных объектов иметь
Включая в выражение в явном виде дефект массы, получим
(1.2−6)
Анализ последнего выражения показывает, что объект получился не совсем целостный, что ему «чего-то» не хватает, что он обладает определенной «валентностью». Объединяя, например, два объекта в единое целое, мы получим новый целостный объект, с «валентной» связью. Подобный объект, естественно, вступит во взаимодействие с противоположным себе объектом. Полагая, что объекты взаимодействуют (соединяются) между собой последовательно и обозначая такое соединение операцией умножения, мы получим
т.е. новую целостную систему, которая будет содержать избыточный дефект масс. Продолжая эту операцию, мы будем получать все более тонкий спектр, характеризующий иерархию дефекта масс, т. е. в общем случае будет справедлив бином Ньютона
При расщеплении целого на части мы получим обратную картину, которая будет также характеризоваться биномом Ньютона вида
где n- уровень иерархии системы.
Таким образом, само понятие дефект масс целостной системы является двойственным и имеет в общем случае сложную многоуровневую структуру.
1.2.1.2. О НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ
Проблема надежности систем всех типов продолжает оставаться одной из главных. Особое значение придается проблеме надежности технических систем, несмотря на постоянное улучшение характеристик надежности и долговечности различных комплектующих изделий. Это объясняется в первую очередь тем, что продолжающаяся научно-техническая революция характеризуется все более широким использованием различных технических систем во всех сферах управления и промышленного производства. Выполняемые современными техническими системами функции весьма сложны, решаемые задачи чрезвычайно ответственны, и поэтому в новых условиях старые нормы надежности становятся неприемлемыми. Поэтому необходим новый взгляд на проблему надежности систем.
В теории надежности термин «отказ» означает, что система не способна выполнять требуемую функцию. Термин «способность» употребляется обычно в том смысле, что система способна либо не способна выполнять требуемую функцию. Однако обычно понятие «способность» является весьма расплывчатым, и можно определить различные степени способности системы выполнять требуемую функцию. Обычно изучение надежности связано со случайными появлениями нежелательных событий или отказов во время работы системы и что надежность системы представляет собой вероятность того, что при работе в заданных условиях система будет удовлетворительно выполнять требуемые функции в течение установленного промежутка времени.
При таком определении очевидны следующие проблемы:
1) допущение о вероятностном характере надежности при возможности появления отказа;
2) принятие принципа удовлетворительной работы системы, параметры которой медленно ухудшаются с течением времени;
3) необходимость оценивать соответствие заданным окружающим условиям.
Из этих определений становится ясно, что надежность тесно связана с понятием целевой функции системы, которая с течением времени подвергается трансформации, и как только тот или иной предельный параметр системы выйдет за критические пределы, происходит отказ системы.
Надежность является точно таким же внутренним свойством системы, как пропускная способность или номинальная мощность. Уровень надежности систем может с течением времени, под действием различных факторов изменяться в ту или иную сторону.
Прежде чем оценить надежность системы, необходимо установить условия и особенности ее эксплуатации. Например, способ обслуживания системы может влиять на уровень надежности.
Этот вывод имеет чрезвычайно важное значение для надежности систем, т. к. он предусматривает, например, проведение профилактических мероприятий, в результате выполнения которых естественное старение системы замедляется, увеличивается долговечность и надежность ее отдельных оболочек, подоболочек и системы в целом. Поэтому решение проблемы надежности систем имеет множество аспектов. Прежде всего надо сказать, что любой анализ надежности системы должен основываться на точно определенных понятиях. Известно, что даже у одинаковых систем, работающих в аналогичных условиях, отказы происходят в различные случайные моменты времени. Поэтому основные определения надежности основываются главным образом на понятиях теории вероятностей. Обычно основным показателем надежности системы, как это было сказано выше, считают вероятность того, что система будет удовлетворительно выполнять требуемую функцию при заданных окружающих условиях в течение определенных промежутка времени, числа рабочих циклов или километров пробега. Таким образом, надежность является количественным показателем, характеризующим жизнеспособность целевой функции системы.
В связи с тем, что любая система может иметь множество параметров и соответствующих ограничений, то в каждой конкретной системе ее важность фактически определяется видом показателя надежности, использование которого имеет наибольший смысл и который является наиболее подходящим (вероятность безотказной работы, среднее время безотказной работы и т. д.).
Но какие бы показатели ни были выбраны, все они тесно связаны с механизмами самоорганизации системы, с закономерностями иерархических систем. Так, из теории надежности известно, что число способов появления отказов быстро возрастает при увеличении числа элементов. Число способов появления отказов легко вычислить. Действительно, если n — общее число подсистем, а х — общее число рассматриваемых отказов, то
-число способов появления отказов.
а общее число различных способов появления отказов равно
(1.2.1.2−1)
Из выражения (1.2.1.2−1) следует также, что вероятность безотказной работы любой оболочки (подоболочки) системы будет характеризоваться биномиальными коэффициентами, характеризующими структурные (и функциональные) отношения между элементами в той или иной оболочке, т. е. характеризуют резервирование элементов в этих оболочках «из r по n». В такой системе имеется n параллельно соединенных элементов. При этом система должна иметь минимум r элементов для того, чтобы она работала безотказно. По сути это условие означает условие самодостаточности той или иной оболочки системы, характеризующую нижнюю границу ее целостности.
Поскольку все биномиальные коэффициенты обязаны своим происхождением биному Ньютона, то следует ожидать, что надежность тесно связана с биномом Ньютона.
Действительно, надежность большинства систем при последовательном соединении формулами вида
где q-вероятность отказа оболочек (подоболочек) системы.
Отметим, что протоны в ядерных подоболочках соединены последовательно и, следовательно, вышеприведенная формула определяет надежность функционирования ядерных подоболочек атома. Теория надежности и оценка ее параметров свидетельствует о том, что все элементы системы связаны между собой отношениями координации (параллельное соединение), либо отношениями субординации (последовательное соединение).
У Природы нет других способов соединения элементов в системы. Поэтому и протоны в ядре атомов могут соединяться в цепочки только последовательно или параллельно.
Рассмотрим основные свойства этих соединений. Из теории надежности известно, что надежность системы с последовательным соединением элементов зависит от числа элементов и от надежности самих элементов. Так, из рис. 1.2.1−1 видно, что надежность системы с последовательным соединением можно увеличить за счет уменьшения числа последовательно соединенных элементов и за счет повышения надежности каждого из них. Учитывая, что последовательное соединение элементов характеризует в системе отношения субординации, то можно сделать вывод о том, что при отношениях субординации надежность системы уменьшается с увеличением числа элементов, что полностью согласуется с выводами новой науки о том, что при увеличении уровней иерархии системы ее целостность, жизнеспособность, эффективность функционирования уменьшается по экспоненциальному закону.
Параллельное соединение элементов обычно рассматривается как способ повышения надежности системы. Вероятность безотказной работы определяется как дополнение вероятности до единицы
Рис. 1.2.1−1. Вероятность безотказной работы системы с последовательным
соединением элементов, характеризующихся вероятностью безотказной работы R.
С точки зрения милогии, параллельное соединение элементов системы означает, что эти элементы находятся в отношениях координации и что параллельное включение элементов фактически означает создание резервных элементов. Очевидно, что природа, используя закономерность двойственности систем, весьма эффективно использует данный вид резервирования, создавая системы с внутренней и внешней двойственностью и тем самым повышая надежность своих систем.
Рис. 1.2.1−2. Вероятность безотказной работы при параллельном соединении элементов.
Из рисунка 1.2.1−2, характеризующего надежность системы при параллельном соединении оболочек и подоболочек, видно также, что с дальнейшим увеличением числа элементов системы надежность систем увеличивается все более медленно. Это означает, что система ведет себя также, как и любая другая система (например, популяции живых организмов), в которой с увеличением числа элементов происходит снижение «потенции» целевой функции системы, которая вынуждена тратить свой ограниченный набор ресурсов и «территорию» на все новых и новых членов своего «коллектива». Однако природа, используя данный вид резервирования рекурсивным образом, создавая последовательно системы, сначала с внешней, а потом с внутренней двойственностью, повышает надежность системы более эффективно, чем это указано на рис. 1.2.1−2, характеризующим надежность технических систем.
При параллельно-последовательном соединении вероятность безотказной работы Rs всех последовательно соединенных эквивалентных (резервных) элементов находится по формуле
Данная формула, например, может характеризовать надежность параллельного соединения ядерных подоболочек атома.
Таким образом, из последних выражений в явном виде видно, что надежность оболочек, подоболочек и системы в целом, являются функциями от бинома Ньютона, отражающего самую фундаментальную закономерность природы — закономерность двойственности.
Природа изначально, зная только бином Ньютона и используя последовательно-параллельное соединение своих оболочек и подоболочек, строит самые оптимальные в смысле надежности системы. Однако в любом случае увеличение надежности системы ограничено некоторым максимально возможным для каждой системы уровнем иерархии. В любой системе существует некоторое число элементов и уровней иерархии, которые могут считаться для этих систем оптимальными и не только в смысле надежности.
1.2.2. СЕНСОРНЫЕ ОБОЛОЧКИ И ПОДОБОЛОЧКИ
Известно, что каждая система обладает избирательной способностью к восприятию воздействий внешней среды. Одни параметры внешней среды при их изменениях никак не отражаются на функционировании системы, другие, наоборот, вызывают скачкообразные изменения состояния системы. Каждая система имеет свой «фильтр», назначение которого состоит в том, чтобы осуществлять выбор параметров, информации и т. д., на которые реагирует система. Эти параметры могут быть необходимыми для нормального функционирования системы (позитивные параметры), или они могут вызвать такое изменение системы, которое не соответствует цели функционирования (негативные параметры). Можно сказать, что система реагирует только на позитивные или негативные параметры. Другие параметры для нее безразличны. В живых клетках роль фильтров выполняют мембраны, которые обладают избирательностью пропускать строго определенные компоненты внутрь и выпускать во внешнюю среду также строго определенные компоненты. В живых организмах к таким фильтрам можно отнести органы обоняния, осязания, зрения, слуха и т. д. В организационных системах чувствительными органами являются органы управления этими системами, назначение которых и состоит в том, чтобы осуществлять фильтрацию внешних воздействий. Эта фильтрация всегда осуществляется целенаправленно. Пропускаются только те управляющие воздействия, которые необходимы системе в интересах достижения собственных целей системы и ее отдельных подсистем (оболочек). Как правило, наиболее чувствительными управляющими воздействиями являются такие, которые приходят из вышестоящей системы, в рамках которой данная система может рассматриваться как подсистема (оболочка). И наименьший вес имеют воздействия, пришедшие со стороны. Избирательной способностью фильтровать внешние возмущения обладает любая оболочка системы, и во все эти оболочки, как правило, управляющие воздействия поступают из внешней для нее оболочки (надоболочки), которая таким образом изолирует свою подоболочку от нежелательных воздействий. Такую внешнюю подоболочку системы будем называть сенсорной. В любой иерархической системе, связанной отношениями субординации, всегда существует хотя бы одна сенсорная оболочка, которая будет являться для той или иной подсистемы внешней подоболочкой, через которую будет осуществляться взаимодействие подсистемы (системы) с внешней средой. При этом вложенные друг в друга подоболочки могут иметь только одну сенсорную подоболочку. Если подоболочки не являются вложенными друг в друга, хотя бы частично, то они могут иметь более одной сенсорной подоболочки, которые непосредственно взаимодействуют с внешней средой.
1.2.2.1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОБОЛОЧЕК
Во-первых, каждая из них экранирует свои внутренние подоболочки от несанкционированного воздействия других внешних оболочек (надоболочек) или внешней среды. Оболочки и подоболочки играют роль фильтров, которые определяют характер возмущающих воздействий и вырабатывают на них соответствующий управляющий сигнал, который передается во внутренние подоболочки, порождая лавинообразный процесс их возбуждения.
Во-вторых, они оказывают стабилизирующее воздействие на систему (процессы интеграции и дифференциации в условиях стабильной иерархической системы уравновешивают друг друга). Сенсорные оболочки (подоболочки) иерархических систем являются ответственными за адаптацию системы к условиям внешней среды, за взаимодействие с внешней средой.
В-третьих, каждое управляющее воздействие, вызывающее изменение состояния системы, кроме изменения основной функции, может приводить к изменению других, дополнительных функций системы, т. е. всегда существует проблема «побочного эффекта», который может быть причиной различных «мутаций» системы. В медицине, например, при использовании лекарств всегда учитываются противопоказания к их применению, чтобы избежать нежелательных побочных эффектов. Поэтому сенсорные подоболочки способствуют локализации «побочных эффектов».
В-четвертых, каждая оболочка системы обладает избирательностью не только на определенный вид внешних воздействий, но и на способ, и форму воздействия. В общественных системах это проявляется в том, что важно не столько то, ЧТО сказано, но и то, КАК сказано. В живых организмах, например, при применении лекарств, одно и то же лекарство, примененное разными способами (таблетки, подкожные инъекции и т. д.), не только может оказать разный терапевтический эффект, но в принципе может оказать прямо противоположный эффект.
В-пятых, каждая внешняя оболочка (подоболочка) будет являться сенсорной для всех внутренних оболочек (подоболочек) и выполнять для них функции внешней среды. Через сенсорные подоболочки иерархической системы осуществляется вход в ее оболочки и выход из них. Каждая сенсорная подоболочка иерархической системы передает управляющие воздействия по двум каналам. По первому каналу осуществляется управление функционированием собственной оболочки иерархической системы. По второму каналу — передача управляющих воздействий на внутреннюю оболочку этой системы. От самой внешней сенсорной подоболочки, через другие сенсорные подоболочки проходят пути (связи) ко всем внутренним оболочкам системы.
Из определения сенсорных подоболочек следует, что их последовательность начинается от самой внешней сенсорной подоболочки. Эта последовательность будет характеризовать связи в прямом направлении (связи по управлению). Из определения надоболочек следует, что их последовательность заканчивается в самой внешней сенсорной оболочке и, следовательно, эта последовательность характеризует обратные связи в системе (реакции на управляющие воздействия). На прямых и обратных связях зиждется такая наука, как кибернетика. Самая внешняя сенсорная оболочка в иерархических системах играет роль нулевой, или начальной оболочки, от которой начинается эволюция оболочек и всей системы в целом. Поэтому сенсорные подоболочки будем обозначать с использованием соответствующего нулевого индекса. Например, в упорядоченной последовательности подоболочек
<a0, a1,…, an>
подоболочка а0 является самой внешней сенсорной подоболочкой.
В общественных системах роль сенсорных подоболочек выполняют руководители этих систем. От их личностных качеств и свойств во многом зависит чувствительность руководимых ими систем к внешним воздействиям. Чем чувствительнее сенсорная оболочка, тем более сильное управляющее воздействие будет передано внутренним подоболочкам и оболочкам и, следовательно, тем сильнее будут и реакции на эти внешние раздражители. По такому же принципу функционируют и сенсорные подоболочки «нейронных продуктов» в живых организмах. Хранящаяся во внутренних оболочках и подоболочках «информация» не стирается, она просто экранируется и становится не доступной. По мере формирования очередных нейронных подоболочек и оболочек к ним переходят и сенсорные функции, а все предыдущие подоболочки и оболочки выполняют исполнительную, подсознательную функцию. Наличием сенсорных подоболочек в живых организмах можно объяснить существование так называемых активных точек, которые имеют все органы живого организма и через которые осуществляется их взаимодействие с внешней средой. Генные свойства живых организмов, как это ни парадоксально, определяются свойствами сенсорных оболочек их органов, чувствительностью к воздействию внешней среды. Чем чувствительнее сенсорная оболочка к воздействию внешней среды, тем сильнее (экспансивнее) будет реакция на эти воздействия. В силу ограниченности и замкнутости структуры иерархических систем структура и свойства сенсорных оболочек того или иного органа будет повторяться, иметь конечное число состояний и определяться структурой и свойствами, заложенными в родительских сенсорных
оболочках, информация о которых содержится в молекулах ДНК. Новые методы компьютерной диагностики и лечения также основаны на анализе сенсорных подоболочек человека и воздействии на биополе, окружающее эти сенсорные подоболочки. В силу эволюционности развития каждый орган имеет самостоятельную сенсорную подоболочку и имеет самостоятельный канал общения с внешней средой, хотя такой необходимости для внутренних органов человека практически уже и не требуется. Это, с точки зрения эволюции организма человека, является таким же «пережитком», как и аппендикс. Сенсорные подоболочки отдельных иерархических подсистем могут объединяться (интегрироваться) между собой в единую сенсорную оболочку, образуя единую нервную сеть. Вообще говоря, сенсорные оболочки являются тем самым элементарным «кирпичиком» — базисным элементом, из которого строится вся иерархическая система. Каждый такой базисный элемент обладает внутренней сущностью, т. е. имеет внутреннюю структуру, которая будет оказывать влияние на сложность формируемой из этого базисного элемента системы. Можно утверждать, что любая иерархическая система со сложной структурой не способна построить другую систему, которая имела бы более сложную структуру, чем исходная базисная система. В силу структурной преемственности, построив систему с более высоким уровнем иерархии, мы получим систему, структурная сложность которой будет не выше, чем у базисного элемента. Однако в любом случае мы получим более совершенную иерархическую систему, так как, имея ту же саму внутреннюю сущность, что и базисный элемент, она обладает более совершенной «элементной базой» и представляет собой систему вложенных друг в друга и наложенных друг на друга базисных элементов.
1.2.3. ИНТЕГРИРОВАННЫЕ ОБОЛОЧКИ
Любая иерархическая система не является полностью изолированной от внешней среды. В ней, по крайней мере, одна сенсорная оболочка может вступать во взаимодействие с окружающей средой. Устойчивые связи между подоболочками, оболочками, системами характеризуются отношениями полезности, дополнительности. Весь окружающий нас мир построен на принципе дополнительности. Каждому всегда чего-нибудь не хватает. Поэтому отношения двойственности лежат в основе гармонизации отношений иерархии. Это утверждение справедливо для всех иерархических систем, независимо от их природы. Так, например, человек испытывает чувство комфорта, уверенности, гармонии только в том случае, если все составляющие двойственные отношения его внутреннего и внешнего мира находятся в состоянии равновесия. В этом случае мы можем говорить о целостности его внутреннего и внешнего мира. В противном случае, когда человек «раздирается» внутренними и внешними противоречиями, когда его отношения с внешним или внутренним миром находятся в стадии соперничества, то говорить о гармонии его отношений не приходится. Поэтому, с точки зрения диалектики, в узком смысле слова, таким системам не присуща борьба противоположностей, т. е. эти системы являются образцом единства противоположностей. Естественно, что если взаимодействующие системы приспосабливаются к внешним возмущениям, адаптируются к условиям внешней среды, то эта среда становится для них дружественной, благоприятной и в этой среде будут возникать условия для формирования сообщества систем. Поэтому в процессе эволюции происходит сращивание иерархических оболочек (систем) в единую целостную оболочку (систему). Это происходит потому, что системы не являются изолированными друг от друга во внешней среде, что они волей или не волей вынуждены взаимодействовать друг с другом, вступать друг с другом в контакты, используя принципы взаимодополнительности. Если такие контакты осуществляются постоянно, то происходит сращивание этих систем или их оболочек в новую, интегрированную оболочку.
Интегрированные подоболочки (оболочки) уже не могут формировать вложенные друг в друга системы, т. к. эти оболочки уже изначально принадлежат разным системам. Поэтому они формируют упорядоченные цепочки подоболочек (оболочек). В этих интегрированных оболочках (подсистемах) их возмущающие воздействия друг на друга оказываются самосогласованными. Самосогласованность означает, что возмущения, передаваемые друг другу интегрированными оболочками, по величине и направлению окажутся больше порогового значения возмущений, вырабатываемых каждой из них. Только в этом случае в каждой иерархической системе, имеющей интегрированные оболочки, внутренние возмущения (внутренние процессы саморегуляции) этих оболочек не будут влиять на целевые функции взаимодействующих интегрированных систем.
1.2.4. ГАРМОНИЧЕСКИЕ И АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
Оболочки (или целые системы), которые находятся между собой в отношениях координации, «притягиваются» друг к другу в силу их диалектического единства противоположностей, подобно тому, как притягиваются тела с положительным и отрицательными зарядами. Эти оболочки при дальнейшей эволюции могут преобразовываться в устойчивые отношения субординации, отношения полезности и целесообразности друг для друга. Такие оболочки можно назвать гармоническими. Они могут быть как с внутренней, так и с внешней двойственностью. В общем случае будем считать, что оболочки с внутренней двойственностью характеризуются их последовательным соединением, а оболочки с внешней двойственностью — параллельным соединением. Антагонистические оболочки не могут образовывать устойчивые целостные оболочки. Такие оболочки не могут интегрироваться в целостную систему, как не могут, например, жить в мире друг с другом хищник и его жертва. Но такие оболочки (и даже системы) могут адаптироваться друг к другу, сосуществовать рядом друг с другом. Можно говорить, что они характеризуются отношениями с внешней двойственностью. С точки зрения математики совокупность гармонических и антагонистических оболочек системы являются как бы ортогональными друг другу. Поэтому их можно называть комплексно-сопряженными оболочками. Возможно, что именно в этом свойстве гармонических и антагонистических оболочек состоит разгадка, почему в генах разрешены комбинации строго определенных пар и запрещены все другие комбинации. Если в обществе существуют классы, отношения между которыми являются антагонистическими, и если один из этих классов является правящим, то эти отношения также можно характеризовать как отношения хищников и их жертв. Однако цивилизованные хищники вынуждены заботиться о своих жертвах. Они должны заботиться о воспроизведении своих жертв, о возмещении или частичной компенсации того вреда, который они наносят своим жертвам. Они знают, что от этого зависит их собственное благополучие. Именно на таких принципах и зиждется сосуществование антагонистических классов. Для иерархических систем с комплексно-сопряженными оболочками в полной мере будет справедлив диалектический закон об единстве и борьбе противоположностей. Гармонизации отношений между хищниками и их жертвами никогда не будет. Между ними возможны только отношения сосуществования. Отношения, основанные на компромиссах и способности к адаптации при изменяющихся условиях внешней среды.
1.2.5. РЫНОЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Оболочки системы не существуют обособленно друг от друга. Они взаимодействуют друг с другом и подвергаются трансформации. Трансформация подчеркивает динамические свойства системы. Примером структуры, трансформирующейся в процессе функционирования, является вычислительная система, где в процессе ее функционирования под воздействием управляющей программы осуществляется коммутация (связь) необходимых элементов системы. По характеру взаимодействия в иерархических системах выделяют активное и пассивное. При активном взаимодействии с внешней средой контактирует только активная (сенсорная) подоболочка — самая внешняя иерархическая подоболочка, экранирующая все внутренние подоболочки от влияния извне; все остальные функции системы для внешнего наблюдателя являются «непрозрачными». Взаимодействие между элементами внутренних подоболочек носит локальный характер, направлено на сохранение или повышение функциональной и структурной целостности системы и осуществляется внутренними «пассивными» подоболочками многоуровневой системы.
Если оболочки системы не являются вложенными друг в друга, а представляют собой упорядоченную цепочку, то в процессе взаимодействия систем могут возникать коммуникационные связи и непосредственно между оболочками, относящимися к разным системам. В результате будут возникать интегрированные оболочки и системы, многослойные иерархические системы, которые можно сравнить с компьютерными ЧИПами. Естественно, что интеграция возможна только в том случае, если в ее результате сохраняется целостность оболочек, установивших между собой вначале отношения координации, характеризующихся внешней двойственностью. В процессе дальнейшей эволюции отношения с внешней двойственностью могут преобразоваться в отношения с внутренней двойственностью. Поэтому можно говорить о том, что если отношения координации между оболочками разных иерархических систем, или оболочками, находящихся на одних и тех же уровнях иерархии системы, приобретают устойчивый характер, то в результате мы получим интегрированные оболочки и системы. Процессы интеграции в Природе и в Обществе можно представить как грандиозный рыночный механизм. Все живое и неживое участвует в этих рыночных отношениях. С помощью рыночного механизма, основанного на мультидвойственных отношениях полезности, поддерживается равновесие любой живой и неживой системы. Рыночные принципы интеграции оболочек и подоболочек более подробно будут рассмотрены ниже.
1.3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ И СВОЙСТВА ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Рассмотрим наиболее общие закономерности, свойства, принципы построения и функционирования сложных иерархических систем. С одной стороны, подавляющее большинство окружающих нас систем являются иерархическими, многоуровневыми. С другой стороны, несмотря на столь широкое распространение многоуровневых систем, все еще отсутствует единое мнение относительно сущности иерархических систем, хотя существует много классификаций основных признаков и принципов их построения. Различным подходам к описанию многоуровневых систем, принципам их классификации, признакам и свойствам посвящена многочисленная литература. Поэтому нет надобности приводить всю эту информацию. Приведем только ту информацию, которая нам будет необходима. В любой иерархической системе действуют одни и те же фундаментальные закономерности, независимо от природы иерархических систем (социальная, техническая, общественная, бюрократическая, антропотехническая и т. д.):
1) закономерность двойственности;
2) закономерность структурной ограниченности;
3) закономерность замкнутости;
4) закономерность преемственности функционально-структурной организации;
5) закономерность интеграции и дифференциации;
6) закономерность экспоненциального развития.
При этом базисными закономерностями являются закономерности 1,2,3. Закономерности 4,5,6 могут характеризоваться суперпозицией базисных закономерностей. Все остальные закономерности иерархии являются следствиями вышеуказанных. Например, закономерность многофункциональности и специализации систем и т. д. При построении и функционировании иерархических систем самой различной природы следует различать закономерности, лежащие в основе этих систем, и принципы, на основе которых они построены и функционируют. Закономерности построения систем являются первичными, а принципы отражают формы и особенности проявления той или иной закономерности.
В иерархических системах, в общем случае, существуют только два основных типа отношений — это отношения субординации (подчиненности) и отношения координации (независимости, равноправия). Рассмотрим эти основные закономерности и принципы построения иерархических систем более подробно.
1.3.1. ЗАКОНОМЕРНОСТЬ ДВОЙСТВЕННОСТИ СИСТЕМ
Самые фундаментальные законы являются самыми простыми. Поэтому они и являются всеобщими. Закономерность о двойственности систем любой природы относится именно к таким закономерностям. Эта закономерность является и всеобщей. У Природы не было, нет и не будет другой, более фундаментальной закономерности. Более того, эта закономерность носит все признаки самого фундаментального закона (характеризует самые фундаментальные связи и взаимозависимость явлений действительности, необходимые и устойчивые отношения между ними). Любая иерархическая система состоит из двух противоположных полюсов и проявляется в единстве противоположностей, которые могут являться противоположными и по своим целевым функциям. Наша этика и эстетика содержит множество парных понятий, противопоставляемых как тезис и антитезис. Общественная и личная мораль руководствуется правилами, двойственными понятиями «любовь — ненависть», «добро — зло», «жизнь — смерть» и прочие в том же духе, хотя смысл этих диаметральных понятий у разных людей, обществ, народов может быть различен. Поэтому эта беспощадная двойственность, которая пронизывает всю жизнь природы и человека, неразрешима на уровне самой двойственности. Это то же самое, как если бы мы стали правой рукой бороться против левой. Однако это именно то, что делает человек на
всех уровнях своего существования, противопоставляя материю _ духу, индивидуализм _ коллективизму и т. д. Эта двойственность разрешима только на уровне целостности. В диалектике закономерность двойственности известна как проявление диалектического закона о единстве и борьбе противоположностей, как некотором целостном понятии. Формы проявления двойственности могут иметь самую различную природу и самые различные проявления. Так, в атомах одна из форм двойственности проявляется в том, что любая подоболочка атома вначале заполняется электронами с одной ориентацией спинов, а потом достраивается электронами с противоположной ориентацией спинов. В математике большинство математических методов, изобретенных человечеством, отражают в себе закономерности двойственности. Например, метод деления отрезка пополам используется и при нахождении корней алгебраических уравнений, и при поиске информации в базах данных и т. д. Этот метод является одним из самых эффективных именно потому, что он отражает в себе самую фундаментальную закономерность нашей Вселенной _ ее двойственность. В математике вся система доказательств базируется на двойственных методах, теоремах двойственности и т. д. Смысл любого математического тождества А+В =0 сводится к проявлению двойственности А= - В, где левая часть уравнения содержит переменную с одним знаком, а правая часть — с противоположным. Давайте задумаемся о некоторых самых простых математических понятиях, которые настолько тривиальны, что не вызывают у нас абсолютно никаких эмоций. Они воспринимаются как сами собой разумеющиеся.
Существует много замечательных книг известных математиков, популяризаторов математики [8], [39], [64], которые открывают нам глаза на самые элементарные вещи. Так, в повседневной жизни мы представляем себе площадь всегда положительной величиной. Но, например, в операциях отражения, при повороте плоскости, например, куска картона определенной формы, ее площадь не меняется, хотя вычисление показывает нам, что площадь умножается на -1. Далее, из курса дифференциального и интегрального исчисления хорошо известно, что при нахождении площади интегрированием результат может быть отрицательным. Или по известной формуле школьной математики площадь треугольника равна
При извлечении квадратного корня всегда возникает вопрос о знаке. Следовательно, если рассматривать вопрос чисто алгебраически, треугольник имеет две площади: одну положительную и другую отрицательную. В повседневной жизни площадь — это просто величина, без учета знака. Но сама идея умножения площадей или объемов на — 1 оказывается иногда чрезвычайно удобной. Можно то же самое сказать и относительно связи между определителями и площадями. Так, определитель матричной операции указывает на две вещи: величина определителя указывает на отношение, в котором меняются площади в результате операции, а знак говорит о том, имеет ли место изменение ориентации, в результате такой операции мы получим зеркальное изображение мира. А это и есть проявление двойственности. Но еще более замечательное свойство в математике кроется в мнимой единице — квадратному корню из _ 1, обозначаемой символом i. Математика не может определить природу появления этого замечательного числа, хотя и придает ему четкий геометрический смысл. Однако наиболее полно вся окружающая нас действительность описывается только с использованием мнимой единицы, в рамках теории комплексных чисел. Следовательно, и в природе мнимая единица должна иметь не только геометрический смысл.
Таким образом, в любых приложениях математики, в любой науке можно встретить прямые и обратные методы решения задач, двойственные теоремы и задачи. За всеми этими примерами скрывается одна единственная закономерность, которую повседневно, ежечасно, ежеминутно использует математика. Это закономерность двойственности. Действительно, если операции сложения и вычитания назвать отношениями противоположности, то мнимые числа будут характеризовать отношения «перпендикулярности». В совокупности мы будем иметь всего четыре компоненты: положительные числа, отрицательные числа, положительные мнимые числа, отрицательные мнимые числа. Из этих компонент можно построить всю нашу Вселенную, во всей красоте всех оттенков ее измерений. Кибернетика, наука о прямых и обратных связях в иерархических системах, служит не только примером двойственности функциональных связей в иерархических системах любой природы, но и примером построения удивительно прекрасной и безграничной информационной Вселенной, построенной всего

из двух символов «0» и «1». Из двойственности систем вытекает и такое фундаментальное понятие, как равновесное состояние системы, которое достигается в рамках единства и борьбы противоположностей. Эта изначальная двойственность систем проявляется на всех этапах их эволюции. Подобные примеры двойственности можно приводить до бесконечности. При этом и само понятие двойственности содержит две противоположных формы своего проявления. Это внешняя и внутренняя двойственность.
Внешняя двойственность заключается в том, что с точки зрения внешнего «наблюдателя» иерархическая система, или ее отдельная подсистема, состоит из двух противоположных объектов. Объекты с внешней двойственностью обладают свойствами симметрии, которая характеризует их внешнюю сущность. Внешняя двойственность проявляется в том, что целостную иерархическую систему образуют два иерархических объекта с противоположными свойствами. В качестве примера внешней двойственности можно привести, например, в Макромире, двойные спирали галактик, двойные звезды и т. д. В микромире примером внешней двойственности являются атомы, в которых оболочки формируются с противоположными спинами (параллельное соединение подоболочек).
Внутренняя двойственность проявляется в том, что с точки зрения внешнего наблюдателя иерархическая система, или ее подсистема, представляет собой один объект. Однако если вскрыть этот единственный объект, то можно обнаружить, что он состоит из двух противоположных объектов, которые в совокупности и образуют целостную систему (подсистему). Здесь также будет иметь место симметрия, но она будет распространяться только на внутреннюю сущность объекта. Эта симметрия «зашита» внутрь материального объекта и может нести признаки внешней асимметрии.
Одним из примеров внутренней двойственности может служить также последовательное соединение двух подоболочек системы. Любая иерархическая система, обладающая внешней или внутренней двойственностью, характеризуется противоположным набором каких-либо параметров этой системы. Поэтому двойственность в таких системах будет проявляться как зеркальная симметрия или как асимметрия. Любая иерархическая система может содержать в себе системы (подсистемы), обладающие как внутренней, так и внешней двойственностью и, таким образом, мы будем иметь тесное диалектическое единство симметрии и асимметрии, что симметрия и асимметрия _ это формы проявления двойственности. По этой причине закономерность двойственности является ответственной за возникновение и существование симметрии и асимметрии в природе. Чаще всего проявление симметрии и асимметрии в иерархических системах проявляется в том, что если на одном уровне иерархии преобладает, например, зеркальная симметрия (внешняя двойственность) системы (подсистемы), то на другом уровне иерархии мы будем наблюдать уже проявление внутренней двойственности (асимметрии). Двойственные объекты как бы «замкнуты» друг на друга, составляя единое целое. Так, например, в живых организмах, как правило, все органы являются примерами внешней или внутренней двойственности. Двойственность имеет многоуровневую структуру, а единство противоположностей не является чисто философским понятием. Наоборот, это понятие является следствием философского описания закономерности о двойственности иерархических систем, которая носит многоуровневый иерархический порядок и проявляется на всех уровнях иерархии в форме внешней или внутренней двойственности. При этом на нижних этажах иерархии эта закономерность носит характер фундаментального закона, а затем, по мере усложнения отношений, по мере интеграции систем, она приобретает характер всеобщей закономерности. С позиций двойственности следует рассматривать и такое фундаментальное понятие, как положительный и отрицательный заряд. Эти заряды, в силу внешней двойственности, должны быть зеркально симметричны. В чем может заключаться их зеркальная симметрия? Ключ к разгадке природы этих зарядов, может быть, следует искать в распределении плотности их массы. У объекта с положительным зарядом плотность массы будет уменьшаться от центра к периферии. У объекта с отрицательным зарядом плотность будет увеличиваться от центра к периферии. Но противоположное распределение плотности масс объектов является только необходимым условием проявления противоположных зарядовых свойств. Достаточным условием будет являться наличие в таком объекте торсионного поля, создающего такое распределение плотности массы объекта. Динамика этого торсионного поля и характеризует противоположность зарядов объекта. В случае положительного заряда спираль торсионного поля будет скручиваться. В случае отрицательного заряда спираль торсионного поля будет раскручивающейся.
Двойственность нашей Вселенной позволяет ответить и на вопрос о том, как должны выглядеть инопланетяне. Во всех других не земных формах жизни будут отражаться одни и те же закономерности Иерархии, в том числе и самая фундаментальная — закономерность двойственности. Мы не можем точно ответить на вопрос о том, как выглядят инопланетяне, но мы можем ответить на другой вопрос — как не должен выглядеть инопланетянин.
Закономерность двойственности нельзя сводить только к понятиям «да» и «нет». Чрезмерное преувеличение роли двойственности в условиях существования сложных систем является нелепостью, т. к. в этих системах господствуют отношения мультидвойственности, которые вырастают из двойственных отношений по мере усложнения отношений иерархии в этих системах, в результате их расщепления. Однако, если весь спектр мультидвойственных отношений расщепить на элементарные отношения, то все они будут носить двойственный характер. Например, мультидвойственные отношения, характеризующие весь компьютерный мир, всю информационную Вселенную, построены из элементарных двойственных отношений да и нет. С точки зрения математики все эти мультидвойственные отношения построены из «кварков», состоящих из двух противоположных элементарных «частиц» и одной нейтральной «частицы»: <-1,0,+1>. При этом «частицы» <+1,-1> образуют систему с внешней двойственностью, а частица <0> - с внутренней двойственностью. Мультидвойственные отношения постоянно усложняются в процессе эволюции. Но говорить о том, что в нашей Вселенной идут только процессы усложнения отношений мультидвойственности, тоже будет не правильно. Наряду с процессами усложнения идут процессы и упрощения мультидвойственных отношений. В одних случаях эти процессы будут характеризовать «замкнутость» мультидвойственных отношений, когда в результате их замыкания образуется качественно новое двойственное отношение, характеризующего эволюционную интеграцию (см. ниже закономерность об ограниченности и замкнутости систем). В других случаях эти процессы будут характеризовать степень поляризации мультидвойственных отношений, их трансформации в двойственные — инволюционная дифференциация. Система в своей эволюции делает шаг назад. Очевидно, что эти поляризованные отношения могут быть как гармоническими, так и антагонистическими. Такие явления, как поляризация волн, вещества (магнитные свойства), общества (бескомпромиссная классовая борьба, революционная ситуация,…) и т. д., характеризуют трансформацию мультидвойственных отношений в двойственные. Поляризация возникает в том случае, если мультидвойственные отношения в системе характеризуются нестабильностью. В этом случае любые внешние возмущения, способные вывести систему из состояния устойчивости, могут привести к поляризации системы, которая может исчезнуть в момент прекращения возмущений, а может и сохраниться, или даже усилиться. По мере усиления поляризации мультидвойственных отношений, носящих антагонистический характер, возникают различные «революционные» ситуации, которые могут привести к краху системы. Система разваливается на части с двойственными отношениями.
Явления поляризации характерны и для высшей нервной деятельности человека. Так, экстрасенсы способны аккумулировать энергию своего биополя с последующим воздействием на биополе индивидуума и формированием единого двойственного биополя (экстрасенс + индивидуум). Процессы поляризации энергии биополя могут, в принципе, осуществляться как методом самовнушения, так и путем внушения. Можно с уверенностью сказать, что вся гармония Вселенной, со всеми ее мультидвойственными отношениями, соткана из элементарных двойственных отношений. Эта закономерность представляет собой тот естественный природный механизм, который запускает маятник эволюции систем и регулирует их ритмы (время). Этот маятник никогда не остановится, т. к. даже в полный «штиль» возникающие в системе сколь угодно малые возмущения в процессе реализации саморегулирования способны привести к самым кардинальным последствиям. Это, пожалуй, единственный и неповторимый вечный двигатель Вселенной.
Таким образом, сущность закономерности о двойственности иерархических систем любой природы заключается в том, что впервые выявлена глубокая причинно-следственная связь между законами симметрии и асимметрии, что эти законы, имея многоуровневую структуру, являются формами проявления одной и той же закономерности — о двойственности иерархических систем любой природы.

Предполагаемое открытие вносит коренное изменение в уровень научного познания и составляет фундамент новой единой теории эволюции живой и неживой природы. Закономерность двойственности составляет основу единого рыночного механизма отношений полезности Природы. Рыночные (двойственные) отношения не являются только продуктом экономического мышления человека. Это самый главный механизм Природы, в соответствии с которым формируются, развиваются все иерархические системы любой природы. Закономерность двойственности, являясь самой простой закономерностью, имеет огромное значение для научного и практического использования, т. к. она является краеугольным камнем науки 3-го тысячелетия, призванной осуществить интеграцию научных знаний. Поэтому конкретные коренные изменения в уровне познания будут проявляться во всех без исключения научных приложениях, в том числе в философии, диалектике, во всех естественных и гуманитарных науках. Так, в области астрономии закономерность двойственности составит основу для создания единой теории происхождения звезд и планет. В области социальных систем закономерность двойственности характеризует процессы эволюции социальных систем от примитивных двойственных отношений до сложных мультидвойственных отношений. В области математики данная закономерность, объясняя причины существования различных теорем двойственности в самых разных научных приложениях, открывает причину этих проявлений, вскрывает природу «порочного круга». Математика, получив мощный методологический импульс, получит возможность создавать наиболее эффективные инструменты для описания окружающей нас действительности. Закономерность двойственности дает ключ к пониманию других закономерностей и законов микро — и макромира. Она дает целый ряд перспективных следствий и гипотез, взаимосвязанных и взаимообусловленных. Самый важный вывод из предполагаемого открытия заключается в том, что закономерность двойственности систем свидетельствует о целесообразных и разумных «правилах игры» Природы в процессе своей эволюции, что граница между живой и неживой природой становится все более призрачной.
Таким образом, можно говорить о том, что открыта новая, неизвестная ранее закономерность:
«Любая целостная иерархическая система представляет собой объект с внешней или внутренней двойственностью, обладающий противоположными свойствами. Внешняя двойственность характеризует законы симметрии объекта, а внутренняя двойственность проявляется в форме асимметрии».
1.3.2. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Закон сохранения двойственности вытекает из закономерности о двойственности систем любой природы и имеет многоуровневую структуру. Поэтому все законы сохранения микро — и макромира являются следствием проявления единственного закона — закона сохранения двойственности. Пока существует система в рамках данного качества, в ней всегда сохраняется внешняя или внутренняя двойственность с соответствующими законами сохранения этой двойственности. Любая система существует до тех пор, пока в ней сохраняется внешняя или внутренняя двойственность. Нарушение закона сохранения двойственности приводит к разрушению системы данного качества В момент разрушения система кратковременно теряет присущую ей форму двойственности и начинается процесс формирования качественно новой системы, возможно с другой формой проявления двойственности. После окончания трансформации такая система будет характеризоваться уже другими количественными и качественными (внешняя или внутренняя форма двойственности) характеристиками закона сохранения двойственности. В многоуровневой системе закономерность двойственности имеет многоуровневую двойственную структуру. Соответственно, на каждом уровне иерархии могут существовать собственные законы сохранения двойственности, характеризующие количественные и качественные характеристики этих уровней иерархии. Закон сохранения двойственности действует в системах любой природы, включая и социальные.
Феномен фундаментальности закона сохранения двойственности систем проявляется в том, что он находит свое конкретное проявления в любой целевой функции системы, характеризуя законы сохранения ее двойственных параметров, их качественные (внутреннюю или внешнюю двойственность) и количественные (локальные или глобальные) характеристики.
Данный закон вносит коренное изменение в уровень научного и общественного познания.

Во-первых, он устанавливает общность всех законов сохранения микро — и макромира. Во-вторых, он непосредственно характеризует все особенности целевых функций той ли иной системы.
В-третьих, он действует в системах любой природы, включая и социальные системы.
В математике закон сохранения двойственности характеризует сущность тех математических методов, которые лежат в основе решения тех или иных физических, математических и других задач. Так, например, в основе методов линейного, не линейного программирования лежат методы вычисления целевых функций, при системе ограничений, характеризующих законы сохранения двойственных параметров системы.
Законы сохранения целевых функций систем в рамках данного качества по сути констатируют тот факт, что любая система существует до тех пор, пока ее целевая функция находится в рамках системы ограничений, характеризующих законы сохранения ее двойственных параметров. Заметим, что любые мультидвойственные ограничения целевых функций можно свести к двойственным, путем соответствующей замены переменных. Зная смысл таких двойственных ограничений, можно найти ключи к решению многих научных и технических проблем, стоящих перед человечеством. В силу всеобщности и фундаментальности закона сохранения двойственности трудно оценить и описать весь перечень научных и технических проблем, которые можно решить, используя данное открытие. Можно только отметить, что это открытие, например, в области изучения фундаментальных проблем физики, поможет глубже понять роль и значение тех или иных физических уравнений, той или иной совокупности (систем) уравнений, не мыслимых без системы соответствующих двойственных ограничений, описывающих ту или иную целевую функцию физических систем любой природы. Записать уравнение движения — это значит описать только общее решение задачи. Для всех частных решений необходимо задать граничные условия.
В области происхождения звезд закон сохранения двойственности поможет установить новую систему ограничений, которую необходимо наложить на систему уравнений, описывающих функционирование звезд в различных режимах функционирования их внешних оболочек и создать не противоречивую теорию функционирования звездных ядер, состоящих из звездной материи (астроноидов). В области социальных отношений законы сохранения двойственности должны проявляться как законы сохранения тех или иных общественных «ценностей» и характеризовать системы ограничений, накладываемые на целевые функции социального организма. Законы сохранения двойственных параметров в социальных системах характеризуют состояние уровня демократии и стабильности в том или ином обществе.
Таким образом, открыта новая, неизвестная ранее закономерность:
«Все законы сохранения, существующие в иерархических системах любой природы, носят двойственный характер и, следовательно, являются следствием проявления одного единственного закона сохранения — закона сохранения двойственности».
1.3.3. ЗАКОНОМЕРНОСТЬ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ РАЗВИТИЯ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Закономерность преемственности развития иерархических систем находит свое проявление в самых разных научных дисциплинах. Так в математике метод последовательной подстановки, используемой для решения уравнений, отражает строго эволюционный принцип построения иерархических систем, отражают структурную и функциональную преемственность развития. Эту же закономерность в еще большей степени отражают матричные методы решения уравнений, в которых для поиска решения используются треугольные матрицы. Применительно к человекомашинным многоуровневым системам закономерность преемственности функционально-структурной организации является известной закономерностью [2] и представляет особый механизм социальной памяти, осуществляющий накопление и хранение культурной информации прошлого, на основе которой создаются новые ценности. В процессе развития человекомашинных систем имеет место преемственность функционально-структурной организации систем определенного целевого назначения. Исчерпав возможности развития, система становится составной частью новой сложной системы и в дальнейшем ее развитие идет на уровне подсистемы . Закономерность преемственности развития систем является справедливой для иерархических систем самой различной природы. Закономерности преемственности функционально-структурной организации антропогенных систем в естественном мире соответствует один из основных законов биологии — закон Э. Геккеля, согласно которому «онтогенез (индивидуальное развитие организма) повторяет филогенез (историческое развитие организмов)». Ф. Энгельс отмечал, что «…история развития человеческого зародыша во чреве матери представляет собой лишь сокращенное повторение развертывавшейся на протяжении миллионов лет истории физического развития низших животных предков, начиная с червя…». Сущность преемственности, с точки зрения диалектики, заключается в том, что при любом качественном изменении отдельные элементы старого, уходящего в прошлое, качества сохраняются в новом качестве и при определенных условиях переходят на последующие уровни развития. Но диалектика дает лишь качественную оценку этой закономерности. Поэтому необходимо для оценки преемственности иметь и четкие математические алгоритмы. В процессе эволюции, как известно, обнаруживается всеобщая закономерность обобщенного повторения истории развития материи, такой, что иерархическая структура каждой основной формы материи в своеобразном виде повторяет основные этапы предшествующего развития, неся в себе сокращенную историю этих этапов. Иерархические системы воспроизводят в своей структуре историю своего развития. При этом на каждом уровне иерархии, каждое новое поколение иерархических систем воспроизводит совокупность базисных функций, реализуемых системами предыдущего уровня иерархии. Эта закономерность отражения в функционально-структурной организации иерархических систем базисной совокупности функций систем-прототипов проявляется как последовательные вложения этих базисных функций в процессе эволюции систем. Одним из самых важных проявлений преемственности новых поколений иерархических систем является их совместимость. Совместимость _ качество, когда иерархическая система следующего поколения, по крайней мере в течении определенного периода, была бы совместима с функционирующей системой. Совместимость может быть реализована на самых разных уровнях, в зависимости от целевого предназначения системы. Совместимость по структуре, по функциям и т. д. И только тогда, когда новая система целиком и полностью заменит предшествующую ей систему, только тогда вопрос о совместимости будет снят с повестки дня, т. к. жизненный цикл ее уже закончится. Однако в новой системе останутся рудименты старой системы, а если новая система возникла из предшествующей ей системы строго эволюционным путем, путем формирования новой надстройки, то старая система будет полностью совместимой со своей предшественницей, которая станет одной из ее оболочек. Таким образом, закономерность преемственности структурной сложности иерархических систем характеризует эволюционный принцип построения иерархических систем, структурную упорядоченность их подоболочек и оболочек, способность систем к самовоспроизведению.
1.3.4. ЗАКОНОМЕРНОСТИ ОГРАНИЧЕННОСТИ И ЗАМКНУТОСТИ СИСТЕМ
Закономерности ограниченности и замкнутости иерархических систем являются самостоятельными и взаимодополняющими друг друга закономерностями. Они тесно связаны друг с другом и потому их следует рассматривать вместе. Эти закономерности, наряду с закономерностью о двойственности, участвуют в формировании такого важного понятия, как целостность иерархических систем, которая имеет многоуровневый характер. Всякий раз, когда в результате интеграции появляется качественно новый элемент, мы можем сказать, что развитие системы перешло на качественно иной, более высокий уровень иерархии. Происходит «замыкание» системы в рамки элемента некоторой более глобальной системы, которая строится из этих элементов и в которой эти элементы являются базисными. Именно в результате такого «замыкания» системы в элемент и происходит образование целостной системы. Замыкание системы в качественно новый элемент происходит в результате интеграции оболочек систем, которая осуществляется через их сенсорные подоболочки и оболочки.
Поскольку базисные элементы по своей структуре и функциям являются ограниченными, то попытка построить более сложные оболочки приводит или к разрушению текущей оболочки, вследствие ее структурной перегрузки (инволюционная дифференциация), или к тому, что природа вынуждена брать эту систему в качестве нового базисного элемента и на ее основе строить новую, более глобальную систему (эволюционная интеграция). Из математики известна строгая теорема, из которой следует, что любая система (автомат) не может построить более сложную систему (автомат), чем она сама. Эта теорема, в силу закономерности о структурной и функциональной ограниченности систем, как бы ставит крест на эволюции материи вообще. Но природа, используя закономерность замкнутости, обходит это ограничение, замыкая систему саму на себя и начиная

строить ее с самого начала, но уже на качественно более высоком уровне, на новой элементной базе. С точки зрения математики, закономерность замкнутости характеризует способность системы к самонормированию _ свойству системы превращаться в единичный базисный элемент для построения нового, более сложного уровня иерархии и имеющего собственные параметры (собственные значения, собственные векторы, собственные моменты импульса и т. д.). Закономерность о замкнутости иерархических систем характеризует не только свойство целостности иерархических систем, в которых замкнутая иерархическая система предыдущего уровня иерархии служит в качестве элементной базы для создания новой, более сложной иерархической системы. Данная закономерность характеризует другое важнейшее свойство — кругооборот материи в природе, в результате которого материя, пройдя последовательные стадии эволюции, возвращается в первоначальную стадию. Эта закономерность проявляется не только, например, в кругообороте воды в природе, но и на более фундаментальном уровне — в кругообороте звездного вещества, кругообороте материи в природе. В этих случаях попытка построить новую оболочку за пределами некоторого собственного пространства вместо эволюционной интеграции приведет к инволюционной дифференциации. Поэтому везде, где в системе той или иной природы возникают замкнутые циклы, там проявляет себя закономерность замкнутости. Замкнутые циклы, рожденные в процессе эволюционной интеграции, являются ответственными за рождение самой Иерархии. Если же в результате подобного замыкания происходит членение целого на части, то можно говорить о частичной или полной инволюционной дифференциации системы, которая происходит до достижения частями распавшейся системы нового устойчивого состояния. В результате такой дифференциации распавшиеся части (подсистемы) получают «независимость» и становятся самодостаточными системами. Всегда, когда система достигает самого сложного, предельного уровня иерархии, попытка построить еще более сложный уровень иерархии вместо эволюционной дифференциации завершится инволюционной дифференциацией, попытка на самом нижнем этаже расчленить уже в принципе нерасчленимый элемент завершается эволюционной интеграцией. Так осуществляется самый глобальный замкнутый цикл любой системы.
Эффект «замыкания» является также следствием структурной ограниченности иерархических систем. Эта закономерность проявляется, прежде всего, в структуре системы. Структура накладывает определенные ограничения не только на свойства системы, но и на эволюцию системы. Как сама система, так и ее элементы (оболочки) обладают протяженностью, размерами, все они занимают определенное место в системе. Система наиболее устойчива не при всяких, а при определенных, так называемых оптимальных размерах, определяемых набором собственных значений и собственных векторов.
Структурная ограниченность проявляется в том, что для каждой иерархической системы число ее уровней иерархии ограничено. Этот фактор является одним из основных, который природа использует для реорганизации и создания новых систем, используя механизмы интеграции и дифференциации, создания многофункциональных или узкоспециализированных элементов. Как только система исчерпала свой предел структурной сложности, то эта система или «замыкается» в новый базисный элемент, или разрушается на отдельные части.
Данная закономерность подтверждается следующим примером из теории управления техническими системами. Пусть производство продукта х управляется некоторым руководителем, который принимает решение о скорости производства:
Тогда поведение руководителя более высокого уровня иерархии, принимающего решение о том, как нужно менять скорость производства, описывается уравнением:
Поведение руководителя третьего уровня иерархии, управляющего поведением руководителя второго ранга и т. д., вплоть до руководителя самого старшего уровня иерархии, который реализует обратную связь. Его желания уже обосновываются интересами дела, а не желаниями выполнять директивные установки вышестоящих начальников. Пусть, например, он желает достичь уровня Х величины х. Тогда его влияние на руководителя предыдущего уровня иерархии будет положительным, если уровень Х не достигнут, и отрицательным _ в противном случае. В этом случае простейшая 3-х уровневая модель будет иметь вид:
Переписывая эту систему в виде линейного дифференциального уравнения порядка n, получим:
Эти уравнения легко решаются в явном виде. Устойчивость желаемого стационарного состояния (x=X, y=z=…=0) определяется тем, отрицательны ли вещественные части корней характеристического уравнения
Все эти корни- комплексные числа, образующие на плоскости комплексного переменного вершины правильного n-угольника. При n =1 корень лежит в устойчивой полуплоскости, а при n =2 корни лежат на границе устойчивости. Если же n³3, то некоторые вершины обязательно будут лежать в неустойчивой (правой) полуплоскости.
Этот пример, иллюстрирующий многоуровневое управление, свидетельствует о том, что даже в этом простейшем случае при n >2 управление является не устойчивым. И это не случайно. Этот пример свидетельствует об ограниченности последовательно соединяемых звеньев управления и отражает фундаментальное свойство Природы, которое на более элементарных уровнях иерархии должно проявляться как закон. Ниже (часть 3) будет показано, что в микромире действительно существует такой закон (закон зарядово-спиновой перенормировки), накладывающий запрет на три последовательно соединяемых частицы.
Поэтому на любую многоуровневую систему будет накладываться ограничение на число уровней управления этой системой. Закономерность ограниченности и замкнутости проявляется и на функциональном уровне. Так известно, что взаимодействие систем с внешней средой осуществляется избирательно. Свойства избирательности можно обнаружить в атомах (валентность), в мембранах живых организмов, пропускающих в живые клетки только нужные им компоненты и т. д. Система реагирует не на все изменения любого из ее конечного набора параметров, а только на некоторые «избранные», и то только в том случае, если изменение параметра достигло некоторого порогового значения. Именно эти параметры будут системными. Все другие параметры оказываются «замкнутыми» внутри системы. Они имеют значение только внутри системы. Система сама регулирует их значения в нужных диапазонах. Эти параметры как бы имеют «суверенитет» от внешних воздействий. Наибольшая целостность у оболочек системы будет в том случае, если все основные функции ее будут «замкнутыми», когда все текущие задачи подсистема от исполнения и до контроля осуществляет самостоятельно. Эти функции как бы «экранированы» от вмешательства со стороны старшего уровня иерархии системы. Если же контроль за исполнением всех функций системы (подсистемы) и «мелочная» опека по контролю исполнения будет сохраняться за всеми старшими уровнями иерархии системы, если этот контроль многократно дублируется, то функционирование такой системы приводит в конечном счете к разрушению целостности системы. Закономерности ограниченности и замкнутости тесно связаны друг с другом. Так на этапе эволюции систем преобладающее действие имеет закономерность ограниченности, которая контролирует процессы саморегуляции системы в некоторых ограниченных параметрами целевой функции пределах. Как только параметры системы превысят установленные целевой функцией пределы, система начинает трансформироваться в новое качество. Именно в этот момент вступает в действие закономерность замкнутости систем, в соответствии с которой осуществляется реализация двойственного сценария.
Первый сценарий предусматривает «откат» системы на исходные позиции (инволюционная дифференциация ), т. е. система рассыпается на отдельные части, как карточный домик. При втором сценарии происходит трансформация системы в новое качество (эволюционная интеграция ). Система по уровню своей сложности переходит на более высокий уровень иерархии, на котором данная система будет использована в качестве базисного элемента, снимая таким образом требования к структурной и функциональной ограниченности системы. Следует заметить, что на каждом уровне иерархии структурные ограничения могут не изменяться, в то время как функциональные ограничения могут на каждом уровне иерархии носить специфический характер.
Таким образом, можно сказать, что само понятие неисчерпаемости материи фактически зиждется на
закономерностях ограниченности и замкнутости систем. Неисчерпаемость материи заключается не в том, что «электрон также неисчерпаем, как атом», а в том, что на каком-либо этапе эволюции материи происходит возврат к прежней структуре, в соответствии с законами иерархии, путем перехода на другой уровень иерархии. Происходит «замыкание» структуры в единую иерархическую оболочку. Поэтому в узком смысле электрон, атом, ., галактика, Вселенная в целом являются конечными, исчерпаемыми. В широком смысле они действительно могут быть не исчерпаемыми. Эта неисчерпаемость будет заключаться в том, что по своим физическим инвариантным свойствам они будут похожи друг на друга, как близнецы -братья. Все физические законы в них будут иметь одну и ту же форму. Их эволюция в широком смысле будет замкнута друг на друга. Ниже (часть 3, глава 4), на основе данной закономерности будет обоснована более глобальная гипотеза о замкнутости циклов рождения и гибели звезд, рождения и гибели Вселенной, рождения и гибели атомов, рождения и гибели элементарных частиц. Из закономерности о структурной ограниченности следует, что структура системы должна обладать инвариантными свойствами. Это важнейшее положение, которое должно быть положено в основу изучения структурных свойств материи. Структурная ограниченность иерархических систем проявляется и в том, что на каждом этапе своего развития они повторяет структуру своих «предков» — иерархических систем с более низким уровнем иерархии, т. е. характеризуются функционально-структурной преемственностью. Однако это свойство характеризует не только эволюционность, преемственность структуры системы, но и тот факт, что любая иерархическая система замкнута в некотором ограниченном объеме, на некоторой ограниченной «территории». Существует строгая теорема, носящая фундаментальный характер о замкнутости движения — теорема Пуанкаре о возвращении [24]:
«Пусть g — сохраняющее объем непрерывное взаимно однозначное отображение, переводящее ограниченную область D евклидова пространства в себя: gD=D. Тогда в любой окрестности U любой точки области D найдется точка хОU, которая возвращается в область, т. е. gnxО U при некотором n>0».
Теорему Пуанкаре можно усилить, доказав, что почти всякая движущаяся точка многократно возвращается к своему исходному положению. Эта теорема является одним из немногих общих выводов о характере движения. Несколько парадоксальным выводом из теорем Пуанкаре является следующее предсказание [24]: если открыть перегородку, разделяющую камеру с газом и камеру с вакуумом, то через некоторое время молекулы газа снова соберутся в первой камере. Этот феномен имеет в науке свое объяснение, но в нашем случае он свидетельствует о более фундаментальном характере эволюции материи, о замкнутости ее циклов эволюции. Нарушение закономерности о замкнутости иерархических систем человеком ставит самого человека вне закона, на грань самоуничтожения, т. к. любой не замкнутый производственный цикл может нанести и наносит непоправимый вред окружающей среде. Все иерархические системы характеризуются замкнутыми циклами своей эволюции. Таким образом, можно сказать, что главный смысл теоремы Пуанкаре заключается в том, что эволюция движения живой и неживой материи характеризуется цикличностью, замкнутостью, рождая принцип замкнутого круга. Заметим, что в математике, как разновидность принципа замкнутого круга, известен принцип порочного круга. Замкнутость проявляется еще и в том, что по мере усложнения мультидвойственных отношений сложные системы трансформируются во все более сложные, и наконец, наступает момент, когда совокупность мультидвойственных отношений с позиций внешнего наблюдателя будет восприниматься как шум, т. е. порядок как бы трансформируется в хаос. При этом возможны два исхода — эволюционная интеграция, или инволюционная дифференциация.
Оболочечное строение иерархических систем также свидетельствует, что не только подоболочки и надоболочки ограничены в некотором объеме, но и сама система также ограничена в объеме. В термодинамике, которая относится к одной из фундаментальных наук, основными объектами изучения являются термодинамические системы (несколько взаимодействующих материальных объектов) и термодинамические рабочие тела (один материальный объект), которые, по определению, являются, прежде всего, замкнутыми в некотором ограниченном объеме.
Если все системы в нашей Вселенной являются замкнутыми, то напрашивается очевидный вывод о том, что и сама Вселенная является ограниченной и замкнутой.
Из закономерностей ограниченности и замкнутости иерархических систем, а также закономерности двойственности иерархических систем следует, что каждый раз, когда возникает целостная иерархическая
система (с внутренней или внешней двойственностью), имеющая минимальную структурную сложность, мы можем говорить о рождении иерархической системы с новым уровнем иерархии, которая будет являться для этого уровня иерархии базисным элементом. При этом каждый базисный элемент системы будет являться двойственным. Эта двойственность может быть двух типов. В первом случае мы будем иметь два элемента, объединенных в единую систему и обладающих некоторым набором противоположных свойств (параллельное соединение). Во втором случае мы будем иметь один элемент, но этот элемент будет обладать внутренней двойственной структурой (последовательное соединение). У Природы просто нет других способов сопряжения двойственных объектов.
1.3.4.1. ЗАКОНОМЕРНОСТЬ ЕДИНСТВА СТРУКТУРНОЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ СЛОЖНОСТИ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Говоря о функционально-структурной организации сложных систем, о взаимосвязи функции и структуры, обычно говорят о взаимосвязи содержания и формы. Но такая взаимосвязь между структурой и функцией системы имеет более глубокие корни. Любая иерархическая система характеризуется предельной сложностью ее линейного иерархического пространства, не превышающего сложность соответствующего функционального иерархического пространства целевых функций системы. Это означает, что в любой иерархической системе в случае, если ее структурная и функциональная сложность не будут соответствовать друг другу, то такая система окажется на грани распада, т. к. структура этой системы не будет соответствовать выполняемым системой целевым функциям. Наоборот, если у системы имеются «валентные» целевые функции и имеются свободные ниши, в которые можно разместить соответствующие элементы-носители этих целевых функций, то такая система может функционировать нормально. В этом проявляется закономерность структурной и функциональной двойственности иерархических систем и подсистем. Каждый элемент системы предназначен для выполнения определенных целевых функций. Если для этого элемента в системе не существует целевых функций, то этот элемент является для системы чужим. Этот элемент начинает мешать работать системе. Наоборот, если какой-либо целевой функции системы не соответствует ни один элемент, то такая целевая функция оказывается «валентной». Такая целевая функция при соответствующих условиях может быть реализована при условии интеграции в систему нового элемента с целевой функций, двойственной по отношению к «валентной» целевой функции. Данная закономерность свидетельствует и о том, что структурная и функциональная сложность систем должны быть двойственными по отношению друг другу, они должны соответствовать друг другу. Не соответствие структурной и функциональной сложности системы может привести к ее не эффективному использованию или даже к гибели. Данная закономерность является следствием закономерности о двойственности иерархических систем и выделяется из нее потому, что имеет чрезвычайно важное значение для понимания, например, проблемы двойственности «частицы» и «волны». Область научного и практического использования данного открытия заключается в том, что она закладывается в основу создания теории собственных подпространств, в основе которых лежит постулат о двойственности их структуры и функции. Таким образом, можно говорить о новой, неизвестной ранее закономерности
«Двойственная взаимосвязь между целевой функцией и ее структурой характеризуется симметрией преобразования: каждому структурному уровню иерархии системы соответствует собственный набор функциональных состояний системы» .
1.3.4.2. ЗАКОНОМЕРНОСТЬ СТРУКТУРНОЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Из вышеизложенного и закономерности единства структурной и функциональной сложности иерархических систем следует, что любая структура системы ограничена определенным числом разрешенных структурных уровней иерархии, а функциональные возможности системы определяются не только числом соответствующих разрешенных функциональных состояний, но и наличием соответствующих структурных элементов, призванных реализовать соответствующие «валентные» функции. Данная закономерность является фундаментальной закономерностью в нашей Вселенной. Область научного и практического использования данного открытия заключается в том, что закладывается в основу новой фундаментальной науки и совместно с другими законами иерархии определяет принципы самоорганизации материи (самодостаточность, саморегуляция, самовоспроизведение, саморазвитие).
Таким образом, можно говорить о новой, неизвестной ранее закономерности
«Любая иерархическая система, независимо от ее природы, может существовать только в рамках данного качества, в рамках ограничений, накладываемых на ее целевую функцию и является структурно и функционально ограниченной определенным числом разрешенных структурных уровней иерархии и соответствующих им функциональных состояний».
1.3.4.3. ЗАКОНОМЕРНОСТЬ ЗАМКНУТОСТИ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Закономерность замкнутости иерархических систем вносит коренное изменение в представления об окружающем нас мире. Предполагаемое открытие свидетельствует о кругообороте материи, о Великом Круге ее эволюции. Оно вскрывает смысл существования различных периодических явлений, классификаций, включая Периодическую систему химических элементов. Данная закономерность может носить многоуровневый характер, характеризуя круг на Великом Круге эволюции материи, когда на каждом уровне иерархии систем (объектов) могут существовать собственные локальные замкнутые циклы. Закономерность замкнутости может характеризоваться или эволюционной интеграцией, или инволюционной дифференциацией. Эволюционная интеграция характеризует переход системы на качественно новый уровень развития. Инволюционная дифференциация характеризует распад целого на части до тех пор, пока не будет достигнуто устойчивое состояние этих отдельных частей (подсистем) бывшей системы. На завершающей стадии инволюционной дифференциации подсистемы становятся самодостаточными системами. Закономерность замкнутости является главной причиной рождения многоуровневых систем, рождения самой Иерархии. Эта закономерность проявляется в том, что на определенном этапе эволюции любой системы, при достижении последней предельного уровня сложности системы, при очередной попытке эволюционной интеграции происходит инволюционная дифференциация. Справедливо и обратное утверждение. На самом элементарном уровне сложности системы попытка осуществить дальнейшую инволюционную дифференциацию приведет к эволюционной интеграции, т. е. эволюционная интеграция и инволюционная дифференциация также замкнуты друг на друга:
«эволюционная интеграция» «инволюционная дифференциация»
Закономерность вносит коренное изменение во все прикладные и фундаментальные науки. Область практического приложения данной закономерности чрезвычайно широка. Данная закономерность свидетельствует о конечности и замкнутости Периодической системы химических элементов, о существовании, конечности и замкнутости Периодической системы элементарных частиц, Периодической системы звездных элементов, о многоуровневости этих систем, о глобальном кругообороте эволюции материи во Вселенной. Чрезвычайно важное значение данная закономерность имеет и для социальных систем, для проектирования и реализации действительно экологически чистых замкнутых циклов, характеризующих деятельность человечества. Закономерность о замкнутости (кругообороте) материи в Природе позволяет обосновать существование замкнутых циклов не только в макромире, но и в микромире, и на этой основе выдвинуть гипотезу о существовании микромолекулярной модели ядра атома. Данная закономерность является общесистемной. Она является справедливой для иерархических систем любой природы. В силу своей фундаментальности она неизбежно будет проявляться во всех научных дисциплинах.
Таким образом, открыта новая, неизвестная ранее закономерность замкнутости иерархических систем любой природы: «Эволюция любой системы характеризуется двумя последовательно чередующимися этапами - эволюционной интеграцией (синтез «от простого к сложному») до достижения системой предельно допустимого уровня сложности (уровня иерархии) и инволюционной дифференциации (распадом целого на части)».
Наиболее важным следствием этой закономерности является вывод о поведении любой системы в граничных точках эволюции. Так, при достижении нижней границы делимости попытка дальнейшего расщепления (инволюционная дифференциация) приведет к синтезу новой более сложной частицы (эволюционная интеграция). При достижении верхней границы попытка синтеза более сложной системы (эволюционная интеграция) приведет к распаду системы на части (инволюционная дифференциация). Закономерность замкнутости вносит коренное изменение в уровень наших знаний о структурных и функциональных свойствах микро — и макромира, о конечности и бесконечности Вселенной.
1.3.5. ЗАКОНОМЕРНОСТЬ СЖАТИЯ ЭТАПОВ ЭВОЛЮЦИИ СИСТЕМ
Известно, что любое физическое и социальное явления пронизаны ритмами, волнами и что сама жизнь — это тоже волнообразный, циклический процесс. По принципу маятника работают практически все организмы, по этому принципу ид¸т синтез и распад химических элементов, синтез и распад белковых молекул. И все эти волны, ритмы имеют экспоненциальную природу, т. к. мы жив¸м во вращающемся мире. Из математики известно, что если ряд вида
е 1 t2 t +… +е n t
изобразить в виде графика с логарифмической шкалой натуральных логарифмов, то мы получим график прямой линии, хотя фактически мы имеем дело с экспоненциальной зависимостью, которая является фундаментальной и является справедливой для иерархических систем самой различной природы. Ниже будет определен набор из восьми экспоненциальных функций, составляющих базисный набор, в соответствии с которым Иерархия строит свои системы на своих самых нижних «этажах». На более старших этажах иерархии данная экспоненциальная закономерность проявляется уже как закономерность сжатия этапов эволюции систем и формулируется [2] следующим образом:
Постепенное сжатие по временной оси диалектической спирали развития является общей закономерностью эволюции систем.
Эволюция иерархических систем характеризуется уменьшением времени жизненного цикла новых и новейших систем — суммарного времени от формирования концепции системы до ее снятия с эксплуатации. В научно-популярной и специальной литературе приводятся многочисленные примеры, иллюстрирующие сокращение сроков внедрения открытий и изобретений. Научно-техническая революция породила новый термин — «лаг внедрения», определяемый временем, которое отделяет научное открытие от его практического применения. Для радиолокации «лаг внедрения» составил 25 лет, для телевидения — 12, для транзисторов — 5 лет, для интегральных микросхем — 3 года. Далее события развивались следующим образом. Еще в конце второй мировой войны большинство специалистов вообще не считали космос областью исследований, достойной внимания. Однако, за появившейся в ходе второй мировой войны первой ракетой на жидком химическом топливе («Фау-2») последовала разработка боевых ракет с ядерными боеголовками, а затем и открытие космических полетов. В августе 1957 г. в нашей стране был осуществлен пуск первой в мире межконтинентальной баллистической многоступенчатой ракеты. Уже сама по себе, это была сложная многоуровневая иерархическая система.
Важнейшими достижениями космонавтики принято считать:
1903 г. — выход первой опубликованной работы К. Э. Циолковского по теории реактивного движения;
1957 г. -запуск первого искусственного спутника Земли (ИСЗ);
1961 г. — первый полет человека с космической скоростью — полет Ю. Гагарина;
1957 — 1967 гг. — создание автоматических межпланетных станций «Луна», «Зонд», «Венера», «Марс» для изучения ближайших к нам небесных тел — Луны, Венеры и Марса;
1965 г. — первый выход человека (А. А. Леонова) в космическое пространство;
1969 г. — Нейл Армстронг впервые ступил на поверхность Луны.
Закономерность сжатия этапов развития исключительно хорошо подтверждается эволюцией средств обработки информации. Первые механические счетно-решающие устройства получили распространение в XIX в. и успешно развивались в течение столетия. Электромеханические счетно-решающие устройства появились в 1930-х гг. и развивались как приборы управления артиллерийским и зенитным огнем до середины i960-x гг. Электронные аналоговые вычислительные машины интенсивно развивались с середины 1940-х гг. до конца 1960-х гг. Развитие электронных цифровых вычислительных и микропроцессорных систем идет еще более ускоренными темпами. Закономерность сжатия этапов эволюции справедлива для сложных иерархических систем любой природы, в том числе и для социальных. Знание этой закономерности позволяет осуществлять прогнозирование жизненного цикла той или иной системы, с учетом «экстраполяции» их развития. Этот аспект достаточно хорошо осознан и широко используется создателями систем различного назначения.
На рис. 1.3.5−1 приведен график, характеризующий жизненный цикл нескольких поколений одной иерархической системы по некоторому значению предельного параметра, характеризующего прогрессивное развитие системы. Строя огибающую кривую, нетрудно проследить прогресс системы в целом. Из огибающей нетрудно видеть и смысл предельного параметра.
Рис. 1.3.5−1. Огибающая эволюции «поколений» иерархической системы
Он характеризует «сходимость» параметра к какому-то предельному для данного типа систем значению и ограничивающего целевую функцию систем данного типа. Но знание жизненного цикла для прогнозируемой системы еще ничего не говорит о свойствах, которыми должна обладать система в новом сжатом цикле. Системы должны, в первом приближении, обладать преемственностью (способность к самовоспроизведению), к расширению своих функций (способность к саморазвитию). Они должны обладать способностью к адаптации в быстро изменяющихся условиях внешней среды (способность саморегуляции, самосохранения). Наконец, они должны быть самодостаточными, иметь способность самостоятельно решать свои задачи в некотором «жизненно важном» для системы «пространстве».
Это системы _ хамелеоны. Знание данной закономерности позволяет разрабатывать новые системы с учетом их «экстраполяции». В этом случае уже на этапе проектирования системы можно оценить время е¸ будущего жизненного цикла и срок морального износа продукции этой системы. Срок эффективного использования проектируемого объекта новой с техники можно находить и по способу, предложенному В. М. Мухач¸вым в книге «Как рождаются изобретения». Он основан на сравнении темпов прироста национального дохода с экономической (привед¸нной) эффективностью анализируемого проекта. И то и другое выражается в безразмерных отношениях. Прирост национального дохода характеризует относительную доходность народного хозяйства, выражающуюся отношением национального дохода данного года к таковому в прошедшем году. Экономическая эффективность проекта выражается отношением прихода к расходу. Если эффективность проекта постоянна и равна проектной, то эффективность народного хозяйства непрерывно раст¸т. Поэтому эффективность прогрессивного проекта должна закладываться выше, чем соответствующая эффективность системы, существующая в данный момент, чем соответствующие показатели эффективности народного хозяйства в настоящее время. В этом случае система, построенная по этому проекту, как бы жд¸т, когда народное хозяйство достигнет заданного в проекте уровня эффективности.
На рис. 1.3.5−2 по оси откладывается время в годах. На оси координат отложены текущие значения относительной эффективности народного хозяйства, т. е. отношения текущего переменного значения национального дохода к его значению в выбранный начальный момент времени. На той же ординате откладывается постоянное значение эффективности проекта. Она не зависит от времени и изображается на графике прямой, параллельной оси абсцисс.
Рис. 1.3.5−2.
Эффективность народного хозяйства вс¸ время растет и на привед¸нном графике (рис. 1.3.5−2) изображается некоторой кривой. Если на оси ординат откладывать значения логарифмов контролируемых параметров, то кривая развития народного хозяйства изобразится прямой линией, наклон¸нной к оси абсцисс под углом a. Линия эффективности проекта оста¸тся в этом случае прямой, по-прежнему параллельной оси абсцисс. Из графика наглядно видно, что чем выше темпы, тем скорее изнашивается проект морально, тем скорее его надо заменить другим, более совершенным. Такое изображение эффективностей удобно для построения и анализа. Из графика видно, что тангенс угла наклона логарифмической линии, зависящей от параметров геометрической прогрессии, может служить для определения срока службы запроектированного объекта новой техники. В самом деле
где n — число лет эффективной службы проектируемого объекта,
Эприв — привед¸нная экономическая эффективность проекта.
В иерархических системах, при смене одной системы другой, более производительной, момент перехода системы в новое состояние характеризуется рисунком 1.3.5−3, отражающем эволюцию целевой функции системы при ее переходе к новому качеству.
Этот рисунок характеризует смену одной системы другой после ее гибели, в отличие от рис. 1.3.5−1, характеризующего вначале зарождение новой системы внутри старой, а затем, после выхода новой системы на полную мощность, ее замену. В момент «смерти» старой системы значение ее целевой функции резко снижается. Так, например, в экономике такой целевой функцией может выступать прибыль, получаемая при функционировании системы. При остановке системы на реконструкцию, естественно, производятся дополнительные затраты даже в том случае, если система еще и будет производить продукцию. Однако, как только новая система переходит в режим функционирования, то целевая функция начинает возрастать и через некоторое время ее значение может стать значительно больше, чем у прежней, «умершей» системы.
Рисунок также свидетельствует о том, что после «смерти» системы кратковременно происходит нарушение двойственности системы, которая затем восстанавливается, после трансформации ее в новое качество. Аналогичные процессы происходят, например, и при взрыве Сверхновых. В момент смерти звезды происходит ее коллапс. При этом ее оболочка становится для погибшей звезды чужеродной, в силу чего временно нарушается закономерность двойственности, внешняя оболочка звезды взрывается, ее расширению уже ничто не препятствует, т. к. она оказывается за пределами гравитационного радиуса погибшей звезды.
Рис. 1.3.5−3
После чего погибшая звезда, попавшая в новую потенциальную яму, восстанавливает вокруг себя новое, соответствующее ее новому состоянию, поле. Аналогичная ситуация происходит и в живом мире, при рождении или смерти живых организмов.
1.3.6. ИНТЕГРИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
1.3.6.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Любую сложную систему почти невозможно описать полно и детально, что по существу вытекает уже из определения такой системы. Основная проблема состоит в нахождении компромисса между простотой описания и необходимостью учета многочисленных «поведенческих» (т. е. типа вход — выход) характеристик сложной системы. Так, общество, ставшее на путь индустриального развития, делает упор на развитие своей промышленности, на изготовление своего производства. На начальном этапе этого развития основная ставка делается на то, чтобы основное оборудование было достаточно универсальным. Так, обычный токарный станок в этих условиях считается ценнее, чем значительно более сложный специализированный станок. Высокая производительность при решении главной задачи здесь имеет второстепенное значение по сравнению со стоимостью этого оборудования и со способностью решать, хотя и более медленно, большое число разнообразных задач. На следующем этапе развития экономики главное значение приобретает развитие основных фондов и оптимизация их роста. Здесь уже в полной мере проявляется тенденция специализации оборудования и централизации производства, что является главным условием обеспечения более высокой производительности. Каждая система не только функционирует, но и развивается. Она переживает время своего рождения и становления, упадка и гибели. По мере развития системы, усложнения и расширения реализуемых ею функций, наиболее эффективными и жизнеспособными являются такие, в которых расширение функциональных возможностей, и соответственно, усложнение мультидвойственных отношений, осуществляется за счет размещения этих элементов на разных уровнях иерархии. Расширение функциональных возможностей такой системы может происходить без увеличения сложности самих элементов (свойство более узкой специализации элементов). На дальнейших этапах развития системы расширение функциональных возможностей системы за счет увеличения числа «узкоспециализированных» элементов на разных уровнях иерархии в конечном итоге приводит к чрезмерному усложнению системы без существенного увеличения эффективности ее использования, появляется необходимость создания новых «многофункциональных» элементов, на новой технологической базе. Это свойство многофункциональности элементов означает, что данный элемент естественным образом включает в себя структуру и свойства нескольких «узкоспециализированных» элементов, обеспечив тем самым основу для создания более совершенной системы, в которой многофункциональные элементы будут играть роль «узкоспециализированных» элементов. На рис. 1.3.6−1 приведен пример, иллюстрирующий принцип эволюции структуры и функций системы. Исходная структура состоит из 2-х структурных подразделений, А и В. По мере роста числа и объемов задач исходная структура подвергается реорганизации, т. к. на каждом из двух уровней фактически образуется многофункциональные подразделения. В результате от исходных подразделений отпочковываются новые структурные подразделения
А Ю А0 + А1, В Ю В1 + В2 (1.3.6−1)
Образуется структура с 3-мя уровнями иерархии, при этом часть задач будет передана на низшие ступени иерархии. В этом случае расширение функциональных возможностей системы реализуется за счет увеличения «узкоспециализированных» элементов. По мере отработки «экспериментальных» функций, возникших на верхних уровнях иерархии системы, эти функции, необходимые системе и отшлифованные на верхнем уровне, передаются на более низкую ступень иерархии системы.
Рис. 1.3.6−1
Далее осуществляется интеграция узкоспециализированных элементов, расположенных на одном и том же уровне иерархии.
В1 + А1 Ю С (1.3.6−2)
В результате на 2-м уровне иерархии образуется новый многофункциональный элемент. По мере роста системы снова появляется необходимость в ее дальнейшем членении и интеграции и т. д. При этом интеграция узкоспециализированных элементов может происходить не только за счет объединения элементов с одним и тем же уровнем иерархии. В ходе эволюции в полной мере сказывается закономерность структурной ограниченности систем. Поскольку число уровней иерархии в системе ограничено, то при дальнейшем увеличении их числа необходимо принимать уже специальные меры для сохранения системы. Именно к таким мерам и относятся меры по созданию многофункциональных и (или) узкоспециализированных систем, с созданием которых уровень целостности систем повышается. Чрезвычайно важное значение для сложных систем имеет их способность быстро настраиваться или перестраиваться в соответствии с изменяющимися условиями внешней среды. Такие системы обычно относят к системам — хамелеонам, которые имеют высокую степень адаптации к изменению условий внешней среды. Наиболее эффективными в этом отношении будут являться системы, в которых в качестве узкоспециализированных элементов используются многофункциональные элементы. В таких элементах имеется много потенциальных, не задействованных связей. Каждый такой многофункциональный элемент, имея «валентные» связи, может быстро перестраивать свои функции и свои связи с внешней средой, изменяя не только функции, но и структуру всей системы в целом. Отметим, что по мере роста системы ее энтропия (не структурированность) увеличивается с течением времени, что является одной из основных причин, побуждающих принимать специальные меры по ее поддержанию на одном и том же уровне, или даже снижению, т. к. по этой причине число уровней иерархии систем оказывается ограниченным.
В совершенствовании системы можно выделить два основных аспекта, различия между которыми заключается в мотивировке затрат и усилий:
— совершенствование, принимаемое «по доброй воле» по отношению к системе, вообще говоря, соответствующей своему целевому использованию;
— реорганизация, предпринимаемая по необходимости и по отношению к системе, подчас уже не соответствующей своему целевому использованию.
Можно сказать, что любая используемая система подвергается непрерывным изменениям до тех пор, пока не окажется, что экономически выгоднее ее «заморозить» и сделать заново (реорганизация управления и создание новой технологической базы). Повседневная практика свидетельствует, что природа строит свои «пирамиды» чрезвычайно осмотрительно и в полном соответствии с правилами создания иерархических систем.
Вначале, построив небольшую элементарную пирамиду, Иерархия начинает строить следующую, двойственную ей подоболочку (внешняя двойственность). Затем эти подоболочки объединяются в новую целостную оболочку с внутренней двойственностью. Далее процесс повторяется. Крах финансовых и маркетинговых пирамид лишний раз свидетельствует о том, что иерархические системы будут устойчивы и жизнеспособны, если в них будут учитываться законы сохранения двойственности, закономерность ограниченности и замкнутости их оболочек, которые являются причиной и источником движущей силы закономерности интеграции и дифференциации иерархических систем.
1.3.6.2. ЗАКОНОМЕРНОСТЬ ИНТЕГРАЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ СИСТЕМ
Интеграция и дифференциация функций иерархических систем характеризует процессы трансформации внутри какой-либо отдельно взятой системы. Все эти системы не являются изолированными от внешней среды. Иерархические системы во внешней среде находятся и функционируют в условиях взаимодействия друг с другом. И потому в них, несмотря на их отношения равноправия, также идут процессы интеграции и дифференциации. Пусть мы имеем некоторое множество иерархических систем, оболочки которых будут вложены друг в друга. В этом простейшем случае в условиях взаимодействия с внешней средой (при взаимодействии друг с другом) контакты между ними будет характеризоваться отношениями координации и они будут осуществляться исключительно через внешние сенсорные оболочки. Если такие контакты будут носить устойчивый характер, то мы получим устойчивую оболочку с внешней двойственностью, в которой сенсорные оболочки реагируют на контакты и регулируют тем самым свои взаимоотношения. При нарушении устойчивых связей такие системы неминуемо распадаются. Однако при устойчивых связях отношения координации перерастают в отношения субординации и мы получаем новую целостную оболочку с внутренней двойственностью. Естественно, что в процессе эволюции мы будем получать все более сложные интегрированные системы с отношениями мультидвойственности. Это приведет к появлению систем, оболочки которых не будут вложены друг в друга и, следовательно, не изолированы от внешней среды. Поскольку каждая оболочка такой системы будет иметь контакты с внешней средой, то при наличии «валентности», характеризующей возможности контакта, такие контакты будут установлены. Произойдет сращивание разных иерархических систем уже не на уровне сенсорных оболочек, а на уровне их «валентных» оболочек и подоболочек. Вначале эти отношения будут равноправными. Если связи будут нарушены, то система распадется. Но при устойчивых связях они неизбежно перерастут в отношения субординации. Сращивание двух систем будет происходить с образованием новой целостной оболочки. Вначале это будет оболочка с внешней двойственностью, а затем она может преобразоваться в оболочку с внутренней двойственностью. Закономерность двойственности является ответственной за сращивание этих оболочек в единую оболочку. В процессе взаимодействия противоположные оболочки обмениваются информацией, между ними осуществляется «бартерный» обмен продуктами «жизнедеятельности» системы. Это взаимодействие осуществляется совершенно аналогично тому, как осуществляется, например, взаимодействие продавца и покупателя в магазине. В результате сделки покупатель получает товар, продавец _ деньги. Так и между любыми противоположными оболочками осуществляется аналогичная «сделка», в результате которой формируется новая интегрированная система или даже новое иерархическое сообщество интегрированных систем. Используя отношения мультидвойственности, интегрированные системы получают полезную и необходимую для своей жизнедеятельности информацию, продукты, услуги. Оболочки систем (и отдельные системы), внедряясь друг в друга, формируют новую, единую целостную систему, обладающую новыми качественными свойствами.
Закономерность интеграции иерархических систем самым естественным образом объясняет природу появления сложных интегрированных систем из «хаоса» других беспорядочно взаимодействующих систем. Эта закономерность демонстрирует философский принцип порядка и хаоса, которые «живут» в диалектическом единстве. Мир развивается закономерно, а не случайно. Каждая система, имеющая «валентные» связи, рано или поздно, но найдет недостающую ей «половину» и сделает очередной шаг в своей эволюции. По мере эволюции интегрированные системы будут становиться все сложнее и сложнее. Способность интегрированных систем вступать в контакты и формировать устойчивые отношения координации и субординации будет становиться все меньше.
Наиболее жизнеспособными из них окажутся те, которые сумеют адаптироваться к внешней среде. Адаптация будет заключаться в том, что отношения координации не будут носить устойчивый характер. В интегрированных системах, в силу ограниченности и замкнутости их структур, структурные возможности интеграции будут ограниченными. В них будут возникать структуры с переменным числом «участников», с переменными связями между ними. Время жизни таких структур по мере дальнейшей эволюции будет становиться все меньше и меньше. Всякий раз, после достижения предельных значений параметров системы, в ее структуре будет производиться реорганизация, с изменением структуры отношений и состава «участников», т. е. осуществляется эволюционная интеграция [107], в результате которой происходит переход системы на качественно новый уровень. Примерами таких сложных иерархических систем могут служить и системы с изменяемой структурой. Например, подключая к компьютеру, имеющему ограниченное число входов и выходов (портов), тот или иной прибор, мы тем самым создаем новую интегрированную систему.
Эволюционная интеграция сложных иерархических систем проявляется и в эволюции живых организмов, и в эволюции вычислительной техники, и в социальных, и других системах. Например, из рисунка 1.3.6−2 видно, как осуществляется взаимопроникновение друг в друга оболочек и подоболочек разных иерархических систем. В результате получается слоеный пирог (ЧИП). Ниже будет показано, что атомы химических элементов, в принципе, имеют точно такую же структуру. Элементы верхнего уровня являются самыми чувствительными и им принадлежит приоритет права вмешательства в подоболочки и оболочки нижестоящих уровней иерархии. Оболочки и подоболочки в интегрированных подсистемах оказываются более чувствительными на вмешательство «вышестоящих» уровней иерархии, чем на возмущения своих «горизонтальных соседей». С системной точки зрения можно сказать, что «собственные» целевые функции в системах являются главными, в то время как «горизонтальные связи» характеризуют вспомогательные функции систем. Однако наряду с процессами интеграции (процессами синтеза новых систем), происходят и процессы дезинтеграции этих систем. К подобным процессам можно причислить процессы расщепления химических элементов на более простые, процессы дезинтеграции организмов и разрушения сложных систем, и т. д. И эти процессы также являются следствием простых закономерностей. Всякий раз, когда иерархическая система, или ее любая внешняя оболочка, вступает во взаимодействие с другой иерархической системой, с более «сильными» отношениями мультидвойственности, то при отсутствии у первой системы (оболочки) «валентных» свободных связей, вместо процессов интеграции могут происходить обратные процессы _ дезинтеграции. При этом «чужая» иерархическая система (внешняя среда) оказывает на иерархическую систему более «сильное влияние», чем ее «родные» оболочки и подоболочки. Привычные связи разрываются. Если эти возмущения кратковременны, то утраченные связи еще могут восстановиться после устранения источника возмущения. В противном случае старая система будет разрушена. В сложных системах, имеющих высокую степень адаптации к условиям окружающей среды, интеграция и дифференциация происходят практически одновременно, за счет использования многофункциональных базисных элементов системы. Эти элементы, обладая избыточными потенциальными связями, имеют важное свойство быстро перестраивать не только свои функции, но и структуру системы в целом, за счет быстро перестраиваемых контактов с внешней средой (другими оболочками и подоболочками системы).
Закономерность интеграции и дифференциации иерархических систем также является одной из самых фундаментальных закономерностей материи, с отношениями внешней и внутренней двойственности. Взаимопроникновение оболочек и подоболочек иерархических систем друг в друга, приводит к рождению новых упорядоченных интегрированных оболочек и подоболочек, к рождению интегрированных систем с многосенсорными подоболочками и оболочками.
Таким образом, закономерность интеграции и дифференциации сложных систем вскрывает глубокие причинно-следственные связи этой закономерности с закономерностью о двойственности иерархических систем, формирующей механизмы, являющимися движущей силой процессов интеграции и дифференциации.
1.3.6.3. ПРИНЦИП МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНОСТИ
История развития науки и техники свидетельствует, что различные принципы, составляющие основу организации современных систем, использовались человечеством задолго до их обобщения. Например, принципы обратной связи, иерархической организации систем, избыточности, резервирования и др. Современная их формулировка и разработка методов количественной и качественной оценки систем, базирующихся на этих принципах, позволили сознательно использовать определенные концепции при анализе иерархических систем. Заданная совокупность функций может реализоваться в системе как многофункциональными элементами, так и специализированными, предназначенными для выполнения определенных функций. Многофункциональность можно, в первом приближении, определить как способность объекта реализовать не единичный набор функций. Свойство многофункциональности определяется внутренней структурой объекта. В конкретных случаях многофункциональный по своей природе объект может использоваться как элемент системы, реализующий полный набор возможных функций, или монофункционально, т. е. реализовать одну из функций. Возможна также реализация определенной совокупности функций, потенциально воспроизводимых многофункциональным объектом. Анализ эволюции сложных систем показывает, что по мере развития систем, усложнения и расширения реализуемых ими функций, наиболее эффективными и жизнеспособными являются системы, в которых расширение функциональных возможностей элементов, находящихся на различных уровнях иерархии системы, опережает рост их сложности. Следовательно, в развивающихся человекомашинных системах расширение функциональных возможностей должно опережать рост сложности объектов, реализующих эти функции. Принцип многофункциональности непосредственно вытекает из закономерности преемственности функционально-структурной организации иерархических систем. В процессе познания человек открывает новые, неизвестные ранее функции отдельных подсистем живых организмов. В биологических системах свойство многофункциональности является характерным для всех уровней их функционально-структурной организации - от клеточного уровня до уровня популяции. С этих позиций эволюция биологических объектов происходит следующим образом. При изменении условий существования необходимым становится количественное и качественное изменение функций, реализуемых отдельными подсистемами живого организма. Это неизбежно приводит в процессе эволюции к соответствующим изменениям в функционально-структурной организации биосистем. Естественный отбор закрепляет вновь приобретенные признаки. Таким образом осуществляется адаптация живых организмов к изменяющимся условиям существования и обеспечивается их выживаемость. Этот отбор осуществляется в соответствии с законом больших чисел, имеющего экспоненциальную природу. Живые организмы, которые сумели осуществить отношения координации с внешней средой, сумели превратить ее в благоприятную для себя среду, получили не только возможность к выживанию, но и возможность к интеграции с этой средой, возможность, при которой в процессе эволюции возникают условия преобразования отношений координации в интегрированных оболочках в устойчивые отношения субординации. Последовательное улучшение в процессе исторического развития показателей качества объектов определенного функционального назначения приводит к совершенствованию систем соответствующего класса и может привести к формированию систем нового класса, что имеет место при изменении состава основных функций системы. Развитие иерархических систем идет по диалектической спирали. Расширение витков ее во времени соответствует количественному и качественному изменению функций, реализуемых системой. Каждая точка на витке спирали соответствует определенному соотношению между многофункциональными и специализированными объектами (элементами, модулями, органами) системы. На определенном этапе развития системы конкретного класса, предназначенные для решения требуемой совокупности задач, включают как многофункциональные, так и специализированные объекты. Непрерывное повышение требований и расширение класса задач, реализуемых системой, приводят к быстрому росту числа специализированных объектов и подсистем, входящих в систему. Разнообразие специализированных объектов усложняет структуру системы и в силу структурной ограниченности снижает эффективность ее функционирования. Возникает необходимость начинать строить новую систему, на новом уровне, на котором действующая система принимается за базисный элемент. В результате совокупность специализированных элементов заменяется на один многофункциональный элемент. Система на новом уровне иерархии, повторяя при своем развитии структуру базисного элемента, получает возможность реализовывать на новой элементной базе более совершенные функциональные возможности. Поэтому принцип многофункциональности предоставляет практически безграничные возможности для совершенствования систем. Благодаря многофункциональности каждая оболочка системы,
специализирующаяся на реализации той или иной целевой функции, имеет «валентные» возможности осуществлять дополнительные связи с другими такими же многофункциональными соседними оболочками, находящимися на одном и том же уровне иерархии, или с внешней средой. Эти валентные возможности представляют собой основную причину интеграции систем, сращивание их в единую интегрированную систему. Существует теорема о том, что автомат не может создать автомат, более совершенный, чем он сам. Структурная сложность системы определяется структурной сложностью базисного элемента. Рассматривая человека как самый совершенный автомат, мы получим неутешительный вывод, что человек никогда не сможет создать автомат более совершенный, чем он сам. Однако принцип многофункциональности позволяет решить эту проблему. Этот принцип позволяет преодолевать структурные ограничения системы путем замены базисных элементов на новые, с более высоким уровнем иерархии, и имеющими более совершенные функциональные возможности.
1.3.7. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ АСПЕКТ
Всякая система существует только в конечном промежутке времени. Следует отметить, что свое собственное индивидуальное «время жизни» _ жизненный цикл имеют и все составные элементы системы. Это приводит к ряду важных выводов.
Во-первых, во всякой системе собственное «время жизни» элементов системы, как правило, меньше, чем время жизни системы в целом.
Во-вторых, собственные времена жизни элементов системы характеризуются периодичностью, т. е. периодичность изменений свойств элементов характеризуют состав и строение самого понятия индивидуального «времени жизни» элемента системы.
В-третьих, имеет место временная согласованность действий системы: одни из них функционируют одновременно, другие — последовательно через те или иные промежутки времени. Все это говорит, что любая система характеризуется не только пространственной, но и временной организацией. Теория относительности свидетельствует, что при скорости движения больше 1-й космической, уже могут наблюдаться эффекты замедления времени, которые становятся тем заметнее, чем ближе скорость движения тела будет к световой скорости. Эти факты свидетельствуют о том, что время в разных оболочках иерархических системах течет по — разному. Так, пока мы движемся вместе с Землей или в околоземном пространстве, мы находимся в одной иерархической системе. Как только мы превысили 2-ю космическую скорость и вышли из поля тяготения Земли, мы тотчас же попадаем непосредственно в поле тяготения Солнца, в другое измерение времени. Выйдя за пределы солнечной системы, мы снова окажемся в другом временном измерении и т. д. Из свойств дискретности иерархических систем, состоящих из системы вложенных друг в друга оболочек, можно сделать предположение и о дискретном проявлении эффекта замедления времени, особенно на уровне микромира. В сложных иерархических системах замечено, что чем старше уровень иерархии, тем реже управляющие воздействия, и чем младше уровень иерархии, тем чаще периодичность процессов, происходящих в более младших уровнях иерархии. Следовательно, в каждой иерархической оболочке имеется свое собственное, виртуальное время, свое собственное временное измерение, которое необходимо учитывать. При этом собственные времена жизни оболочек систем составляют упорядоченный ряд и носят экспоненциальный характер. Относительность времени не зависит только от скорости света. Время является одним из компонент базисного набора собственных значений и собственных векторов любой иерархической системы. Неравномерность временной шкалы, которая наблюдается в эволюции иерархических систем при формировании их оболочек, при переходе от одного узла эволюции к другому, при смене одного этапа эволюции на другой и т. д., свидетельствует о том, что собственные времена оболочек систем различны, и эта зависимость времени жизни оболочек также носит экспоненциальный характер. С другой стороны, теория относительности свидетельствует, что пространство также является искривленным по экспоненциальному закону. Анализ эволюции различных живых организмов, или отдельных их видов, эволюции социальных формаций, эволюции исторических этапов планеты Земля и т. д. показывает, что все этапы этих эволюций могут быть изображены в логарифмической шкале времени. Только в этом случае мы получим равномерную шкалу времени. Поэтому каждый уровень иерархии системы имеет свое индивидуальное «жизненное» пространство и свою индивидуальную шкалу времени, т. е. имеет свой индивидуальный набор собственных значений для иерархической системы данного уровня и в силу этого имеют равномерную шкалу изменения в рамках системы с данным уровнем иерархии. Время характеризует частоту «жизненных» ритмов, характерных для данной системы. Чем больше «жизненное» пространство системы, тем медленнее там течет время. Ниже, в рамках теории собственных пространств, будут определены свойства этих собственных пространств и подпространств и будет сформулирована соответствующая пространственно -временная концепция, которая устраняет многие неопределенности специальной теории относительности А. Эйнштейна и может быть положена в основу общей теории относительности.
1.3.8. ПРИНЦИПЫ САМООРГАНИЗАЦИИ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ.
Из закономерностей иерархических систем вытекают некоторые общие принципы самоорганизации этих систем. Эти принципы являются определяющими для функционирования живых и неживых организмов, строгой эволюционности их развития. Термины самоорганизация, самоуправление, самоадаптация и т. д. не являются чем-то новым. В последние годы они все чаще и настойчивее появляются в самых разных научных приложениях. Однако еще никто не пытался систематизировать эти понятия, показать их всеобщий характер и связь с самыми фундаментальными законами природы.
1.3.8.1. ПРИНЦИП ЦЕЛОСТНОСТИ И САМОДОСТАТОЧНОСТИ
Выше (см. 1.2.1) было подробно рассмотрено понятие целостности системы и что это понятие связано, в первую очередь, с изначальной двойственностью иерархических систем. Подход к понятию целостности, как к системе, обладающей внешней или внутренней двойственностью, в определенной степени выводит само понятие целостности из категории чисто философской в категорию естественно-научную. Поэтому пока в системе существует двойственность, существует и сама система как целое, в рамках заданной двойственности. Нет целостности- нет системы. При разрушении система распадается на отдельные подсистемы, которые, обретая «независимость», могут стать целостными системами. Но могут и не стать, если они не будут самодостаточными. Самодостаточность является практически синонимом понятия целостности системы и определяет нижнюю минимальную границу целостности системы. Самодостаточные системы обладают свойствами независимости исполнения своих внутренних функций от внешних воздействий, за исключением одной или нескольких «избранных» системой для этой цели ее оболочек, являющихся ответственными за такое взаимодействие. Если граница целостности будет меньше требуемой для самодостаточности, то система не будет целостной и будет практически представлять собой только часть некоторой самостоятельной подсистемы (системы). Самодостаточность может иметь и имеет свои количественные характеристики. При этом чаще всего используется пропорция 1/3:2/3, что означает, что любая система будет самодостаточной, если из всей совокупности целевых функций системы 2/3 из них система реализует полностью самостоятельно. Так в социальных системах при принятии ответственных решений используется квалифицированное большинство — 2/3. Эта же пропорция характеризует в целом и независимость любого государства от влияния иных культур, иностранных капиталов, материальных и духовных ценностей. Эта же пропорция характеризует и деятельность центральной нервной системы, в которой 1/3 приходится на условные рефлексы и 2/3 — на безусловные рефлексы. Сознание человека, характеризующего его самодостаточность, на 2/3 состоит из подсознания. Для самодостаточности экономических систем необходимо, чтобы потребность в ресурсах на 2/3 реализовывалась за счет внутренних ресурсов (самофинансирование, самоокупаемость,…). Подобные примеры самодостаточности систем можно продолжать до бесконечности.
1.3.8.2. ПРИНЦИП САМОРЕГУЛЯЦИИ (САМОСОХРАНЕНИЯ)
Количественные меры тенденций роста свойств иерархических систем, взятые локально, могут показаться случайно разбросанными во времени и пространстве, но статистически они периодически саморегулируются и отражают определенные общие принципы, присущие жизненному циклу иерархических систем. Одним из начальных мотивов саморегуляции является исправление «недостатков». Но с устранением одного недостатка с течением времени могут появляться более «сложные недостатки», которые могут быть упорядоченными в том смысле, что один из них обязательно нужно устранить прежде, чем удастся обнаружить другие. В основе устойчивости любой целостной системы лежит закономерность двойственности. Действительно, в общем случае, имея два граничных значения какого-либо параметра, можно сказать, что оптимальное значение для этого параметра будет лежать между этими двумя крайностями. Поэтому проблема саморегуляции сводится к нахождению и использованию именно таких крайних значений. Необходимо вначале определить граничные условия. После этого вс¸, что мы должны сделать, — это найти спектр возможных решений и, исследовав его, найти точку, которая для рассматриваемого конкретного случая является оптимальной. Это будет точка «равновесной цены» между двумя крайними значениями, при которой система находится в равновесии. Природа, делая первый шаг, не задумывается о том, является ли ее решение оптимальным, хорошим или даже приемлемым, т. к. это только первое приближение на пути поиска наилучшего, оно служит только отправной точкой. Поэтому саморегуляция _ это процессы, которые связаны с внутренними преобразованиями структуры, не выходящими за пределы ее границ, реализуются элементами структуры (внутренними подоболочками) и направлены на сохранение работоспособности системы. В кибернетических системах для саморегуляции широко используется принцип отрицательной обратной связи. В наиболее совершенных системах осуществляется компенсация утраченных функций за счет их перераспределения между элементами системы.
Из закономерности двойственности иерархических систем следует, что устойчивая система будет находиться в равновесии, если между ее двумя противоположными полюсами будет соблюдаться баланс. Тогда всегда процессы, происходящие в этой системе, будут протекать по принципу маятника, при его движении от одного противоположного полюса системы к другому, осуществляя, таким образом, принцип саморегулирования, который находит свое отражение в диалектическом законе единства и борьбы противоположностей. Двойственность иерархических систем является движущей силой иерархических систем. В процессе функционирования по принципу маятника происходят циклические преобразования системы из одного состояния в противоположное, осуществляя таким образом принцип саморегулирования. В социальных системах, например, такими противоположными полюсами являются формы управления государством — демократическое и авторитарное. Однако в любом случае при движении системы от одного полюса к другому сумма ее «кинетической и потенциальной энергии» будет являться постоянной величиной. Эта константа и составляет сущность принципа саморегулирования иерархических систем, в основе которого лежит закономерность сохранения двойственности системы. Этот принцип справедлив для всех иерархических систем. Так, в теории ядра атома этот принцип находит свое отражение в возникновении самосогласованного поля. Следует отметить, что процессы саморегуляции систем контролируются закономерностью замкнутости систем. Именно эта закономерность осуществляет проверку целевой функции системы на предельные значения ее параметров, в том числе и параметров, характеризующих ее структурную сложность. При выходе параметров за пределы ограничений начинается трансформация системы и целевой функции в соответствии со сценариями, предусмотренными закономерностью о замкнутости системы (эволюционная интеграция или инволюционная дифференциация). По этой причине принципы саморегуляции будут выполняться далеко не во всех системах. Так, теория управления доказывает, что управление в многоуровневых системах является не устойчивым уже при трехзвенном уровне управления (см. 1.3.3). Это является еще одним подтверждением, что число уровней иерархии в естественных системах является ограниченным, что принципы саморегуляции будут работать только в том случае, если «работают» другие закономерности иерархических систем, обеспечивающих их целостность. Поэтому в технических и общественных многоуровневых системах это вызывает необходимость разрабатывать и совершенствовать механизмы управления, механизмы регуляции.
Принцип саморегуляции иерархических систем можно с полным правом называть и принципом самосохранения систем, т. к. он фактически отражает способность систем к собственному сохранению при наложенных на нее ограничениях. Этот принцип лежит и в основе возникновения самосогласованных физических полей разной природы.
1.3.8.2.1. ПРИНЦИП МИНИМУМА (МАКСИМУМА)
В саморегулируемых системах всегда, когда речь ид¸т о целевой функции системы, осуществляется е¸ минимизация или максимизация. Это очень важное свойство целевой функции (и соответственно целостной системы, независимо от ее природы). Уже к началу ХVII века уч¸ные располагали несколькими впечатляющими примерами того, как природа пытается «максимизировать» или «минимизировать» те или иные важные
характеристики физических процессов. Один из величайших математиков ХVII в. Пьер Ферма /1601−1665/, опираясь на весьма скудные экспериментальные данные, сформулировал принцип наименьшего времени: свет, идущий из одной точки в другую, распространяется по такому пути, на преодоление которого уходит наименьшее время. Христиан Гюйгенс доказал, что тот же принцип верен и для света, распространяющегося в среде с непрерывно изменяющимися свойствами. Даже первый закон Ньютона, утверждающий, что всякое находящееся в состоянии движения тело, если на него не действуют никакие силы, движется по прямой, стали рассматривать как ещ¸ одно свидетельство «принципа экономии», выполняющегося в природе. Первую формулировку более общего принципа предложил Пьер Мопертюи (I698-I759), который провозгласил свой знаменитый принцип наименьшего действия, опубликовав статью под названием «0 различных законах природы, казавшихся несовместимыми». Величайший математик Леонард Эйлер по поводу этого принципа писал: «…во вс¸м мире не происходит ничего такого, в ч¸м не было бы воплощено какое-либо правило максимума или минимума». Более точную и общую форму принципу наименьшего действия придал Лагранж. Из обобщенного принципа наименьшего действия удалось получить решения многих новых задач механики. Принцип наименьшего действия по существу стал центральным принципом вариационного исчисления. Этот принцип и поныне является одним из наиболее универсальных принципов, лежащих в основе механики. Сходные принципы были сформулированы и в других науках о неживой природе. В физической химии, в соответствии с принципом Ле Шателье, изменение внешних условий вызывает в системе реакции, противодействующие производимому изменению. При изучении жидкостей используется принцип минимальной свободной поверхности жидкости, на основе которого определяется форма поверхностного слоя. По мере дальнейшего развития естествознания, по мере того как на смену классическому естествознанию шло современное естествознание, вс¸ более выявлялась общность «принципа наименьшего действия», применяемого в самых разных науках. В 1866 г. Гельмгольц распространил этот принцип на некоторые не механические явления, а в 1942 г. Р. Фейнман обнаружил его связь с квантовой механикой. Сходный принцип был использован в генетике для объяснения взаимодействия генов. Наконец, и у истоков живого, на уровне биологических молекул, проявляется действие этого же принципа. Как отмечает В. А. Энгельгардт, здесь действует физический принцип минимума свободной энергии, который выступает как ведущий фактор структуризации живых систем, по крайней мере на самых первичных уровнях, приближающихся к молекулярному. Благодаря этому обеспечивается возможность «самосборки» первичных молекулярных структур живого. Важную роль принцип минимума (максимума) играет в современном социальном познании и в социальной практике, особенно в технике и в практике социально-экономического планирования и управления, где этот принцип «закладывается» в целевую функцию, дающую обобщенную интегральную картину состояния системы. Принцип минимума (максимума) вытекает из двойственности иерархических самоорганизованных систем, в которых этот принцип выражает оптимальное значение ее целевой функции. Напомним, что часто эта функция имеет вид
Минимизировать при условии
где — собственно целевая функция, а
 — ограничения, накладываемые на целевую функцию.
В соответствии с целевой функцией, которая в общем случае носит экспоненциальный характер и характеризует функционирование самоорганизованных иерархических систем, природа всегда пытается максимизировать или минимизировать ту или иную целевую функцию.
Принцип максимума и минимума отражает две крайние противоположности значений целевой функции системы и, следовательно, вытекает из самого понятия целостности изначально двойственной иерархической системы. Принцип максимума (минимума) справедлив для любой системы с внутренней двойственностью и характеризует принцип оптимального саморегулирования в системах с внутренней двойственностью.
1.3.8.2.2. ПРИНЦИП МИНИМАКСА
Данный принцип справедлив для иерархических систем с внешней двойственностью. Действительно, каждая система с внешней двойственностью состоит из двух противоположных половинок с внутренней
двойственностью. При этом одна подсистема реализует принцип максимума, а другая принцип минимума. В теории игр подобные модели можно изобразить в виде тройки , где Х и Y представляют некоторые пространства (территории), на которых действуют системы (игроки), а L — ограниченная числовая функция, определенная на прямом произведении . Точки называют стратегиями соответственно первого и второго игроков, а функцию L называют функцией потерь. Обычно в теории игр стратегию первого игрока, принимающего то или иное целевое решение, связывают с гарантированным выигрышем , равным наименьшему значению выигрыша из некоторого набора значений целевой функции, соответствующей принятой игроком стратегии :
Если из всех возможных значений его минимальных выигрышей, получающихся от реализации той или иной стратегии поведения, будет выбрана та, которая обеспечивает ему максимальный гарантированный выигрыш, то условие получения гарантированного выигрыша можно записать в следующем виде
Аналогично, для стратегии второго игрока, обеспечивающего ему минимальный проигрыш, можно записать
где
Рис. 1.3.8.2−1
В данной модели стратегии игроков прямо противоположны. Если первый игрок стремится в той или иной ситуации получить максимальный выигрыш, то стратегия второго игрока направлена на получение минимального проигрыша. В результате реализации этих стратегий на каждом шаге игры возникает принцип, известный в математике как минимаксный. Подобное единство противоположностей, основанное на стратегии минимакса, рождает принцип оптимального саморегулирования в системах с внешней двойственностью.
Принцип минимакса в иерархических системах имеет многоуровневый характер. В результате реализации принципа минимакса в большинстве случаев системы будут иметь не нулевое значение самосогласованной целевой функции.
В этом случае при формировании целевой функции системы с более высоким уровнем иерархии самосогласованная целевая функция подсистемы будет всегда стремиться к своему значению, которое она бы имела в случае автономного существования, т. е. к минимуму или максимуму. Естественно, что в системе с более высоким уровнем иерархии это значение может иметь как минимальное, так и максимальное значение, что в процессе саморегуляции системы с более высоким уровнем иерархии приводит снова к рождению принципа минимакса. Таким образом, принцип саморегулирования иерархических систем самой различной природы связан, прежде всего, с принципом минимума, максимума или минимакса. Этот принцип Природа использует во всех иерархических системах. При этом взаимодействие «противоположных персонажей» с гармоническим отношениями будут характеризоваться стремлением к максимуму их взаимной полезности. В антагонистических системах принцип минимакса скорее всего будет характеризовать стремление к взаимному минимальному ущербу.
Следует отметить, что в современных многоуровневых сложных системах, в силу их мультидвойственности, принцип минимакса будет справедлив в «чистом виде», прежде всего, для ее отдельных частей, отдельных сегментов, которые можно свести к подсистеме с внешней двойственностью.
1.3.8.3. ПРИНЦИП САМОВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ
Структурная ограниченность играет важную роль в саморазвитии иерархических систем, как бы вынуждая иерархическую систему осуществлять переход к новому уровню иерархии и начинать строить новую систему на новой «элементной» базе. Поэтому можно сказать, что иерархические системы обладают «генетическими» способностями к самовоспроизведению. Этот принцип лежат в основе эволюционного развития сложных систем, включая и сложные интегрированные системы. В основе механизма самовоспроизведения лежит закономерность о преемственности развития систем. Как только система, в соответствии со сценарием эволюционной интеграции, «замыкается» в новый базисный элемент, начинает работать механизм самовоспроизведения системы на новом уровне иерархии, в соответствии с ее «генами», «зашитыми» в базисном элементе. Принцип самовоспроизведения означает способность систем к копированию и усложнению своей структуры, увеличению уровней иерархии и на определенном этапе эволюции, в соответствии с закономерностью о структурной и функциональной ограниченности и закономерностью о замкнутости иерархических систем, отражает способность к перерождению в новое качество. С момента зарождения этого нового качества «маятник» системы начинает движение в противоположную сторону, к противоположному «полюсу» системы. Особенно важную роль этот принцип играет в процессах эволюции биологических и социальных систем. Биохимические и микроскопические исследования постепенно выявляли все более и более сложные процессы, происходящие в клетке, такие, например, как необыкновенно точная регуляция клеточного метаболизма нуклеиновыми кислотами (ДНК и РНК), которая осуществляется с помощью многих тысяч сложнейших регуляторных белков, поэтому не так просто представить себе, каким образом все это могло возникнуть в результате случайного взаимодействия молекул.
Каким образом молекулы, взаимодействуя в соответствии с простыми механистическими законами, смогли объединиться и сформировать непостижимо сложные структуры клетки? Каким образом из клеток рождаются высшие организмы? Ответ может быть один — в природе существуют естественные механизмы самовоспроизведения. Природа свои эксперименты осуществляет, используя определенные правила «игры». Все принятые природой принципиальные решения реализуются не случайным образом, а на основе теории «рыночных отношений полезности», «отношений партнерства и соперничества», являющихся отношениями двойственности и мультидвойственности. Каждое более сложное «творение» природы заключается (упаковывается) в защитную оболочку, имеющую определенный «пароль» для доступа к внутренним оболочкам и характеризующую их самодостаточность, «суверенитет» и «не вмешательство во внутренние дела друг друга». Ученые, говоря об эволюции живой и неживой природы, в основу эволюции ставят принцип естественного отбора, при котором в популяции сходных организмов самые приспособленные к условиям окружающей среды получают преимущества перед другими. Но отбор не может начаться до того, как возникнет самовоспроизводящаяся система, поскольку без воспроизведения природе не из чего будет выбирать. И у природы имеется эта простейшая самовоспроизводящаяся система, основанная на закономерности о двойственности (деление пополам) и обладающая высокой селективной избирательностью, за счет чего система может осуществлять «естественный отбор», основанный на «рыночных» отношениях мультидвойственности. Жизнь на Земле возникла не случайно, а в соответствии с самыми фундаментальными законами Природы, создавшей механизмы самоорганизации материи.
1.3.8.4. ПРИНЦИП САМОРАЗВИТИЯ
Принципы самоорганизации материи содержат еще один важнейший принцип самоорганизации. Это принцип саморазвития, определяющий все многообразие окружающей нас действительности. Без этого принципа мир содержал бы множество не отличимых друг от друга объектов (систем), в которых каждая последующая оболочка строится по одним и тем же правилам, общим для всех живых и неживых организмов, строго по своему образу и подобию, т. е. в соответствии с принципом самовоспроизведения. Но, дублируя вначале полностью

текущую оболочку (самовоспроизведение), система на следующем шаге (уровне иерархии) строит новую, уникальную оболочку, которую система не имела ранее (саморазвитие). Строительство этой уникальной оболочки осуществляется в соответствии с закономерностью о замкнутости систем (эволюционная интеграция) и закономерностью о двойственности, которая на каждом уровне иерархии системы, в соответствии с «генами», содержащимися в базисном элементе, строит в соответствии с законом симметрии преобразования собственных подпространств «производящую функцию», которая используется затем в процессе самовоспроизведения системы. Не последнюю роль в реализации принципа саморазвития играет закономерность об ограниченности и замкнутости иерархических систем. Структурная и функциональная ограниченности систем приводит к тому, что в процессе интеграции системы весь ее мультидвойственный структурный и функциональный спектр все более и более сливается в единый непрерывный спектр. В конечном итоге рождается новая система с более высоким уровнем иерархии, но обладающая на этом уровне иерархии единичным дискретным спектром. Происходит нормировка целевой функции. Далее, по мере усложнения дискретного спектра системы с новым уровнем иерархии, снова начинается процесс трансформации дискретного иерархического пространства в непрерывное функциональное. Эволюция системы данного класса завершается тогда, когда все возможности создания «единичных» систем с более высоким уровнем иерархии, в силу закономерности о структурной и функциональной ограниченности, будут исчерпаны. В этом предельном случае вступает в силу принцип замкнутого круга (инволюционная дифференциация). Природа возвращается на круги своя, начиная эволюцию сначала. Так формируются единые циклы кругооборота материи в природе, так реализуются принципы ее саморазвития. Трансформация дискретного иерархического пространства в непрерывное функциональное пространство, которое замыкается на единичное дискретное пространство, но уже с более высоким уровнем иерархии, демонстрирует не только принцип замкнутого круга, но и единство частицы и волны.
1.4. О ПРОФИЛАКТИКЕ «БОЛЕЗНЕЙ» ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Жизнеспособность систем во многом зависит от эффективности механизмов самоорганизации. Но в процессе эволюции в иерархических системах накапливаются различные «болезни», которые надо лечить. Однако из повседневной жизни известно, что болезни легче и дешевле предотвратить, чем лечить. Поэтому всякий раз, когда параметры системы начинают отличаться от оптимальных значений, возникает необходимость в проведении различных профилактических мероприятий, с целью усиления эффективности механизмов самоорганизации систем. Профилактические мероприятия способствуют восстановлению полноценного «обмена веществ» в системе и должны решать следующие задачи:
1. Проведение «санитарной» обработки «жилых помещений» системы. Убрать «мусор», «шлаки», избыточные запасы «сырья», «полуфабрикатов», загромождающих и отяжеляющих «транспортные» коммуникации системы и мешающих нормальному взаимодействию оболочек и подоболочек системы. Ликвидировать связи, ставшие чуждыми системе.
2. Обеспечить оболочки, подоболочки системы дефицитными «ресурсами».
3. Укрепить ослабленные системные связи. Это укрепление достигается, в первую очередь, за счет удаления из системы «лишних» «деталей», имеющих «валентные» связи и ослаблявших связи системные, мешающих системе правильно и своевременно реагировать на системные сигналы. Реализация этих мероприятий увеличивает «потенцию» органов, подвергшихся профилактике и тем самым увеличивает целостность системы, жизнеспособность, долговечность и надежность. Происходит как бы омоложение систем. В этом заключается один из важнейших источников долголетия живых и неживых систем.
1.5. ДИАЛЕКТИКА И ЗАКОНЫ ИЕРАРХИИ
Диалектика как наука представляет собой стройную систему экономических, социально-политических и философских взглядов и является творением человеческого разума. Диалектика как термин используется в смысле отражения всеобщих законов движения и развития объективной действительности. Диалектика как понятие употребляется в тр¸х значениях:
1) Под диалектикой понимается совокупность объективных диалектических закономерностей,

процессов, действующих в мире независимо от сознания человека. Это диалектика природы, диалектика общества, диалектика мышления, взятая как объективная сторона мыслительного процесса. Это объективная реальность.
2) Субъективная диалектика, диалектическое мышление. Она представляет собой отражение объективной диалектики в сознании.
3) Философское учение о диалектике или теория диалектики. Выступает как отражение отражения. Называется учением о диалектике, теорией диалектики.
Вокруг проблем диалектики ведутся многовековые споры. Это говорит о том, что в этой науке не все обстоит так хорошо, как хотелось бы. Все это происходит потому, что законы и категории диалектики часто оказываются оторванными от реальности, т. к. в явном виде не учитывают требований законов иерархии. Новая наука способна дать новый импульс развитию диалектики на действительно научной основе. Ниже приводится краткий сравнительный анализ некоторых основных категорий и законов диалектики и их связь с законами иерархии.
1.5.1. ЗАКОН ЕДИНСТВА И БОРЬБЫ ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЕЙ
В основе диалектики лежит, прежде всего, закон единства и борьбы противоположностей, который называют сутью, ядром диалектики. Этот закон раскрывает источники, причины вечного движения и развития материального мира. Противоречие — это термин, который принято характеризовать в диалектике как источник саморазвития объекта. Возникновение противоречия инициирует процесс развития. Разрешение противоречия выводит объект из состояния уравновешенности, начинается движение от одного полюса к другому. Эти положения диалектики, демонстрируя единство противоположностей, одновременно свидетельствуют о двойственности материи, составляющей ядро, суть новой науки. Любая целостная система существуют до тех пор, пока сохраняется двойственность, единство противоположностей. Поэтому в целостных системах наиболее важными и существенными, определяющими сущность системы, являются гармонические, взаимодополняющие противоположности. В силу такого единства в любой целостной (самодостаточной) системе происходят процессы самоорганизации (саморегуляции, самовоспроизведения, саморазвития). Противоречия, возникающие в системе, в силу закономерности о двойственности систем, запускают механизмы саморегулирования системы, вызывая процессы движения от одного полюса к другому, раскрывая тем самым истинные причины эволюции окружающей нас действительности. Поэтому говорить о борьбе таких противоположностей навряд ли целесообразно. Если существование гармонических противоположностей характеризует их единство, то существование антагонистических противоположностей, наоборот, характеризует в явном виде бескомпромиссную борьбу этих противоположностей. Именно антагонистические противоположности составляют главное содержание диалектического закона борьбы противоположностей. В процессе эволюции систем, в силу закономерности интеграции, происходит рождение систем, в которых могут одновременно существовать и гармонические, и антагонистические противоположности. При этом по мере увеличения сложности систем, по мере их интеграции и взаимопроникновения друг в друга становится очень трудно выделить в чистом виде гармоническую или антагонистическую составляющую системы. В силу мультидвойственных отношений в сложных интегрированных системах имеют место как гармонические противоположности, так и антагонистические. Это приводит к тому, что диалектический закон единства и борьбы противоположностей становится комплексной характеристикой эволюции систем, т. е.
a+ib, a=a0,.an, b=b0,…bn,
где а- значение равновесной цены для гармонической подсистемы,
a0 и аn _ предельные двойственные значения для, а (гармоническая подсистема),
ib _ значение равновесной цены для антагонистической подсистемы.
b0 и bn _ предельные двойственные значения для b (антагонистическая подсистема).
Подобная математическая трактовка гармонических и антагонистических противоположностей отражает тот факт, что эти противоположности являются ортогональными по отношению друг к другу, а диалектический закон единства и борьбы противоположностей характеризует весь спектр расщепления мультидвойственных
отношений. Примером такой сложной и интегрированной системы, в которой закон единства и борьбы противоположностей носит интегрированный характер, являются общественные системы, в которых изначально двойственные, классовые противоположности, в силу расщепления общества на все более и более многочисленные слои и прослойки, приобретают мультидвойственный характер.
Говоря о количественных и качественных изменениях, необходимо подчеркнуть, что в процессе количественных изменений могут происходит процессы трансформации гармонических противоположностей в антагонистические, и наоборот. Можно привести следующий пример. Если любовь мужчины и женщины носит гармонический, взаимодополняющий характер, то взаимная ненависть характеризуется уже антагонистическими отношениями. Недаром говорят, что от любви до ненависти _ один шаг. Эта пословица очень удачно характеризует весь спектр мультидвойственных отношений мужского и женского начал. Таким образом, в сложных системах закон единства и борьбы противоположностей носит комплексный, интегрированный характер. Но этот закон может проявляться и проявляется не только в комплексной форме, но и в «расщепленной» форме (закон единства противоположностей и закон борьбы противоположностей).
Главная проблема диалектики заключается в том, чтобы получить ответ на вопросы о том, каков характер единства противоположностей и сосуществуют ли противоположности в этом единстве мирно или вступают противоречия, в борьбу друг с другом? Диалектика утверждает, что противоположные стороны не могут мирно сосуществовать в едином предмете: противоречивый, взаимоисключающий характер противоположностей с необходимостью вызывает борьбу между ними.
Но это не всегда и не совсем так. Диалектика говорит, что не могут не вступать в противоречия, не бороться старое и новое, нарождающееся и отживающее в предметах. Закономерность двойственности, преемственности, ограниченности и замкнутости иерархических систем любой природы позволяет уточнить эти выводы диалектики относительно того, что противоречия, составляя основной источник развития материи и сознания, далеко не всегда характеризуются борьбой противоположностей. Постулат диалектики о том, что решающим в развитии является борьба противоположностей, будет справедлив только для систем, в которых существуют антагонистические противоречия. Поэтому можно говорить о двух новых категориях противоположностей (единство противоположностей и борьба противоположностей), которые в силу ограниченности и замкнутости систем в некотором «жизненном пространстве», интегрируются друг с другом и друг в друга и начинают существовать в едином предмете или явлении, формируя единый мультидвойственный спектр гармонических и антагонистических отношений.
1.5.2. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ
Противоречивость и двойственность предметов и явлений мира носит всеобщий, универсальный характер. В мире нет предмета или явления, которые не раздваивались бы на противоположности. Противоположности не только не исключают, но и обязательно предполагают одна другую. Они сосуществуют в едином предмете или явлении и друг без друга немыслимы. Из этих противоположностей соткан не только материальный мир, но и все «виртуальные» миры, являющиеся отражением материальных. Так, двоичная система счисления, состоящая только из двух противоположных цифр 0 и 1, составила фундамент всего интеллектуального богатства компьютеров, всей информационной Вселенной. Поскольку закономерность двойственности является самой фундаментальной закономерностью нашего мира, то существование законов сохранения в различных научных приложениях может свидетельствовать о том, что в состав законов диалектики, носящих всеобщий характер, следует включить новый закон - закон сохранения двойственности. Каждая система существует до тех пор, пока существует двойственность этой системы. Знание этого закона должно иметь основополагающее значение для понимания диалектики развития природы, общества и мышления, науки и практической деятельности. Этот закон позволяет внести определенную ясность в сущность проявления диалектического закона об единстве и борьбе противоположностей, уточнить смысл этих понятий.
Закон сохранения двойственности позволяет ответить на вопрос о том, где существует единство противоположностей, а где происходит их борьба. Во многих случаях это позволит не напрягать усилий для скрещивания «ужа» с «ежом». В соответствии с законом сохранения двойственности системы можно сказать, что гармонические противоположности в системе составляют единство противоположностей. В этом случае нельзя вести речь о борьбе

противоположностей, а следует говорить о процессах самоорганизации материи в рамках закона сохранения данной двойственности системы. Речь должна идти не о единстве и борьбе противоположностей, а о процессах самоорганизации, которые происходят в соответствии с фундаментальными закономерностями иерархии. Чаще всего такие системы с отношениями гармонии можно отнести к классу систем с внутренней двойственностью и имеющих наибольшую целостность. Если же в системе существуют антагонистические противоположности, то между такими противоположностями не могут существовать отношения гармонии. Эти отношения будут характеризоваться бескомпромиссной борьбой за выживание.
Системы с антагонистическими противоречиями можно отнести к системам с внешней двойственностью. Если в такой системе удалить какой-либо антагонистически двойственный элемент, то система распадется на две самостоятельные системы с внутренней двойственностью. Если на некотором ограниченном «жизненном» пространстве какой-либо популяции живых организмов вдруг исчезнут антагонистические противоположности, то это может даже послужить благоприятным стимулом к развитию такой популяции. Например, исчезновение из жизненной территории популяции всех хищников не приведет к гибели популяции, как может не привести к гибели хищников, уничтожившим всю популяцию и вынужденных в интересах выживания включать в свое меню уже другие живые организмы, возможно на другой территории. Этот пример свидетельствует о том, что система с внешней двойственностью, в которой существовала борьба противоположностей, превратилась в две полностью самостоятельные системы. Первая система будет характеризоваться единством противоположностей, а в другой снова возродятся антагонистические противоположности. Двойственность носит многоуровневый характер. В соответствии с такой многоуровневостью проявления двойственности законы сохранения двойственности также носят многоуровневый характер. Закон сохранения двойственности позволяет в принципе дать ответ на такой чрезвычайно актуальный для общества вопрос-возможно ли существование общества без антагонистических классов? Возможно ли уничтожение собственности?
Таким образом, закон сохранения двойственности проявляется в системах как с внешней, так и с внутренней двойственностью. И этот закон является справедливым для всех систем, независимо от их природы и, являясь всеобщим, составляет сущность всех остальных законов сохранения, известных и еще не известных науке, человеку, обществу. Поэтому данный закон должен служить методологической основой для поиска и открытия новых законов сохранения применительно к конкретным научным приложениям.
Уже этот краткий анализ диалектических категорий показывает, что все они выводятся из закономерностей иерархии.
1.6. СТРУКТУРА, ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ВНУТРЕННЯЯ ОРГАНИЗАЦИЯ.
1.6.1. СТРУКТУРНЫЙ АСПЕКТ СИСТЕМ
При исследовании систем важно раскрыть, как устроена и организована система, как и во имя чего она действует. Природа системы, е¸ особенности, свойства зависят во многом от состава, внутренней природы образующих е¸ элементов. Именно состав, т. е. набор элементов, образует содержательную сторону любой системы, составляет основу е¸ организации. Однако не только один состав определяет свойства системы. Можно привести много примеров, в которых системы имеют один и тот же состав, а свойства разные. Это означает, что свойства системы во многом зависят от е¸ структуры, характеризующей ее внутреннюю организацию, раскрывающей специфический способ взаимодействия и взаимосвязи образующих е¸ компонент.
Понятие структуры употребляется и в ином, более широком смысле, как совокупность элементов и их взаимосвязей. В этом случае понятие структуры отождествляется с понятием системы, как целостного образования. В более узком смысле понятие структура употребляется как взаимосвязь и взаимодействие частей целостной системы. Подобная трактовка позволяет раскрывать сложную «архитектуру» системы. Понятие структуры системы весьма близко к понятию формы, однако не тождественно ему. Форма может выступать и как внутренняя организация содержания (порядок размещения и взаимодействия), и как проявление, выражение содержания. Например, меновая стоимость — форма проявления стоимости. Понятие формы употребляются и как характеристика внешнего облика предмета (внешняя форма). Таким образом, понятие структуры уже понятия формы, оно выражает только один аспект формы — внутреннюю организацию содержания, закон взаимосвязи е¸ компонент. Каждой конкретной системе присуща своя специфическая структура. Специфика
структуры зависит от природы образующих е¸ элементов и характеризуется отношениями координации и субординации. Структура не только выделяет данную совокупность компонент как нечто целое, но и организует коммуникации целого с внешней средой. Благодаря внутренним взаимодействиям возникают свойства целого, а эти последние проявляются в отношениях с другими материальными образованиями. В этом случае система, как целое, выступает в качестве элемента другой, более глобальной системы, организованной более сложно. Таким образом, структура обладает ещ¸ одним важным свойством, которое характеризует связи и размежевание различных предметов и явлений действительности. Это проявляется в том, что любая сложная структура является многоуровневой, иерархической. Важное место в структуре системы, как целого, занимают пространственные отношения. Как система, так и е¸ элементы обладают протяженностью, размерами, все они занимают определ¸нное место в системе. От этого порядка, от пространственного положения частей и расстояния между ними в немалой степени зависит прочность, устойчивость системы. Система наиболее устойчива не при всяких, а при определ¸нных, так называемых оптимальных размерах. Пространственная согласованность частей системы — необходимая черта его структуры, однако последняя не сводится лишь к пространственным отношениям.
Структура является вместе с тем и организацией частей системы во времени. Всякая система существует в конечном промежутке времени (собственное индивидуальное время жизни). Это собственное время имеют и все составные элементы системы. Из этого факта следует ряд важных выводов:
— во-первых, во всякой системе собственные времена жизни элементов системы меньше, чем время жизни системы в целом;
— во-вторых, собственные времена жизни элементов системы характеризуются периодичностью, т. е. периодичность изменений свойств элементов характеризуют состав и строение самого понятия «индивидуальное время жизни» элемента системы;
— в-третьих, имеет место временная согласованность действий элементов систем: одни из них функционируют одновременно, другие последовательно через те или иные промежутки времени. Эта картина временной согласованности тем сложнее, чем организованнее, сложнее устроена система.
Таким образом, любая структура всегда пространственно — временная структура. Однако кроме пространственно-временных отношений, структура системы характеризуется ещ¸ множеством других взаимодействий, связей элементов. Можно отметить непосредственные и опосредствованные, существенные и несущественные, причинные, необходимые и случайные связи, отношения гармонии и дисгармонии, принадлежности и т. д. Все эти связи между элементами структуры в общем случае можно определить как мультидвойственные отношения (связи). Теперь необходимо отметить одну из важнейших характеристик иерархических систем. Существует многочисленные классы подобных (инвариантных) структур, которые отличаются друг от друга только наборами «технических» характеристик и масштабом. Примером подобного класса систем может служить, например, класс легковых автомобилей. «Технические» характеристики автомобиля, принадлежащего какому-либо подклассу системы, играют роль собственных, уникальных значений, присущих только этому конкретному подклассу системы. Если рассматривать физические системы, то к набору собственных значений таких систем можно отнести, например, гравитационную постоянную, плотность и другие характеристики, определяющие «вес» этой системы. Собственное множество А0 представляет собой набор ее «собственных» абсолютных констант.
1.6.2. СТРУКТУРЫ. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
Любые иерархические структуры представляют собой систему вложенных друг в друга оболочек и подоболочек. Так рис. 1.6.3−1 можно рассматривать как структуру, которую можно рассматривать и как алгебраическую формулу, содержащую вложенные скобки
(A (B (H) (J))C (D)(E (G))(F)))
Число различных способов представления иерархических структур само по себе является прекрасным доказательством того, насколько эти структуры важны в повседневной жизни. Например, оглавления книг имеют иерархическую структуру. Прич¸м способ, чаще всего используемый для нумерации их разделов, является еще одним, древовидным способом представления иерархических структур. Такой метод часто называют десятичной системой обозначений, по аналогии с классификационной схемой, применяемой в библиотеках.
Рис. 1.6.2−1
Существует тесная связь между десятичной системой, используемой для изображения иерархических структур и способом обозначения переменных, снабженных индексами. Обычно элементы — образующие структуры, могут содержать гораздо больше структурных связей, чем их можно изобразить. Поэтому в каждом конкретном случае необходимо решать, насколько подробно мы должны описывать элементы структуры, и в соответствии с этим выбирать тот или иной уровень формального описания. Чтобы принять нужное решение, необходимо рассматривать не только структуру, но и класс операций, которые будут выполняться над элементами структуры. Другими словами, структурное представление классификации в равной степени определяется требуемыми от элементов функциями и присущими им свойствами. Такое выделение «функций» наравне с «формой» в большинстве случаев является основополагающим. Существуют много других способов представления иерархических структур. Ниже будут рассмотрены некоторые наиболее важные способы изображения этих структур, которые используются в самых различных приложениях. Но при любых способах изображения между любыми соседними элементами, входящими в состав структуры, существуют изначально двойственные связи. Именно их совокупность и образует мультидвойственную структуру того или иного класса.
1.6.2.1. ЛИНЕЙНЫЕ СТРУКТУРЫ.
Линейные структуры являются самым простым случаем иерархических структур, когда на каждом уровне иерархии может находиться только одна структурная единица — элемент структуры. В этом случае мы будем иметь упорядоченное множество, состоящее из n элементов
x1, x2, x3,…, x n.
Структурные свойства этого множества по сути ограничиваются лишь линейным (одномерным) относительным положением элементов, т. е. теми условиями, что если n > 0, то x1 является первым элементом (корнем структуры), если 1<k<n, то k-му элементу предшествует xk-1, за ним следует элемент xk+1, элемент xn-есть последний элемент (лист) структуры. Поскольку в иерархических структурах упорядочение элементов осуществляется в соответствии с их структурной «сложностью», отражающей преемственность их строения, то мы будем иметь линейные структуры вида
(1.6.2−1)
(1.6.2−2)
Линейные структуры вида (1.6.2−1) будем называть восходящими, а вида (1.6.2−2) — нисходящими линейными структурами.
1.6.2.2. ДРЕВОВИДНЫЕ СТРУКТУРЫ.
Древовидные структуры являются, видимо, одними из самых «древних» структур, которые в течение многих веков постоянно находили и находят множество применений (особенно генеалогические деревья). Как формально определ¸нный математический объект дерево впервые появилось, по-видимому, в работах Г. Кирхгоффа, который, исследуя законы, носящие сейчас его имя, использовал деревья для нахождения множества фундаментальных циклов в электрической цепи. Формально можно определить дерево как конечное множество Т, состоящее из одного или более узлов, таких, что
— имеется один специально обозначенный узел, называемый корнем дерева,
— остальные узлы (исключая корень) содержатся в m ³ попарно не пересекающихся
множествах Т1, Т2…, Tn, каждое их которых в свою очередь является деревом.
Деревья Т1, Т2, …, Тm называются поддеревьями данного корня. Это определение является рекурсивным, т. е. мы определили дерево в терминах самих же деревьев. Такое определение является более естественной характеристикой подобных структур.
Действительно, рекурсивный характер деревьев налицо также и в природе, поскольку почки молодого дерева вырастают в ветви, имеющие собственные почки, которые дают новые ветви и т. д. Из определения следует, что каждый узел дерева является корнем некоторого поддерева, которое содержится в этом дереве. Следует также отметить, что порядок следований поддеревьев Т1,…, Тm имеет значение.
1.6.2.3. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ДРЕВОВИДНЫЕ СТРУКТУРЫ.
Это деревья, каждый узел которых, исключая корень и листья, может содержать от одного до m поддеревьев. Будем говорить, что корень дерева является самым старшим уровнем иерархии (нулевой уровень), совокупность узлов, входящих в корень, образуют первый уровень иерархии, совокупность узлов, входящих в узлы первого уровня иерархии, характеризуют е¸ второй уровень и т. д. Листья образуют последний, самый младший уровень иерархии.
1.6.2.4. СЕТЕВЫЕ СТРУКТУРЫ,
Этот тип структур также имеет самое широкое применение в различных приложениях. Эти структуры являются иерархическими (многоуровневыми) интегрированными структурами. Для изображения сетевых структур можно использовать также самые различные способы. Сетевая структура во многих случаях является древовидной, но такой, в которой на самом старшем уровне иерархии находится только один элемент (корень структуры) и на самом младшем уровне иерархии также находится один элемент (лист структуры). В сетевой структуре любой элемент может быть связан с любым другим элементом. Сетевые структуры являются также наиболее важными иерархическими структурами. Так, генеалогические деревья являются древовидными структурами только потому, что не включают женщин. Однако если учесть, что каждый человек имеет двух родителей, то вместо генеалогического дерева мы получили бы более общую иерархическую структуру — сетевую. Существуют и другие, широко используемые в математике и других приложениях, способы изображения структур. Но в то же время, исходя из отношений мультидвойственности между элементами любой системы, всегда существует возможность осуществить разложение системы на части и изобразить отдельные ее компоненты, или даже всю систему, в виде двоичных деревьев.
1.6.2.5. ГРАФЫ
Чем сложнее система, тем выше ее уровень интеграции, тем более сложной будет ее структура, тем чаще нам придется изображать ее в виде сети, или графа. Такие структуры присущи в первую очередь сложным интегрированным системам. Наиболее простым и употребительным способом представления отношений иерархии n — го порядка является представление отношений порядка на конечных упорядоченных множествах ориентированными графами. Чаще всего граф зада¸тся множеством вершин Х и соответствия Г, показывающего, как связаны между собой вершины. Соответствие Г называется отображением множества Х в X, т. е. граф обозначается парой G= (X, Г).
1.7. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.
Жизнеспособность позиционных систем счисления свидетельствует о том, что они отражают самую фундаментальную закономерность нашего мира _ его иерархию и вложенность явлений и объектов друг в друга. В основу позиционных систем заложены ограниченные наборы символов (чисел), которые играют роль их базисных элементов. Эти элементы строго упорядочены. Как только мы выходим за пределы этого набора, происходит «замыкание» системы, которое сигнализирует о том, что родился еще один новый, более сложный элемент, с более высоким уровнем иерархии. В зависимости от того, какое основание системы счисления принято за базисное, будет определяться и название этой позиционной системы счисления. Если мы при каждом переходе
к новому старшему индексу позиционной системы будем по определенным правилам менять ее основание, т. е. набор базисных символов (чисел) данного индекса, то получим иерархическую позиционную систему счисления, частным случаем которой будет являться любая другая позиционная система счисления. Такие иерархические системы счисления могут быть использованы во многих разделах естествознания для описания и классификации явлений и объектов окружающей действительности. В этом случае число, характеризующее местоположение элемента в древовидной структуре, будет не только количественно, но качественно оценивать ее уровень сложности. Любое число в той или иной позиционной системе счисления можно изобразить в виде некоторой структуры. Широкая распространенность позиционных систем отражает фундаментальный принцип ограниченности и замкнутости отношений в реальном мире. Но в реальном мире каждый уровень иерархии системы может иметь свое основание, поэтому структуру любой иерархической системы можно представить в виде числа в некоторой иерархической позиционной системе. Из дальнейшего изложения станет, например, ясно, что Периодическая система химических элементов может быть описана в терминах иерархической позиционной системы счисления. В терминах позиционных иерархических систем могут быть описаны и спектры атомов химических элементов, т. к. они непосредственно отражают структуру этих атомов. Вполне возможно, что в некоторых разделах математики оперирование с такими числами окажется намного «естественней», чем в любой другой позиционной системе. В частности, исследование подобных систем счисления может вызвать к жизни разработку специальных вычислительных систем с иерархическим основанием системы счисления. Например, при анализе различных структур у нас будет естественный механизм для их идентификации и сравнения друг с другом, механизм, в котором классификаторы основаны на иерархических позиционных системах счисления. Эти классификаторы будут самыми естественными. В таких классификаторах с каждым из его объектов будет связан определенный иерархический спектр «собственных» значений. Каждый разряд числа, стоящего в определенной позиции, будет естественным образом характеризовать свойства объекта из какого-либо его подсемейства, указывать его место, «вес» и «роль» в общей иерархии, определяя тем самым его семантику. Обозначения для чисел, их смысл и старшинство позиций ничем не отличаются от обозначений чисел в любой «обычной» позиционной системе счисления. Каждая такая иерархическая позиционная система имеет свой спектр, характеризующий ее сложность (количество позиций и «вес» каждой позиции). Пусть, например, позиционная система будем иметь спектр (1,1,1,1,…, 1). Это означает, что каждая позиция является двоичной. Поэтому любое число в этой системе счисления является двоичным, а число позиций ограничено количеством знаков в спектре системы счисления. Такие системы счисления характерны для вычислительных машин с двоичной системой счисления с ограниченным числом разрядов, отводимым для значения числа и характеризуют иерархическое пространство 0-го уровня иерархии.
Пусть следующая, более старшая иерархическая позиционная система имеет такой спектр (1,2,3,4,5). Это означает, что система счисления ограничена пятью позициями. Самая младшая позиция имеет основание системы счисления равной 6 (включая символ 0), следующая позиция _ 5, а самая старшая позиция является двоичной. Исследование подобных иерархических позиционных систем счисления представляет самостоятельный интерес. Например, спектр системы счисления по своей сути может служить в такой системе аналогом натурального ряда чисел. Следующий пример использования _ в вычислительных машинах, в которых дешифровка иерархических чисел и символов в обычные позиционные системы счисления будет производиться с помощью спектра иерархической позиционной системы, отражающего структуру и состав позиционной системы счисления. В иерархических позиционных системах счисления могут возникать проблемы, связанные с принципом неопределенности, который существует во многих разделах математики и естественных науках. Например, самый первый вопрос, который можно задать, попав «внутрь» такой иерархической системы счисления, это вопрос о том, какое самое большое число можно изобразить в этой системе. А если нам понадобятся большие числа, то, заменив спектр на новый, мы получим расширение для изображаемых чисел. Это, в частности, и будет означать частичное разрешение принципа неопределенности в таких системах счисления. Частичное потому, что извлечь самое внутреннее число из самой внутренней оболочки иерархической системы счисления возможно только в том случае, если известен к нему путь, который определяется спектром позиционной системы счисления.
Для изображения иерархических чисел могут использоваться разные способы. Например, мы можем иметь следующую форму записи чисел
где многоточием обозначены старшие позиционные разряды иерархических чисел А, В, С …, а х, у, z _ основания систем счисления позиций иерархического числа.
Иерархическая позиционная система счисления с основанием х, у, z может быть записана следующим образом
где а, в, с — оболочки иерархической системы счисления с соответствующим основанием x, y, z. Иерархические позиционные системы могут быть вложенными друг в друга. Например, значение числа
соответствует самому большому химическому элементу-милогию. Нижние индексы отражают основания системы счисления, а верхние индексы соответствующие разряды иерархического позиционного числа (порядкового номера химического элемента), приведенные к единому основанию (десятичной системе счисления). Сумма разрядов даст нам порядковый номер химического элемента, приведенного к единому основанию, т. е. равна 118. Если у всех чисел будет единственный спектр оснований, то основания системы счисления иерархической позиции можно опускать. Очевидно, что мы будем иметь в этом случае «элементарную» иерархическую позиционную систему счисления. Наиболее близко к иерархическим позиционным системам относятся сложные иерархические базы данных, которые представляют собой многоуровневые деревья. В этих базах данных поиск и извлечение какого-либо значения х из иерархического дерева базы данных осуществляется с использованием сложных имен вида а. в. с. …. х, где а, в, с, … идентификаторы, используемые для обозначения узлов дерева. Если иерархическое дерево будет достаточно сложным, то время поиска нужного значения может оказаться очень большим, поэтому в подобных системах используются различные оптимизационные методы. Одним из самых распространенных является метод, когда идентификатор вершины на каждом уровне иерархии заменяется числовым значением, которое указывает на порядковый номер этой вершины в данном уровне иерархии. Это означает, что все вершины должны быть соответствующим образом упорядочены, в результате мы получаем иерархическую позиционную систему счисления. Позиционные системы счисления могут быть вложенными и развернутыми. Вложенная система счисления приведена к единому началу координат и все собственные числа в такой системе могут быть сведены в одно собственное значение. В развернутых системах счисления каждой ее позиции соответствует собственное число, которое указывает на «начало координат» следующей развернутой позиции. Используя иерархические позиционные системы счисления, можно создать шифры, которые вообще нельзя будет расшифровать, не зная ключа — спектра для каждого позиционного разряда и основания — спектра всей системы в целом. Если учесть, что внутрь каждого позиционного разряда могут быть заложены дополнительные помехи, и если использовать этот шифр в совокупности с уже имеющимися шифрами, то шансы разгадать такой шифр практически будут равны нулю.
Многим известно, что существуют люди с феноменальными способностями выполнять сложные вычисления быстрее компьютера. Но никто не может объяснить природу этого явления.
Может быть они пользуются иерархической системой счисления, даже не подозревая об этом? А может быть описание голографических образов можно реализовать в терминах иерархических позиционных систем счисления? Может быть в рамках теории иерархических позиционных систем можно решить проблему, выдвинутую еще математиком Гильбертом, о поиска метода, который позволил бы переупорядочить вещественные числа, чтобы их множество стало вполне упорядоченным, в котором в любой извлеченной из множества последовательности должен существовать первый элемент.
РЕЗЮМЕ
1. Фундаментальное значение для понимания основ теории иерархии имеют понятие оболочек и подоболочек иерархической системы. При этом исключительно важную роль в процессах взаимодействия иерархических систем любой природы, независимо от их сложности, играют сенсорные оболочки и подоболочки. Эти оболочки и подоболочки являются в системе самыми простыми, элементарными и самыми чувствительными органами системы. Они во многом определяют важнейшие свойства системы. Они являются своеобразным фильтром, экранируют внутренние оболочки от возмущений внешней среды, способствуя процессам адаптации системы к этой внешней среде. Не менее важное значение для сложных иерархических систем имеют интегрированные оболочки и подоболочки, характеризующие эволюцию сращивания разных систем в единую интегрированную систему. Интегрированные системы могут образовывать многосенсорные оболочки и подоболочки. Эволюция системы по достижению некоторого предельно-допустимого уровня иерархии осуществляется путем «сжатия» существующей структуры системы в целостный элемент (оболочку), который используется в создании более глобальной иерархической системы.
2. Обоснованы впервые всеобщие закономерности, свойства и принципы построения иерархических систем любой природы:
Закономерность двойственности иерархических систем . Данная закономерность не является диалектической закономерностью о единстве и борьбе противоположностей. Она не является иллюстрацией симметрии и асимметрии. Эта закономерность объясняет природу диалектического закона о единстве и борьбе противоположностей. Она лежит в основе возникновения симметрии в живой и неживой природе. Симметрия и асимметрия являются формами проявления этой закономерности. При этом на самых младших «этажах» иерархии эта закономерность носит характер всемирного закона. Пока сохраняется двойственность, сохраняется и сама иерархическая система. Поэтому можно сказать, что речь идет о новой, неизвестной ранее, фундаментальной закономерности строения материи. Закономерность двойственности позволяет конкретизировать понятие целостности иерархических систем. Целостность систем проявляется в их двойственности. Пока сохраняется двойственность, сохраняется и целостность системы.
Закон сохранения двойственности . Закономерность двойственности является причиной существования не только симметрии и асимметрии, но и вообще всех законов сохранения, т. к. все их можно трактовать как единый закон сохранения двойственности иерархических систем, который является самым фундаментальным законом сохранения. Все остальные законы сохранения являются формами проявления этого единственно фундаментального закона. Анализ целостности иерархических систем позволил сделать вывод о том, что само понятие целостности системы связано с ее двойственностью, что в любой целостной иерархической системе будет справедлив закон сохранения двойственности, поэтому закон сохранения двойственности применительно к целостности систем можно интерпретировать и как закон сохранения целостности системы.
Закономерность структурной и функциональной ограниченности свидетельствует о том, что структура и целевая функция любой иерархической системы, ее сложность имеют пределы. Поэтому, например, гипотеза, что «электрон также неисчерпаем, как атом» является ложной. Электрон также исчерпаем, как и любой другой объект природы.
Закономерность замкнутости иерархических систем характеризует свойство целостности иерархических систем, их способность на определенном этапе своей эволюции создавать целостные иерархические системы, в которых замкнутая иерархическая система предыдущего уровня иерархии служит элементарной подоболочкой новой, более сложной иерархической системы. Именно этим свойством можно объяснить чрезвычайно эффективное применение рекурсивных методов в математике для решения задач в самых разных приложениях. Закономерность характеризует свойство систем к самонормированию. В результате такого нормирования система превращается в единичный элемент, имеющий собственные параметры (собственные значения, собственные векторы, собственные моменты импульса и т. д.). Закономерность замкнутости иерархических систем находит свое отражение в существовании самых различных замкнутых циклов, от кругооборота воды в природе до кругооборота материи во Вселенной, включающий в себя циклы рождения и гибели звезд, рождения и гибели Вселенной. Эти замкнутые циклы являются следствием проявления
закономерности о замкнутости иерархических систем в ее граничных точках, в которых попытка дальнейшего синтеза (эволюционной интеграции) или распада системы (инволюционная дифференциация) сменяется на свою противоположность (инволюционную дифференциацию или эволюционную интеграцию соответственно).
Закономерность преемственности структурной и функциональной сложности. Эта известная из теории систем закономерность является следствием закономерностей ограниченности и замкнутости иерархических систем и характеризует эволюционный принцип построения иерархических систем, структурную и функциональную упорядоченность их подоболочек и оболочек.
Закономерность интеграции иерархических систем, имеющих сложные мультидвойственные отношения, в единую систему характеризует процессы перерастания устойчивых отношений координации между оболочками разных иерархических систем в отношения субординации. Причиной возникновения процессов интеграции (и дифференциации) является наличие в любой системе избыточных двойственных отношений полезности. Наличие «валентных» связей позволяет системам с целью обеспечения своей жизнедеятельности вступать в контакты с внешней по отношению к ним средой и получать недостающую информацию, продукты, услуги. В процессе взаимодействия между сложными иерархическими системами устанавливаются устойчивые связи и осуществляется взаимопроникновение их друг в друга. С момента рождения отношений субординации между интегрированными системами возникает качественно новая система, которая является результатом «сращивания» оболочек и подоболочек этих иерархических систем. Чрезвычайно важное свойство интегрированных систем заключается в том, что они являются системами с многосенсорными оболочками.
3. Впервые сформулированы принципы самоорганизации иерархических систем (самодостаточность, саморегуляция, самовоспроизведение, саморазвитие) , что в основе механизмов саморегуляции лежат принципы минимума, максимума целевой функции для систем с внутренней двойственностью и принцип минимакса для систем с внешней двойственностью. Эти единые принципы самоорганизации неживой и живой материи позволяют утверждать, что живая материя возникла не случайно, что ее возникновение было закономерным. Эти принципы носят многоуровневый характер. Если система функционирует в соответствии с этими принципами, то можно сказать, что это функционирование осуществляется оптимальным образом. Особенно актуальное значение эти принципы имеют для создания оптимальных иерархических систем искусственного происхождения (технические, социальные, антропотехнические и т. д.). Действительно, если кибернетика изучает только процессы регуляции и саморегуляции (самосохранения) иерархических систем, то милогия изучает весь комплекс проблем, связанных в самоорганизацией систем любой природы.
4. Краткий обзор некоторых аспектов теории надежности показал, что надежность (и вероятность безотказной работы систем) тесно связана с понятиями самодостаточности (целостности) систем. Поскольку понятие целостности систем является следствием проявления фактора двойственности систем, то и параметры, определяющие жизнеспособность, эффективность, надежность (безотказность) систем также оказались непосредственно связаны с биномом Ньютона и биномиальными коэффициентами.
5. Анализ закономерностей иерархических систем и законов диалектики позволили сделать вывод о том, что первичными закономерностями, из которых выводятся все законы диалектики, являются закономерности иерархии, которые могут обогатить диалектику новым содержанием.
6. Чрезвычайно широкое использование одних и тех же математических методов в самых
различных приложениях может служить косвенным доказательством того, что иерархические структуры действительно являются самыми распространенными в нашем Мире и, следовательно, эти методы могут быть использованы не только для целей классификации иерархических систем самой различной природы, включая сложные интегрированные системы. Они свидетельствует и о том, что законы иерархии являются справедливыми и для любой науки, включая математику, что сама математика, все ее методы отражают в себе все закономерности, все законы иерархии.
Глава 2. ОТНОШЕНИЯ ИЕРАРХИИ
2.1. ВВЕДЕНИЕ.
Понятие «отношение» является одним из самых основополагающих и одним из самых абстрактных во всех естественных науках, связанных с математикой, и в самих математических дисциплинах. Так, например, это понятие в явном виде присутствует даже в названии такой науки, как теория относительности, хотя в самой науке используется как абстрактная категория. Однако в реальных ситуациях относительность изучается, как правило, в виде совершенно определенных отношений между определенными вещами, или же элементами, организованными в целостную систему, но без учета этой целостности. В бесконечной развивающейся Вселенной относительность проявляется в форме многообразных материальных отношений (физических, космических, химических, биологических, информационно-сигнальных и др.), имеющих двойственную природу и сложную иерархическую структуру. Такой подход к предмету исследования позволяет понять конкретность отношений в том реальном виде, в каком они проявляются в природе. В ходе познания неизбежно приходится вычленять из этих отношений те, которые интересуют исследователя. Поэтому все отношения носят конкретный характер. Принцип конкретности истины позволяет четко определить, о каких именно отношениях идет речь в каждом отдельном случае. Отношений вообще не существует. К одним из самых фундаментальных отношений относятся отношения двойственности. В силу двойственности самой Вселенной, эти отношения будут справедливы для любых объектов Вселенной, независимо от их природы. При этом каждое отношение может быть отношением внешней или внутренней двойственности и иметь многоуровневую структуру.
В свою очередь, все эти и отношения могут быть подразделены на изолированные и взаимосвязанные: внешние и внутренние; двучленные и многочленные; прерывные и непрерывные и т. д. В зависимости от конкретного характера отношение может принимать то или иное (подчас прямо противоположное) значение. Об отношениях иерархии и результатах конкретных отношений судят, как правило, по тем субъектам, вещам, элементам, которые в данном отношении находятся. А между тем отношения не изменяют самого субъекта отношений, хотя, разумеется, обусловливают его свойства, функции или же деятельность (если речь идет о человеке). Так, один и тот же мужчина на протяжении своей жизни последовательно, а подчас и одновременно, может находиться в различных родственных отношениях: сначала он сын, брат, племянник, в дальнейшем — муж, зять, отец, дедушка. Понятно, что изменение родственных отношений не изменяет внешнего облика их носителя (естественное старение здесь, разумеется, ни при чем), хотя и накладывает на человека определенные обязанности, которые в конечном счете обуславливают его конкретные действия. Однако на всем протяжении своей жизни, вычленяя те или иные отношения, всегда можно найти причинно-следственные связи, устанавливающие историю этих отношений. Все эти отношения будут нести в себе шлейф предыдущих отношений, от их возникновения до настоящего времени. Необходимое условие конкретного понимания отношений иерархии — различение отношений внешних и внутренних, отношений координации или субординации, независимости или зависимости друг от друга. Существующее между ними различие имеет исключительно важное значение, ибо закономерности, присущие внешним отношениям, отнюдь не тождественны закономерностям, характеризующим отношения внутренние. Если элементы, образующие внешние, изолированные отношения, не зависят друг от друга, находятся в отношениях координации, то элементы внутренних отношений могут быть связаны между собой в рамках определенной системы отношениями субординации. Отношения, как правило, носят относительный характер. Так, любые внешние отношения могут считаться таковыми только до известного предела. Всегда имеется определенная система, по отношению к которой они выступают уже как внутренние. Очень важное значение может при этом иметь сам фактор двойственности этих отношений. Одни и те же отношения могут быть в определенных случаях как внутренними, так и внешними, в зависимости от двойственных свойств своего носителя (обладающего внешней или внутренней двойственностью). Предельно общей системой для всех объективно реальных отношений является Вселенная. Собственно говоря, в виде самостоятельных внешних отношений они способны функционировать лишь до тех пор, пока не подвергаются воздействию со стороны более общей системы. Так, Солнце и вращающиеся вокруг него планеты являются более общей системой по отношению ко всему, что связано с Землей (включая и
человеческое общество). Поэтому внезапная гибель Солнца и распад Солнечной системы привели бы к уничтожению всех имевшихся в рамках существовавшей системы внешних (то есть не связанных между собой) отношений, которые в данном предельном случае проявляли бы себя уже как внутренние (то есть неразрывно связанные с целостной системой). Таким образом, отношения подчиняются определенным закономерностям, находящимся, в свою очередь, в неразрывной взаимосвязи с другими природными законами, играющими непреходящую роль в осмыслении Вселенной, всех природных и социальных явлений, а также в любой из фундаментальных или частных наук, логике, методологии и теории познания.
2.2. СВОЙСТВА ОТНОШЕНИЙ ИЕРАРХИИ
В общем случае отношения могут обладать следующими свойствами.
1. Все отношения двойственности можно разделить на две категории, обладающие или внешней, или внутренней двойственностью.
2. Сами отношение отражают связи между иерархическими объектами. И те, и другие подразделяются на внешние и внутренние.
3. Объекты с внешними отношениями не зависят друг от друга. Они связаны отношениями координации. Отношения координации рассматриваются как отношения равноправные, в процессе которых происходит обмен информацией между объектами, по результатам которого происходит координация их функций.
4. Элементы внутренних отношений связаны друг с другом в рамках определенной системы, поэтому между ними могут существовать и существуют, отношения субординации.
5. Внутренние отношения, составляющие определенную целостность, будучи абстрагированными от данной целостности, могут рассматриваться по отношению друг к другу как внешние, и наоборот, соответственно в рамках внутренней или внешней двойственности.
6. Отношение конкретно — как не существует отношения без образующих его элементов, так не существует и отношения без определенного признака, по которому соотносятся элементы.
7. Внутренние отношения целостной системы непосредственно обуславливают ее структуру и состояние. Изменение внутренних отношений системы приводит к изменению самой системы и влияет на внешние отношения, в которых она находится. Изолированные внешние отношения системы не влияют на ее внутренние отношения.
8. Общей системой для всех объективно-реальных отношений является Вселенная, как единое целое.
9. Особым типом отношения между материальным и идеальным является их психическое отражение сознанием человека. Мысленные (идеальные) отношения представляют собой абстрактные образы (схемы, модели, матрицы) отношений объективной действительности. Идеальные отношения отображают материальные опосредовано, а будучи оторванными от последних — искаженно.
Любые отношения, в силу их многоуровневой структуры, могут быть упорядочены соответствующим образом. С точки зрения математики любое упорядочивание сводится к тому, что некоторое множество разбивается на ряд упорядоченных и не пересекающихся друг с другом подмножеств Ga, обладающих определ¸нной структурой, т. е.
(2.2−1)
Каждое из подмножеств, в свою очередь, может быть разбито на ряд непересекающихся подмножеств и т. д. В результате любая классификация представляет собой многоуровневую структуру, в которой можно выделить определенные уровни иерархии. Как правило, в большинстве случаев связи между их элементами носят локальный характер, т. е. каждый элемент структуры имеет связи только с ближайшими соседями. Именно это обстоятельство и позволяет производить безболезненно разбиение множества на подмножества.
К наиболее существенным характеристикам многоуровневой системы относятся [12]:
— последовательное вертикальное расположение подсистем, приоритет действий
(или правил вмешательства) подсистем верхнего уровня в работу подсистем нижних уровней;
— зависимость действий подсистем верхнего уровня от фактического исполнения
нижними уровнями своих функций;
— любая иерархия состоит из семейства взаимодействующих подсистем. На характер деятельности подсистем любого уровня оказывают непосредственное влияние выше расположенные уровни, чаще всего близлежащий старший уровень.
Качество же работы всей системы в целом определяется поведением всех элементов системы. Между этими элементами существуют два основных типа отношений _ субординации и координации, сложность которых возрастает с увеличением числа уровней иерархии. Эти отношения имеют системный характер, поэтому они характеризуют отношения порядка в этой системе. Разные формы материи стоят друг к другу в отношении не только постепенного иерархического усложнения, но и генетического порождения одних форм другими, выражая тем самым различные этапы развития материи. Между разными формами материи имеются не только отношения генетической субординации, но и пространственно _ временной координации. В иерархических системах отношения порядка (субординации и координации) являются вложенными друг в друга и характеризуют степень преемственности этих отношений. В многоуровневых иерархических системах эта преемственность отношений распространяется и на преемственность принципов и способов построения самой системы, на е¸ структуру. С точки зрения математики отношение — это гипотетическое правило, связывающее два или более математических объекта. Многие отношения могут быть описаны в терминах математических операций, связывающие один или несколько объектов (операнд, операнды) с другим объектом или множеством объектов (результатов операции). Математическое отношение будем называть отношением иерархии, если совокупность операндов и результат операции образуют упорядоченную последовательность (кортеж) математических объектов или множеств объектов А, обладающих тем свойством, что
( 2.2−2)
Тогда любое подмножество вида
(2.2−3)
Образует отношение иерархии n-го порядка, т. е. (2.2- 4)
Поскольку все отношения являются вложенными, то последнее выражение можно записать более просто
(2.2−5)
Отношения иерархии можно задавать различными способами, например, таблицами, проекциями, сечениями, алгебраическими формулами и т. д. Ниже рассмотрим основные виды отношений иерархии.
2.2.1. ОТНОШЕНИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ
Эти отношения являются по праву самыми фундаментальными. По сути даже такая строгая наука, как математика, полностью базируется на этих отношениях. Эти отношения характеризуют свойства симметрии и инвариантности объектов. В силу закономерности о двойственности любые другие отношения можно свести к многоуровневым отношениям двойственных объектов. Так, фактически любое тождество можно представить как отношение двойственности. Например, тождество можно представить как конкретное отношение двух тождественных элементов
или
где новый элемент с внутренней двойственностью.
Внутренние и внешние отношения (отношения субординации и координации) имеют свои специфические особенности. При этом совсем не обязательно, чтобы двойственные объекты обязательно были полностью тождественны друг другу. Так, например, масса Вселенной и двойственного ей объекта _ Единого поля не являются тождественными. Но они обладают важным свойством. В сумме они образуют инвариантную величину, которая по закону маятника может менять пропорции между двойственными объектами. По мере
усложнения иерархических систем, с появлением и усложнением интегрированных систем, отношения двойственности приобретают все более широкий спектр. Из отношений двойственности формируются отношения мультидвойственности. В процессе отношений координации между двойственными элементами происходит обмен информацией, определяется их степень полезности друг другу. Под степенью полезности можно понимать потенциальную возможность удовлетворения потребностей в создании новых интегрированных оболочек с отношениями мультидвойственности.
Самым ярким примером мультидвойственных отношений являются бинарные деревья. В каждом таком дереве каждые две соседних вершины соединены одной дугой, образуя тем самым двойственные отношения на бинарном дереве. Совокупность всех этих двойственных отношений и образует дерево мультидвойственных отношений. Вообще говоря, любая иерархическая структура представляет собой упорядоченный набор двойственных отношений.
Отношения мультидвойственности (полезности, целесообразности) в силу их различной природы в разных приложениях могут стать предметом самостоятельных теорий. Так, в математике они составляют основу теории полезности. Во всех других областях, они представляют самостоятельный интерес и являются самостоятельными теориями. Так, в области экономических отношений их суть составляют рыночные двойственные отношения спроса и предложения. «Рыночные» отношения являются фундаментом и теории полезности социальных отношений и т. д. В силу двойственности всех окружающих нас явлений, отношение двойственности, с точки зрения математики, является бинарным отношением.
2.2.2. ОТНОШЕНИЯ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ
Отношения двойственности носят преемственный характер и определяются уровнем иерархии системы, уровнем ее интегрированности. В процессе эволюции, по мере усложнения отношений двойственности, между интегрированными оболочками (системами) возникают новые отношения, отношения субординации, которые характеризуются уже вертикальной упорядоченностью, подчинением и соподчинением оболочек и подоболочек иерархических систем. Эти отношения составляют важнейшую особенность структуры всякой системы. Отношения субординации могут иметь более тонкий спектр расщепления. В этом случае мы можем говорить об отношениях суб-субординации. В результате подобного расщепления отношения субординации образуют, в общем случае, древовидные структуры. В результате подобного расщепления отношений субординации образуются уровни иерархии отношений, характеризующие упорядоченную преемственность отношений элементов множеств. Эта преемственность может определяться, например, с помощью выражений (2.2−2, 2.2−3).
2.2.3. ОТНОШЕНИЯ ПОЛЕЗНОСТИ
Отношения двойственности в системах во многих случаях проявляются как отношения полезности. Множества отношений полезности в иерархических системах являются строго упорядоченными. Эти отношения порядка возникают в системах в процессе их эволюции. На начальных этапах, например, в атомах, отношения двойственности на начальном этапе реализуются только за счет противоположности спинов электронов и протонов. На более поздних этапах эволюции, по мере усложнения системы, ее потребности в контактах с внешней средой увеличивались. Каждая оболочка системы стала иметь «валентность», определяющую ее потребность в контактах с внешней средой, в результате которых она будет иметь возможность получать недостающие ей компоненты. Если таких контактов будет установлено более двух, то мы можем говорить о мультидвойственных отношениях иерархии. Смысл мультидвойственных отношений можно сравнить с ситуацией, которая имеет место в вычислительных системах, работающих в реальном масштабе времени. Каждому клиенту кажется, что компьютер работает только с ним, только с ним осуществляет обмен информацией, в реальном масштабе времени. Коммуникационные связи определяют уже не противоположность, а степень полезности одних иерархических оболочек другим. Однако следует иметь в виду, что далеко не всегда такие коммуникационные связи будут оптимальными, т. к. система может оказаться структурно перегруженной и ее необходимо будет переструктурировать. Отношения полезности могут устанавливаться по принципу «каждый с каждым», формируя сложные мультидвойственные отношения между всеми «участниками» этих отношений. В процессе
интеграции оболочек системы или систем, отношения полезности будут справедливы не только для той оболочки (системы), которая является инициатором установления коммуникационных связей, но и для другой оболочки (системы), с которой устанавливаются отношения полезности. Если для какой-либо из сторон такие отношения оказываются бесполезными, то такие контакты разрываются, как не целесообразные. В процессе интеграции эти отношения, как правило, могут преобразоваться в устойчивые отношения субординации. При анализе такие мультидвойственные системы очень сложно представлять производящими функциями, хотя они могут быть использованы для качественного анализа этих систем (глава 3). Отношения полезности широко используются в математике, в том числе и в рамках одноименной теории — теории полезности, которая находит широкое применение при изучении проблем построения целенаправленных систем, когда необходимо учитывать цели, желания и нужды тех, кто управляет такими системами и сам подвергается их воздействию [29]. Термин «полезность» имеет два разных значения. Первое — это качественная, или сравнительная оценка, характеризующаяся такими утверждениями, как: «Я ценю это больше, чем то» или «Я предпочитаю х, а не у». Второе значение этого термина — количественная оценка, когда мы в виде числа выражаем наше предпочтение, пытаясь отразить его сравнительную природу. Вообще говоря представление полезности в виде некоторого числа является удобным количественным выражением исходного качественного отношения предпочтения.
Основы современной теории полезности были заложены в восемнадцатом столетии. Именно тогда несколько математиков, заинтересовавшись теорией вероятностей и ее применением к случайным играм и страхованию, выдвинули принцип, в соответствии с которым благоразумный человек, попав в критическую ситуацию, в случае угрозы его благосостоянию должен вести себя так, чтобы максимизировать размер ожидаемого богатства. На рис. 2.2−1 хорошо проиллюстрирован этот так называемый закон убывающей предельной полезности. Когда богатство возросло, то добавление еще одной единицы богатства приводит к меньшему возрастанию полезности, чем в начале роста благосостояния. График, изображенный на рисунке 2.2−1, имеет чрезвычайно широкое распространение в самых разных приложениях математики. Так, экономисты, изучая покупательную способность при отсутствии элемента риска, создали собственную теорию полезности, содержащую принцип убывающей предельной полезности.
Рис. 2.2−1. Убывание предельной полезности
Пусть (х 1, х 2,. . ., xn) — набор продуктов, в который входит х1 единиц первого продукта (или товара, или вида услуг), х2 единиц второго товара и т. д. В 70-х годах прошлого века Йевон, Менгер, Вальрас ввели в рассмотрение аддитивную функцию полезности
u1 1) + u12) +. .. + u1 (xn),
с помощью которой они вычисляли общее удовлетворение индивидуума, получаемое им от набора (х1, х2,. . ., хn); при этом предполагалось, что полезность ui i-гo продукта зависит только от его количества хi.. Более того, они предполагали, что каждая функция ui возрастает с убывающей скоростью по мере возрастания хi. Таким образом, они применили концепцию убывающей предельной полезности к каждому продукту в отдельности. В конце девятнадцатого и в начале двадцатого столетия ряд видных экономистов, таких, как Эджеворт, Фишер, Парето и Слуцкий, предлагали заменить аддитивную функцию полезности на функцию полезности более общего
вида и (х1, х2,. . ., хn).
Их аргументы сводились к тому, что последняя позволяет учесть взаимозависимость между продуктами (например, их дополнительность и взаимозаменяемость) и при некоторых предположениях позволяет объяснить ряд фактов, ранее установленных с помощью аддитивной функции полезности. Таким образом, можно сделать вывод, что отношения полезности, имеющие мультидвойственный смысл, подчиняются в самых разных приложениях одним и тем же закономерностям. Эти отношения характеризуют самые фундаментальные свойства всех иерархических систем, независимо от их природы. На этих отношениях, как это будет показано ниже (см. 4.4), зиждется такое фундаментальное понятие, как «интуиция» любой системы. Из наборов этих «интуитивных» (структурируемых) отношений полезности в конечном итоге формируется единая интеграционная структура, которую можно характеризовать уже как «интеллект» любой конкретной системы.
2.3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОТНОШЕНИЯ ИЕРАРХИИ.
В иерархических системах не только структура характеризуется отношениями иерархии и преемственности. Это целиком относится и к функциям иерархических систем.
Отношение R М A´ B называют функциональным, если для каждого х ОА сечение R по х содержит не более одного элемента. Если сечение по любому элементу из, А содержит один и только один элемент, то функциональное отношение называют всюду определенным. Если отношение R-1, симметричное к функциональному отношению R М A´ B тоже функционально, то отношение называется взаимно однозначным.
2.4. ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ ОТНОШЕНИЙ
Многоуровневость отношений иерархии приводит к многоуровневым законам композиции отношений. Эти отношения могут иметь и имеют в большинстве случаев древовидный характер и характеризоваться мультидвойственностью. При этом мультидвойственные отношения являются совокупностью двойственных или бинарных отношений. Это означает, что любая мультидвойственная (N-арная) операция является естественным обобщением бинарной операции. Она может быть расщеплена на упорядоченную последовательность бинарных отношений. Пусть An есть n-ая степень не пустого множества А. Отображение множества An, а О, А называют n-арной операцией на множестве А, а число n-рангом операции. Пусть f n — произвольная n-арная операция на множестве А. Если при отображении f n элемент y соответствует кортежу <a1, a2, a3,… , an>, то это высказывание можно записать в следующем виде
f n (<a1, a2, a3 ,…, an>) = y
или (2.4−2)
Рассмотрим теперь следующий набор отображений:
<<a1>, a2>f1
<<a1>, a2>, a3 >f2 (2.4−3)
…… <<<<a1>, a2>, a 3>,…, an>fn
который можно переписать в виде
(2.4−4)
и из которого видно, что мы имеем набор вложенных друг в друга множеств.
Тогда любое подмножество множества A (2.4−5)
называют n-арным отображением множества в множество (2.4−6)
т. е. любое подмножество прямого произведения множеств АiA, i=1,., n и будет являться n-арной операцией. Рассмотрим теперь обратное отображение
(2.4−7)
Показатель степени в множестве будем называть рангом n-арной операции. Нетрудно видеть, что n-арные операции вида (2.33−5), (2.3−7) можно получить, используя унарные или бинарные операции соответствующего вида. Пример. Пусть f и f-1 — унарные операции.
Тогда выражения (2.4−8) — (2.4−9)
следует рассматривать как n-арные операции. Для того, чтобы различать эти операции, n-арную операцию вида (2.4−9) мы будем называть восходящей n-арной операцией, а n-арную операцию вида (2.4−8) — нисходящей n-арной операцией. Можно ввести /аксиоматически/ операции, противоположные операциям (2.4−7) и (2.4−8). Тогда n-арная операция, противоположная восходящей будем записывать в виде:
(2.4−10)
а n-арную операцию, противоположную нисходящей будем записывать как
(2.4−11)
В реальных многоуровневых иерархических системах структура функциональных отношений соблюдается лишь в целом, т. к. в процессе функционирования системы постоянно происходят процессы перестройки этих отношений. Пусть мы имеем следующую n — арную операцию.
(2.4−12)
характеризующую функцию или цель функционирования элементов a, b, c, d.
Тогда в процессе функционирования данных элементов, под влиянием тех или иных воздействий будет происходить периодический процесс декомпозиции и композиции отношений данной цепочки элементов:
f 1: (a (d))
f 2: (a(c(d))) (2.4−13)
f 3: (a(b(d)))
и т. д. Может случиться так, что в процессе функционирования системы функциональные отношения окажутся «замкнутыми», например, по схеме:
(2.4−14)
В результате подобного замыкания мы получаем функциональное отношение с качественно новыми свойствами. Это отношение можно трактовать как унарное, в котором совокупность элементов с их отношениями образуют одно целостное интегрированное отношение. Если эти элементы будут участвовать в более сложных функциональных отношениях в качестве модуля, то «вход» и «выход» в таком модуле осуществляется через его «голову», т. е. через элемент самого старшего уровня иерархии модуля.
РЕЗЮМЕ
1. В основе теории отношений иерархии лежат отношения двойственности, которые подчиняются определенным закономерностям. Все отношения двойственности в иерархических системах и подсистемах проявляются как отношения координации или отношения субординации. Отношения координации характеризуют отношения равноправия между подоболочками одного и того же уровня иерархии. Отношения субординации характеризуют отношения подчиненности, упорядоченности между взаимодействующими друг с другом подоболочками систем, находящихся, как правило, на близлежащих уровнях иерархии.
2. Теория отношений с успехом используется как эффективный аппарат анализа сложных иерархических систем самой различной природы с n-арными, многоуровневыми отношениями иерархии. В процессе эволюции эти отношения из двойственных отношений интегрируются в мультидвойственные, определяемые уже не противоположностью элементов, оболочек и подоболочек системы, а «полезностью» этих отношений. В результате эти элементы, оболочки или системы получают недостающие для себя продукты «жизнедеятельности» по «бартерному» принципу и, следовательно, процессы эволюции материи носят не случайный, а вполне закономерный характер.
Глава 3. КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
В основу данной главы положены идеи В. А. Лефевра [4], которые были использованы для анализа рефлексивных процессов, возникающих в отношениях объект-исследователь. В данной главе делается попытка применить эти идеи для анализа процессов эволюции сложных иерархических систем самой различной природы и, в первую очередь, для анализа сложных интегрированных систем любой природы (технические, социальные, экономические, психические и т. д.).
3.1. ПЕРСОНАЖИ. ПОЗИЦИИ. РОЛИ.
Под персонажем системы в самом общем случае будем понимать внешнего или внутреннего оператора (исследователя) системы. Персонаж — это абстракция, так или иначе происходящая из понятия внутреннего исследователя системы, как пространственно локализованного явления, в качестве исходных единиц которого могут рассматриваться отдельные элементы (или подсистемы). Каждый внутренний персонаж имеет свое уникальное имя, свой «внутренний мир», который для внешнего исследователя можно вначале отождествить с черным ящиком. Под влиянием внешних воздействий черный ящик дает ответную реакцию, которая является индивидуальной для данного черного ящика. Этот ответ на внешнее воздействие с «позиции» черного ящика — персонажа системы фиксируется внешним исследователем, который проводит акт концептуализации и в результате получает некоторую целостную, с его «точки зрения», с его «позиции», представление о внутреннем персонаже. Один и тот же персонаж по отношению к вышестоящим уровням иерархии может выступать в роли внутреннего исследователя, а по отношению к нижестоящим уровням _ в роли внешнего исследователя. Персонажи в процессе своего функционирования являются источниками и потребителями информации. Рассмотрим некоторую сложную иерархическую систему, в которой в качестве одного из составных элементов _ персонажей выступает человек. Очевидно, что такой элемент системы наряду со свойствами, общими для всех элементов данного типа, имеет еще свои специфические свойства, свою индивидуальную смысловую окраску. Именно такое единство общего и специфического да¸т исчерпывающее представление о свойствах подобных элементов системы. Действительно, человек наряду со свойствами, необходимыми всем персонажам данной системы для обеспечения ее нормального функционирования, кроме характеристик уровня теоретический и практический подготовки на данном рабочем месте, имеет ещ¸ свои собственные особенности, свою точку зрения на задачи и цели функционирования системы, на свою роль и место в системе и т. д. Совокупность общих и специфических свойств персонажа характеризует его «внутренний мир», его поведение, намерения, взгляды на мир, умозаключения, физические и нравственные ощущения и т. д. Естественно, что совокупность этих общих и специфических свойств влияет на качество функционирования персонажа. Если в системе произойдет отказ одного из элементов типа персонажа, то замена этого персонажа другим может существенно сказаться на качестве функционирования всей системы в целом, т. к. представления персонажей о системе и е¸ состоянии существенно зависит не только от уровня их теоретической и практической подготовки, но и от их личной точки зрения на систему, на выполняемые ею функции, цели и задачи. Другая особенность персонажей заключается в том, что они в определенные моменты времени, определяемые особенностями функционирования системы, производят «осознание» текущего состояния системы (самостоятельно или под влиянием управляющих воздействий) и в зависимости от этого вырабатывают свои исполнительные действия. Естественно, что подобные «осознания» системы персонажами осуществляется в соответствии со свойствами, которыми данный персонаж обладает и которые проявляются в процессе его функционирования в виде некоторого набора элементарных «актов», к которым можно свести все действия персонажей в процессе
«осознания» ими своего места и роли в системе. Будем говорить, что набор этих «актов», с помощью которых данный персонаж «строит» свои отношения с окружающим его миром, составляет концепцию персонажа. Таким образом, концепция персонажа — это совокупность общих и специфических свойств, которые концептуализируются (отражаются, осознаются) в наборе некоторых правил идентификации и «актов», которыми в ходе функционирования пользуется тот или иной персонаж.
Формально концепция персонажа не содержит базового множества элементов (объектов), а содержит лишь набор некоторых имен отношений {Rx} и свойств {Ax} персонажа, отражающих его «внутренний мир». Эта концепция материализуется лишь тогда, когда появляется базовое множество элементов, между которыми существуют реальные отношения. В тот момент, когда появляется некоторое базовое множество и концепция проявляется как некоторая реальность, мы будем иметь уже не концепцию, а модель персонажа, действующего на некотором плацдарме, задаваемом базовым множеством. Поэтому можно сказать, что концепция персонажа отражает структуру его модели, что каждая конкретная модель персонажа есть одна из возможных реализаций его концепции. Если модель персонажа реализуется на множестве элементов определ¸нной природы, то концепция персонажа представляет собой некоторую абстрактную категорию, с точки зрения которой неважно, из чего состоит несущее множество модели и какова реальная природа этих отношений на этой модели. Концепция персонажа нес¸т в себе важную информацию о самой модели персонажа.
Во-первых, по ней легко установить, сколько отношений в данной модели. Во-вторых, узнать арность этих отношений, т. е. имена отношений характеризуют «валентность» реальных отношений.
Наличие концепций у персонажей позволяет говорить об одноименных отношениях в разных моделях персонажей. Выше уже отмечалось, что главная особенность концепции состоит в том, что здесь нет никакого базового множества. Что же такое реализация концепции? Очевидно, что это уже модель персонажа, в которой есть вс¸, что и в концепции и, кроме того, появляется базовое множество. Поскольку каждый символ отношения в концепции приобретает реальное содержание, т. е. превращается в отношение на заданном базовом множестве, то при подстановке реальных отношений в ту или иную аксиому концепции она становится либо истинной, либо ложной для этой модели персонажа. Концепция — это в сущности идея, воплощаемая в своих моделях, даже если модель персонажа есть математическая абстракция, вс¸ равно она более «материальный» объект, чем содержащаяся в ней концепция. В модели персонажа есть реальное множество, на котором заданы соответствующие отношения и выполнены требуемые свойства. Концепция персонажа, как правило, не является неизменной с течением времени. В результате «общения» с другими персонажами она эволюцирует. Этот процесс взаимодействия в общем виде можно описать следующим образом. Предположим, что каждый действующий персонаж системы способен в некоторые определ¸нные моменты времени производить акты «осознания» состояния системы со своей точки зрения (с точки зрения своей концепции). Тогда в процессе реализации этих актов происходит:
1. Оценка состояния системы и уяснение цели осознания, в результате подобной оценки появляется некоторое базовое множество элементов и действующих персонажей системы. В результате уяснения цели осознания из концепции персонажа выбирается некоторая совокупность имен отношений, аксиом и теорем, которые ставятся в соответствии (связываются) с реальными элементами системы.
2. Используя аксиомы и теоремы, персонаж осуществляет оценку своей роли и места в системе, т. е. выводит цель своего функционирования.
З. Принятие решения и его реализация. Здесь имена отношений связываются с аксиоматикой и реальными отношениями на реальном базовом множестве в соответствии с целью своего функционирования. Это означает, что используемые при этом имена отношений, теорем наполняются реальным смыслом и персонаж готов действовать, т. е. получена некоторая частная модель персонажа. Таким образом можно сказать, что решение является реализацией некоторой частной концепции персонажа.
4. Принятое персонажем решение передается затем другому персонажу или элементу системы в форме директивы на управление или в форме доклада об исполнении директивы (решения).
Следует заметить, что во многих случаях принятое решение (директива) доводится до персонажа, для которого оно предназначена не полностью, т. е. доводится только в «части, касающейся» данного персонажа,
что в директиве на управление персонаж получает не всю необходимую ему информацию. Поэтому сама директива является некоторой концепцией, навязанной персонажу для реализации. Будем называть такую директиву частной концепцией.
Из определения частной концепции следует, что передачу своих «взглядов» персонажи могут осуществлять и на уровне им¸н отношений. Семантика переданных отношений каждым персонажем может определяться в таких случаях индивидуально. Поэтому вполне естественно, что nepcoнаж, «впитавший» в себя некоторую частную концепцию, может вложить в не¸ собственный смысл, связав е¸ с некоторым базовым подмножеством, отличающимся от базового подмножества, имеющегося у персонажа, принявшего решение и передавшего его для исполнения. Естественно, что и модель персонажа, принявшего решение для реализации, будет отличаться от модели, имеющейся у персонажа, принявшего такое решение. Ясно, что в результате такого взаимодействия могут получаться частные модели, искажающие процессы функционирования. Такая ситуация чаще всего появляется там, где недостаточно отработано взаимодействие между персонажами, или в результате недостаточной квалификации того или иного персонажа. В результате проб и ошибок, по мере накопления знаний и опыта, персонажи приобретают общие отношения, эти отношения приобретают сходный смысл, определяются целями функционирования персонажей и всей системы в целом. Это значит, что вначале все подобные системы должны иметь определенную информационную избыточность, такую, которая позволила бы из «шумов» извлекать требуемую информацию, имеющую определенный системный смысл. По мере совершенствования функций персонажей требования к избыточности уменьшаются. В процессе взаимодействия, совершенствования этого взаимодействия, директивы будут содержать вс¸ меньше информации, точнее только самую существенную информацию, т. к. вся другая информация будет избыточной, она имеется уже у персонажей. Поэтому концепции будут уже сходными в качественном и количественном отношениях. В зависимости от того, какова природа базового множества, каковы свойства базовых элементов, какой семантический смысл они несут, модель персонажа в зависимости от этого будет иметь и соответствующую семантику. Так, если базовые элементы будут функциональными, то и модель персонажа также будет иметь, прежде всего, функциональный аспект. Если же базовые элементы — суть информационные объекты, то мы будем иметь чисто информационную модель персонажа. Если же базовые элементы несут в себе только структурную нагрузку, то соответствующий аспект будет содержать и модель персонажа. Однако в любом случае в модели будут существовать отношения субординации и координации, а это значит, что любая модель персонажа всегда будет содержать в себе структурный, иерархический аспект.
3.2. КОНФЛИКТУЮЩИЕ ПЕРСОНАЖИ.
Особый и самостоятельный интерес представляет исследование взаимодействия персонажей в условиях конфликта, который всегда имеет двойственный, а часто и антагонистический характер [4]. Естественнонаучная традиция, окончательно сложившаяся в первой половине нашего столетия, содержит в своей основе два скрытых постулата.
Первый постулат: «Теория об объекте, имеющаяся у исследователя, не является продуктом деятельности самого объекта».
Второй постулат: «Объект не зависит от факта существования теории, отражающей этот объект» .
Первый постулат фиксирует доминирующее положение исследователя по отношению к объекту: не существует объектов, принципиально превосходящих исследователя по совершенству, которые способны проникать в замыслы исследователя и либо мешать ему, либо помогать познавать себя. Второй постулат порождает возможность говорить о свойствах и законах, присущих вещам. Они существуют объективно и лишь фиксируются исследователями.
Если же принять возможность влияния научной концепции на объект, то теория, отражающая такую закономерность, может изменить эту закономерность, и тем самым произойдет саморазрушение истинности теории. Эти постулаты возникли в основном в рамках физических исследований, которые являются в основном результатом взаимодействия объекта с прибором. Но сами знания, например фактом своего опубликования, не оказывают никакого влияния на свойства и характер физических процессов, которые отражены в этих знаниях.
Поскольку научные концепции не являются физическим явлением, то их нельзя считать компонентой прибора. Способ соединения идеи и объекта, как процесса взаимоотношений между объектами _ исследователями представляет значительный интерес для анализа взаимоотношений исследователя и системы, сравнимой или превосходящей его по совершенству. Проникновение в замысел партнера, т. е. анализ его состояния с его позиций, представляет значительный интерес. При этом особый интерес представляет случай взаимодействия двух объектов, характер взаимоотношений которых является конфликтным, в силу их двойственных свойств. В этом случае само объективное положение дел вынуждает действующие персонажи стать исследователями внутреннего мира своих противников, проводить анализ их «мыслей» и строить свою теорию поведения. Это необычный случай взаимоотношений объекта и теории. Объект всячески пытается быть неадекватным теории, он непрерывно «уходит» от построенной теории, делая ее неверной, нарушая таким образом второй постулат. Легко видеть, что будет нарушаться и первый постулат, когда один из персонажей навязывает другому определенные представления о самом себе. Но это обычный случай при попытках достичь в конфликтах взаимопонимания, когда каждая из конфликтующих сторон пытается свои поступки дополнительно проанализировать с позиции противоположной стороны. Подобное взаимодействие можно характеризовать как использование противоположными сторонами принципа минимакса, который, как это будет показано в дальнейшем, играет исключительно важную роль в двойственных и мультидвойственных отношениях. Если взаимодействие этих персонажей носит устойчивый характер, то это значит, что персонажам известен внутренний мир друг друга, что имеет место зарождение новой интегрированной системы с внешней двойственностью, характеризующейся антагонистическими отношениями.
3.3. КОНЦЕПЦИЯ. КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ.
Концептуальные структуры — это система вложенных друг в друга (частично или полностью) подструктур. Каждая последующая подструктура (надструктура) порождается от предшествующей с помощью некоторого набора правил идентификации. Совместно с набором правил идентификации, на основе которых могут строиться новые концептуальные структуры — «концепты» произвольной сложности, они образуют формальную теорию концептуальной зависимости. Концептуальная структура — понятие более абстрактное, чем семантическая структура. Концептуальная структура приобретает четкий прагматический смысл только после определения ее синтаксиса и семантики, когда будет определено базовое множество элементов. Именно совокупность семантических и синтаксических правил идентификации образует некоторую новую, целостную, обладающую качественно новыми свойствами смысловую структурную единицу. Концептуальная структура фиксирует только последовательность процессов и подпроцессов, которые произошли в процессе взаимодействия персонажей. Вот, собственно, первоначальная идея построения концептуальных структур и концептуальных отношений.
3.4. ИЗОБРАЖЕНИЕ КОНЦЕПТУАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим некоторые наборы «примитивных» (элементарных) действий, или актов, к которым в ходе анализа или синтеза концептуальной структуры можно свести все действия, описывающие свойства отдельных ее элементов и подструктур. Обозначим взаимодействующих персонажей символами Х, У, Z. Чтобы принять решение, X должен построить модель ситуации (например, особым образом схематизировать систему - плацдарм, на котором происходит взаимодействие персонажей). В свою очередь, У также строит некоторую модель ситуации, но, кроме того, он может осознать, что у его персонажа Х есть некоторая модель ситуации. В свою очередь, Z может осознать, что внутренний мир X и У устроен именно таким образом. Успех в достижении конечной цели функционирования во многом предопределен тем, как персонажи имитируют внутренний мир друг друга, насколько они доверяют друг другу. Не имея детализированной картины, в которой учитываются особенности концептуального строения внутреннего мира взаимодействующего персонажа, невозможно правильно толковать его действия. Например, некоторое изменение состояния системы в условиях помех может быть принято как помеха и не принято к исполнению, в то время как это было действительное изменение состояние системы, которое персонаж должен был принять к сведению и исполнению.
Однако даже при небольшом числе участников концептуальные процессы имеют сложное строение,
и необходим специальный аппарат, позволяющий сделать их предметом анализа. Поэтому целесообразно ввести специальный «алгебраический язык», который позволяет изображать подобные процессы любой сложности. Будем изображать символом W «плацдарм», на котором действуют персонажи. Картины этого плацдарма, которые могут лежать перед персонажами X, Y и Z, обозначим соответственно
Wх= х (W), Wу = у (W), Wz = z (W)
(читается: «W с позиции Х», «W с позиции У», «W с позиции z»). Элементы х (W), у (W), z (W) возникают как результат осознания соответствующим персонажем своего места и роли на плацдарме W. Картины, которые есть у одних персонажей, могут отражаться другими персонажами. В результате возникают элементы Wху, Wхz, Wуz и т. д. (читается: «Wх с позиции У», «Wх с позиции Z, Wу с позиции Z и т. д.»). Элементы с двумя индексами также могут отражаться, в результате чего возникают Wхуz, Wхzу, Wzху и т. д. Они читаются соответственно- «Wху с позиции z» и т. д. Картина, которую некоторый персонаж имел в момент t1, может быть также осознана им, уже в момент t2, причем осознана именно как картина, а не как некоторая «физическая реальность». Вследствие этого возникают элементы типа Wхх, Wуу, Wххх и т. д. Теперь изобразим процесс взаимоотношения трех персонажей на плацдарме. В момент t1 в нашей модели никаких внутренних картин у персонажей нет (рис. 1). Системе в этом случае соответствует символ W. Концептуальную систему в момент t1 можно представить в виде суммы
W1=(W+ х (W))
Она содержит две компоненты: плацдарм и карту плацдарма, лежащую перед Х. Если в момент В момент t 2 осознание этой системы произведет персонаж У, то мы получим следующую картину, которой соответствует следующий многочлен:
W2== W1+ у (W1) =W + х (W)+ у (W+х (W)).
Сумма, находящаяся в круглых скобках, это «W+х (W) с позиции У».
Концептуальную систему после того, как очередное осознание произвел персонаж Z, мы теперь легко можем изобразить так:
W3= W+ х (W) + у (W+ х (W))+z (W+ х (W) + у (W+ (W)))
Представляется естественным ввести относительно правого индекса закон дистрибутивности, который позволит раскрыть скобки. Например, следующие выражения будут эквивалентными:
W+ х (W) + у (W+х (W))=W+ х (W) + у (W) + у (х (W))
Этот закон может быть интерпретирован двумя способами. Вынесение индекса за скобку можно рассматривать с позиции «внешнего исследователя». В этом случае внешний исследователь «выделяет» с помощью этой операции «внутренние миры» отдельных персонажей; тем самым получает возможность рассматривать внутренние миры в их целостности. Но из этого не следует, что у самих персонажей есть целостная картина. С другой стороны, вынесение индекса можно рассматривать именно как возникновение у персонажа картины, т. е. это некоторая операция, происходящая «внутри» персонажа. Обратим внимание на то, что это изображение не позволяет получать информацию об адекватности отражения персонажами картин, лежащих перед другими персонажами. Например, пусть мы имеем два члена Wх и Wху. Персонаж У может иметь как адекватное отражение Wх, так и принципиально не адекватное. Символика регистрирует лишь факт «существования» такого члена во внутреннем мире персонажа У. Поэтому при употреблении символики необходим специальный комментарий, характеризующий степень неадекватности с позиции внешнего исследователя. Введенный таким образом формализм позволяет подходить к анализу персонажей (объектов, событий, явлений, процессов и т. д.) с иерархической точки зрения, например, к анализу «духовной» оболочки живых организмов и т. д.
3.5. ОПЕРАТОРЫ КОНЦЕПТУАЛИЗАЦИИ
Теперь мы введем специальный формализм для фиксации процесса концептуализации. Для этого мы должны найти формальный способ изображения перехода от выражения W1 к выражению W2, от выражения W2 к выражению W3, и т. д. Многочлены, которые были введены, существенно отличаются от «обычных» многочленов с вещественными коэффициентами. Поэтому необходимо строго ввести тот алгебраический объект, с которым мы будем иметь дело в дальнейшем. Исходными для построения формализма (для трех персонажей) являются

символы х, у, z, W и 1, а также круглые скобки «(«и «)». Из этих символов составляются «слова» — конечные последовательности символов, например, х, х (у (W)), х (W), x (y (z (W))) и т. д. Два слова считаются эквивалентными, если они отличаются только числом вхождения в них символа 1 (например, 1x (1y (1z (1W))) = x (y (z (W))). Таким образом, символ 1 можно вычеркивать из слов. При этом будем считать, что символы группируются в слова с помощью аддитивной операции сложения, выражающей отношения координации между символами, и мультипликативной операции умножения, символизирующей отношения субординации между символами. С помощью этих же операций слова могут группироваться в высказывания, высказывания в предложения и т. д., образуя сложную иерархическую структуру отношений.
Условимся пока рассматривать слова, не содержащие символа Т. Множество всех таких слов счетно. Перенумеруем их некоторым произвольным образом. Получим последовательность аi. Теперь мы можем ввести понятие концептуального многочлена. Концептуальным многочленом мы будем называть символическую сумму
где ai — элемент булевой алгебры, состоящей из двух элементов 0 и 1.
При заданной нумерации ai многочлен однозначно задается набором коэффициентов ai. Условимся в дальнейшем выписывать лишь те члены, коэффициенты перед которыми равны 1. Необходимо обратить внимание на отличие многочлена от отдельного слова. Если мы пишем, например, w =1, то это значит, что рассматривается многочлен
В котором только перед a1=1 коэффициент отличен от нуля. Теперь можно ввести операции сложения и умножения многочленов. Они вводятся так же, как и операции над «обычными» многочленами, с той лишь существенной разницей, что умножение оказывается не коммутативным. Нетрудно видеть, что умножение ассоциативно и выполняются правый и левый законы дистрибутивности:
Каждому многочлену W поставим в соответствие специфический многочлен W=w (W). Многочлены W, как мы показали раньше, позволяют изображать состояния концептуальных систем, а многочлены w будут интерпретированы как операторы концептуализации.
Теперь мы можем выразить на алгебраическом языке процедуры превращения картинки на рис. 1 в картинку на рис. 2 и т. д. Для этого необходимо многочлен Т, выражающий содержание картинки на рис. 1, умножить справа на многочлен 1+х. Результатом такого умножения будет многочлен
W1= (1+x) (W)=W+x (W) (3.5−1)
Чтобы перейти далее к состоянию W2, многочлен W1 нужно опять-таки справа умножить на многочлен 1+у.
(1+х)(1+у) (W)=W+х (W)+у (W+х (W)) (3.5−2)
Состояние Wз порождается умножением W2 на 1+у
Wз = (1+x)(1+y)(l+z) (W)=W+x (W)+(W+x (W))y+ z (W+x (W)+y (W+x (W))) (3.5−3)
Таким образом, той процедуре осознания, которую мы изобразили графически (она представляет собой схематизацию естественно _ интуитивного понимания рефлексии), соответствует теперь алгебраическая операция умножения многочлена на многочлены 1+х, 1+у, 1+z. Мы только что описали случай, когда персонажи производят осознание последовательно. Но легко изобразить и случай, когда осознание производят все три персонажа одновременно. Оператор концептуализации будет таким:
w = 1 + х + у + z,
а эволюция многочлена, характеризующего состояния концептуальных систем, выразится соотношением
Wn= (1+x+y+z)(W),
где п — число концептуализаций.
Подобное изображение процессов осознания значительно расширяет возможности исследования более сложных типов концептуализации. Нетрудно видеть, что простейшему оператору концептуализации w= 1 +х будет соответствовать случай, когда процесс концептуализации производит один и тот же персонаж через определенные промежутки времени. Этот процесс можно представить следующими многочленами.
Wn = Twп=Т (1+x)п, где п — число концептуализаций
3.6. КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ ОБОЛОЧКИ
Инвариантность типа многочлена по отношению к оператору концептуализации может быть выражена следующим очевидным тождеством:
(1+w) (W+ w (W)) =W*+ w (W*),
где W*= W + w (W) — многочлен, характеризующий концептуальную оболочку оператора концептуализации. Каждая концептуализация системы с помощью инвариантного оператора приводит к увеличению уровня иерархии системы, в которой иерархическая система предыдущего уровня иерархии может рассматриваться как подоболочка W*= W + w (W), а член w (W*) будет характеризовать появление новой уникальной подоболочки. Инвариантность оператора концептуализации проявляется в том, что даже при многократном применении он оставляет структуру многочлена неизменной: каждый последующий член ряда является суммой двух его последних членов. Таким образом, инвариантные операторы порождают класс инвариантных концептуальных оболочек и подоболочек. Рассмотрим оператор w = 1+x2. При однократном применении он порождает многочлен
W1=W+ xx (W)=W+ x (x (W))
Перед персонажем Х лежит не плацдарм W, а картина этого плацдарма, отраженная им самим. Реальность W с позиции персонажа Х всегда выступает лишь как элемент его внутреннего мира. Осознание своего подлинного состояния W1 посредством оператора w = 1+х2 вновь приводит к такому же типу внутреннего мира, т. е. тип этого внутреннего мира замкнут относительно данного оператора. Действительно,
(1+x2) (W+x (x (W))) = W* + x (x (W*))
Оператор осознания 1+x2 обрекает персонажа вступать в отношение с реальностью лишь как с элементом своего внутреннего мира.
Рассмотрим оператор w=1+x+х2. Персонаж, «вооруженный» таким оператором, производит двойную концептуализацию. Выбирая тот или иной оператор концептуализации, мы имеем возможность получать различные отражения внутренних миров персонажей, различные иерархические структуры, различные оболочки и подоболочки. Будем такие оболочки и подоболочки называть концептуальными. Из определения концептуальных оболочек, которые формируются с использованием инвариантных операторов концептуализации, следует, что такие оболочки и подоболочки являются замкнутыми и структурно ограниченными.
3.7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПЕРСОНАЖЕЙ. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ.
Рассмотрим вначале взаимодействие персонажей, осуществляющих акты «осознания» своего места и роли в некоторой системе. Будем называть эти акты — актами концептуализации. Все действующие персонажи системы являются реально существующими с точки зрения внешнего наблюдателя (исследователя), т. е. являются материальными. Персонажи, осуществляющие акты концептуализации внешнего по отношению к ним мира, будем называть внешними персонажами и обозначать символами вида Х, У,Будем говорить, что выражение
x (S) (3.7−1)
отражает состояние некоторой внешней системы с точки зрения персонажа Х. В случае, если персонажи действуют в рамках одной системы, то символ системы S мы будем опускать. Так выражение
х (у) (3.7−2)
будет отражать структуру концепции персонажа У с точки зрения Х Если же мы запишем
(у)х (3.7−3)
то мы получим структурную концепцию, отражающую точку зрения персонажа У на концепцию персонажа X. Очевидно, что выражения (3.7−2) и (3.7−3) являются противоположными друг к другу. Так, если цепочку х (у)
отождествить с процессом выработки и передачи управляющей информации (решения на управление), тогда цепочку вида (у)х будет отображать процесс реакции на управление (реакции персонажа У на управление от X. Цепочки вида х (у) будем называть прямыми цепочками, а цепочки вида (у)х _ обратными. В зависимости от длины цепочки будем различать унарные, бинарные, тернарные, ., n-арные структурные концепции. Каждый действующий персонаж в этих цепочках имеет свой уровень иерархии, определяемый n-арной структурной концепцией, порядком взаимодействия персонажей. Будем считать, что уровни иерархии в прямых цепочках пронумерованы от первого символа цепочки к последнему, а в обратных цепочках наоборот. Рассматривая эти цепочки в их единстве
х (у) * (у)х (3.7−4)
мы будем говорить, что между этими цепочками существуют отношения субординации. В дальнейшем отношения координации будем обозначать операцией сложения «+", а отношения субординации — операцией умножения «•" и там, где это допустимо обычными правилами математики, опускать знак умножения. Из последнего выражения следует, что структура, отражающая процессы взаимодействия персонажей в их единстве, расчленяется на две симметричные части: левая часть отражает структуру управления, а правая часть — отражает структуру системы исполнения и контроля.
Введ¸м теперь понятие «внутреннего» персонажа. Персонаж будем называть внутренним, если он присутствует во внутреннем мире другого персонажа, в том числе внутри себя самого, в последнем случае можно сказать, что персонаж занимается исследованием собственного внутреннего мира. С точки зр ения системы понятие внутренних персонажей означает, что внешнему исследователю удалось осуществить (полностью или частично) декомпозицию системы более детально и выйти тем самым на новый уровень исследования системы. Поскольку такая декомпозиция производится относительно элементов системы, стоящих на разных уровнях иерархии и считавшихся ранее нерасчленимыми, то условимся структурные концепции внутренних персонажей считать как бы зеркальными отражениями внешнего мира, внешних персонажей, а их уровни считать отрицательными. Сами внутренние персонажи будем обозначать символами Х, У… Так запись
W=х (у (z)) *((z)y)x (3.7−5)
будет означать, что персонаж Х взаимодействует со своим собственным внутренним миром. При этом запись х (у (z)) означает, что персонаж управляет самим собой, а запись ((z)y)x — что персонаж действует в соответствии со своим внутренним «я». Символы х, у, z раскрывают количественный состав внутреннего мира персонажа X. В общем случае верхние индексы персонажей означают уровень декомпозиции исходной системы, отражающей взаимодействие и взаимосвязь персонажей. Используя введенные выше определения и понятия, процессы взаимодействия персонажей можно изображать в виде структурных схем, с учетом их двойственности, т. е. персонажи являются одновременно источниками и потребителями управляющей информации. Таким образом, двойственный персонаж представляет собой единство противоположностей: он одновременно является источником решений и потребителем информации об исполнении решений, поскольку одновременно находится в прямой и обратной цепочке. В общем случае персонажи могут взаимодействовать только со своими «соседями», находящимися на близлежащих уровнях иерархии. Рассмотрим, например, схему
Эта схема может быть интерпретирована следующим образом. Персонаж переда¸т управление персонажу У, который управляет персонажем Z. Однако персонаж Х имеет право вмешиваться в управление, при этом его управление будет иметь больший приоритет и, следовательно, должно выполняться (реализовываться) в первую очередь. Аналогично, стрелки, символизирующие реакцию по реализации решения персонажей, стоящих на более высоких уровнях иерархии, также могут соединять персонажи не близлежащих уровней, при этом приоритет отда¸тся близлежащему уровню. Эта схема может иметь и другую интерпретацию. В процессе функционирования у персонажа Х возникает «желание» непосредственно детализировать свое решение или, наоборот, у персонажа Z уточнить свою концепцию на более высоком уровне иерархии. В результате такого

взаимодействия возникают избыточные связи между элементами и персонажами систем. Именно наличие таких избыточных связей в реальных многоуровневых системах позволяет более успешно решать поставленные задачи, ибо такая избыточность уменьшает степень неопредел¸нности частных концепций персонажей и уменьшает вероятность искажения целей управления, основных и дополнительных функций системы. Изобразим теперь в самом общем виде процессы формирования структурных многочленов при взаимодействии персонажей. Будем называть структуры, возникающие при взаимодействии персонажей системы концептуальными. Рассмотрим вначале структурный многочлен вида W0, S0@W0, т. е. исследуем процесс формирования концептуальной структуры с одной «переменной» х. Пусть в начальный момент персонаж никаких отображений о состоянии системы не имеет. Символ системы S0 обозначает тот факт, что у персонажа есть только первоначальное, Представим теперь, что в момент времени t1 персонаж произвел «акт осознания» системы. Тогда образ системы в его «сознании» можно будет изобразить многочленом
W1= x (W0) =W0 + x (W0)
Последующее осознание в момент t2 да¸т
x (W2)= х (W1 + x (W1)) = W0 + x (W0)+ х (W0 + x (W0))
и т. д. Из выражения следует, что процесс концептуализации носит рекуррентный характер. Так, вынося символ за скобки, мы получим
W1= W0 (1+ x) (3.7−7)
т. е. процедуре осознания системы персонажем Х соответствует алгебраическая операция умножения структурного многочлена на многочлен 1+х. Проводя формальные преобразования полученных таким образом структурных многочленов, мы будем получать концептуальные структуры разной степени сложности. В случае взаимодействия двух и более персонажей мы будем иметь дело со структурными многочленами в- двумя и более «переменными». В этом случае мы будем говорить о позиции того или иного персонажа с точки зрения другого и получать концептуальные структуры, отражающие процессы взаимодействия этих персонажей. Произвольный структурный многочлен, фиксирующий взаимоотношения, например, двух персонажей, в моменты времени t1 и t2 можно свести к виду:
W=W0+х (W1)+ у (W2) (3.7−8)
а осознание понимать как отражение всей ситуация одним внешним персонажем. Пусть, например, акт осознания произв¸л Х. Вся система изменилась: «внутри» персонажа Х оказался многочлен W, а персонаж У и W0 остались неизменными. Таким образом, система перешла в состояние
x (W) =(W0+(W1)x + W2)у)x +(W2)у+W0
Эта процедура напоминает нахождение формальной первообразной и е¸ можно обозначить соответствующим образом:
(3.7−9)
Аналогично
В качестве константы С выступают члены, не имеющие крайним правым индексом имени персонажа, который производит осознание. В случае, когда осознание производят оба персонажа одновременно
(3.7−10)
Можно ввести и операцию, обратную интегрированию, — нахождение частной производной. Е¸ можно истолковать двояко. С одной стороны, ее можно понимать как выделение внутреннего мира персонажа, с другой стороны, — как нахождение состояния системы, предшествующего акту осознания, конечно, при условии, что данное состояние системы было порождено актом осознания персонажа в указанном выше смысле.
Формально операцию дифференцирования можно определить так

(3.7−11)
Если многочлен W1 представим в виде
W1=W0+х (W3)+у ( W4) (3.7−12)
то можно найти вторую производную, т. е. извлечь внутренний мир соответствующего персонажа, лежащий внутри уже извлеченного внутреннего мира:
(3.7−13)
Процедуру дифференцирования можно проводить до тех пор, пока очередная производная не примет значения 0. Рассмотрим ещ¸ один пример. Рассмотрим процессы взаимодействия персонажа Х с персонажем У. Пусть в момент t0 персонаж Х никаких отображений о состояния персонажа У не имеет. Тогда о персонаже У него будет только первоначальное, статическое представление, определяемое рамками функциональных отношений. Изобразим это состояние символом у (W0). Представим теперь, что в момент времени t1 персонаж Х произв¸л осознание персонажа У. Тогда можно записать
W1=(1+х) у (W0).=1 (у (W0)+х (у ( W0))) (3.7−14)
Данная символическая сумма содержит две компоненты: статическое представление персонажа — у (W0) и его образ, отображ¸нный персонажем Х в момент t1. Тогда в момент t2 получим следующий многочлен:
W2=(1+х) W1=(W1+х (W1 ))=1 (у (W0)+х (у (W 0))+х (у (W0)+х (у ( W0))) (3.7−15)
Полагая, что относительно левого индекса будет справедлив закон дистрибутивности, позволяющий раскрыть скобки, получим
W2*=1 (у (W0 )+х (у (W0))+х (х (у ( W0)+х (у (W0)))) (3.7−16)
Если при этом предположить, что в результате репродуцирования уже известного персонажу «текста» он не получает новой информации, то мы получим следующий многочлен:
W2**=1 (у (W0 )+х (у (W0))+х (х (у ( W0)))) (3.7−17)
Последующее сворачивание которого да¸т
W2***=1 (у (W0 )+х (у (W0)+х (у ( W0)))) (3.7−18)
Формально многочлены (3.7−15) — (3.7−18) можно считать, при сделанных предположениях, эквивалентными. Но эти многочлены могут иметь различную интерпретацию. Так, многочлены (3.7−15) — (3.7−16) могут означать тот факт, что персонаж осуществляет упорядоченное накопление отображений о персонаже У. Многочлены (3.7−17) могут означать промежуточный этап формирования структуры. А многочлены вида (3.7−18) могут означать, что персонаж уже произв¸л обобщение своих внутренних образов о персонаже У, произв¸л «сжатие» образов в некоторую качественно новую структуру и готов производишь дальнейшее «исследование» персонажа У, но уже на новой основе. Так, в момент t3 мы получим следующий многочлен:
W3*=w (W2* )=1 (W2*+х (W2 *)) (3.7−19)
Продолжая процесс осознания персонажем Х состояния персонажа У и выписывая многочлены, характеризующие его структурную концепцию в моменты времени t4, t5, t6,…, мы получим
W4*=w (W3* )
W5*=w (W4* ) (3.7−20)
и т. д. Из (3.7−20) следует, что каждый последующий многочлен имеет более сложную структуру и, кроме того,
W1* М W 2* М W3* М W4*М … (3.7−21)
откуда непосредственно видно, что каждый новый член структурного многочлена имеет более сложный уровень организации, чем предшествующие ему. Это очень важное свойство, которое присуще не только концептуальным структурам, но и большинству реальных систем, когда на каждом качественно новом уровне иерархии появляется новая основная функция, отсутствовавшая на предыдущих этапах развития системы данного класса. Если же мы теперь предположим, что в процессе обобщения концептуальной структуры персонаж Х получает все же

новую информацию, которая, например, характеризует количественное развитие структуры, то мы будем получать структурные многочлены вида
W2*=1 (у (W0 )+х (у (W0))+ х (у (W0)+х (х (у ( W0)+)))) (3.7−22)
В случае нескольких персонажей структурный многочлен будет соответственно умножаться на многочлены вида, например 1+У, 1+Z, и т. д. В случае, если процедура осознания производится одновременно несколькими персонажами, например, Х, У, Z, то и структурный многочлен будет соответственно умножаться на многочлен 1+х+у+z.+. Эволюция многочлена Wn при проведении осознаний выразится соотношением
Wn= (1+х+у+…) n(W0) (3.7−23)
Поясним теперь возможный смысл операции вынесения символа персонажа за скобки. Это может означать процесс формирования цельной структуры некоторого образа системы. Отметим, что вынесение символа за скобки можно рассматривать и с позиции «внешнего» исследователя, который с помощью этой операции выделяет внутренние образы персонажа, имеющиеся у него в тот или другой момент времени и, тем самым, получает возможность рассматривать эти внутренние образы во всей их целостности. Следует сказать, что и у персонажа системы могут возникать целостные картины о состоянии системы, но только с его «точки зрения». Именно поэтому внешний исследователь и персонаж могут иметь различные представления о системе, даже в том случае, если их внутренние образы будут описываться одними и теми же концептуальными структурами. Символика лишь регистрирует факт существования подобных отображений у внешнего исследователя и персонажа, но не отражают внутренней сущности их системных представлений. Из этого факта (и повседневный опыт подтверждает это) следует, что для полного представления о системе недостаточно только одного представления об объекте исследования. Задачу возможно решить только при использовании разных системных представлений, связанных друг с другом. Прич¸м элементы, на которые расчленяется система, могут быть различными в разных системных представлениях, т. е. иметь различный семантический смысл, иметь разное синтаксическое и семантическое описание. Объект как бы проектируется на разные оси координат п-мерного пространства, порождая тем самым определ¸нные упорядоченные структуры относительно выбранных «осей координат». Ясно, что в этом случае, даже если эти структуры будут иметь разный семантический смысл, проекции объекта будут связаны между собой, поэтому исследователь имеет возможность анализировать различные представления образа объекта, минуя сам объект. Например, в вычислительной технике используется определ¸нный набор системных представлений объекта: блок-схема, принципиальная схема, монтажная схема и т. д. Такое членение на части в совокупности и да¸т исчерпывающее представление об объекте, хотя при этом оказывается невозможным ответить на самый простой вопрос о том, из каких элементов состоит объект, если не указать, каким системным представлением следует пользоваться. Таким образом, можно сказать, что концептуальные структуры, возникающие у того или иного персонажа в процессе функционирования, есть некоторое системное представление об объекте и его состоянии. Естественно, что эти системные представления могут быть различными у каждого персонажа. Эти системные представления могут пересекаться, а могут и не пересекаться друг с другом. Даже в том случае, когда персонажи будут иметь одну и ту же структуру образов, эти системные представления у них могут быть различными вследствие различных описаний семантики этих образов. Процесс взаимодействия персонажей системы в процессе их функционирования можно представить себе в виде «комнаты смеха», в которой каждый элемент системы (персонаж) представляет собой зеркало и все зеркала расставлены под некоторым углом друг к другу. Представим теперь, что в этой комнате появился какой-либо предмет, движение которого будет причудливо отражаться в зеркалах, а зеркал — друг в друге. Будут появляться искаженные отражения, которые в свою очередь будут отражаться с различными искажениями и т. д. Весь этот сложный поток отражений и будет некоторым аналогом взаимодействия персонажей системы в процессе е¸ функционирования. Каждый персонаж в такой системе будет иметь свою концепцию, которая будет отражаться другим персонажем частично или полностью, с искажением или без искажения, и только внешний исследователь будет отражать целостную картину состояния системы. При этом он будет играть роль наблюдателя, ни во что не вмешивается и его присутствия никто из персонажей не замечает. Нетрудно показать, что совокупность всех подобных отражений персонажами состояния системы также является иерархической системой, в том числе и с точки зрения внешнего персонажа, ибо в этих отражениях будут присутствовать

замкнутые контуры, циклы.
3.8. ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИСТОРИИ ФОРМИРОВАНИЯ МНОГОЧЛЕНА
Алгебраический подход к концептуальным структурам порождает некоторые специфические задачи. Например, возникает вопрос: может ли система, находящаяся в состоянии W1 посредством «срабатывания» некоторого оператора концептуализации перейти в состояние W2. Ответ на вопрос сводится к решению задачи о существовании решения уравнения w (W1)=W2.
Это линейное относительно w уравнение может иметь не единственное решение, а может не иметь решения вообще. Например, уравнение
(1+х) w = 1 + х + х2 + х3
имеет два решения w1=1+x+x2 w2=1+х2, а уравнение (1+х)w=1+х3 не имеет решений.
До сих пор мы предполагали, что персонаж наделен лишь одним оператором концептуализации. Теперь мы откажемся от этого предположения и позволим персонажу иметь набор операторов. В рамках нашего специального построения можно поставить вопрос о восстановлении «истории» формирования определенного состояния W. Для этого необходимо представить W в виде произведения сомножителей
Wn= w n… w3 w2 w1 (W)
Естественно, что в силу неоднозначности разложения мы можем получить не одну, а некоторое множество траектории, т. е. последовательностей, в которых «срабатывали» операторы, порождая это состояние. Особый интерес представляет вопрос о разложении многочленов на неприводимые множители — многочлены. Неприводимыми мы называем многочлены, которые нельзя представить как произведение двух многочленов, каждый из которых отличен от 1. Неприводимыe сомножители можно интерпретировать как «элементарные» акты концептуализации. Заметим, что в построенном исчислении не будет справедлива теорема о единственности разложения на неприводимые множители. Например, многочлен w=1+х+х2 3 представим двумя следующими способами:
w=(1+х)3 = (1+х)(1+х2).
Конечно, подобное «восстановление истории» имеет смысл лишь — в рамках данной модели со всеми принятыми ограничениями, самым существенным из которых является то, что аналогом акта концептуализации выступает некоторый множитель. Изложенный здесь способ «восстановления истории» представляет собой частный и простейший случай, однако он иллюстрирует сущность проблемы. Задача восстановления «истории эволюции» структурных многочленов в определенной мере может быть и упрощена, если учитывать свойства сенсорных оболочек в замкнутых структурах, т. е. в таких структурах вход в систему и выход из нее осуществляется через ее сенсорные подоболочки.
РЕЗЮМЕ
1. Введение понятия персонажа системы, его концепции и операторов концептуализации дают простой и наглядный метод для формального описания процессов эволюции иерархических систем самой различной природы в виде многочленов, которые автор называет концептуальными. Операторы концептуализации, отражающие «внутренний мир» того или иного персонажа, позволяют формализовать процессы последовательного изменения внутренней сущности этих персонажей.
2. Типы многочленов, порождаемые подобными операторами, могут быть различными. Оператор концептуализации, применяемый последовательно к концептуальному многочлену, является инвариантным по отношению к этому многочлену и порождает специальный класс инвариантных концептуальных оболочек и подоболочек, которые, как это будет показано в дальнейшем, имеют важное значение при многоуровневом описании процессов эволюции персонажей иерархических систем.
3. Концептуальные многочлены имеют исключительно важное значение для понимания основ теории инвариантных преобразований собственных иерархических пространств. Так, например, принимая в качестве базисного персонажа системы атом водорода, мы получаем возможность, используя базисные «аксиомы и теоремы», получить концептуального описания подоболочек и оболочек Периодической системы химических

элементов.
4. Структурные многочлены могут быть использованы для качественного структурного описания и других чрезвычайно сложных интегрированных иерархических систем, таких, как социальные системы, или, например, для описания структуры психических переживаний человека [4] и т. д.
Глава 4. ОПИСАНИЕ КОНЦЕПТУАЛЬНЫХ СТРУКТУР.
4.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СВОЙСТВА
Для изображения иерархических структур выше был описан формализм, который мы будем использовать и здесь. Дадим некоторые дополнительные определения, необходимые для дальнейшего описания. Две структуры мы будем считать эквивалентными, если они будут отличаться друг от друга только числом вхождения символа 1. Например, Х1 (У1)=Х (У) Таким образом символ 1 можно вычеркивать из слов. Точнее, символ 1 замещается элементом, стоящим справа от него, а самый правый символ 1 вычеркивается.
Две структуры мы будем называть противоположными относительно друг друга, если они являются эквивалентными по числу входящих символов и отличаются только тем, что эти символы входят в структуры в противоположном порядке. Например, для слова
противоположным словом будем считать
Стрелки «» и «» обозначают соответственно отношения в слове с положительным или отрицательным градиентом сложности структурных отношений.
Условимся рассматривать пока слова, не содержащие символа системы S. Тогда множество слов, составленных из исходных символов одной системы, является сч¸тным. Следовательно, это множество можно перенумеровать. Перенумеруем эти слова в порядке вхождений в них символов элементов X, У, …Теперь можно ввести понятие многочлена. Положим
aк= <0,0,0, …, 1,0,…, 0>
где к-й элемент отличен от нуля и определяет «сложность» отношения субординации для к-го слова (по его местоположению в последовательности элементов). Тогда можно записать
(4.1−1)
где слова аi предполагаются равными нулю при i>n и, следовательно, значения, принимаемые элементами многочлена, начиная с некоторого места, равны нулю, т. е. все последующие слова являются пустыми. Два многочлена считаются равными, если они состоят из одних и тех же слов, и противоположными, если они записаны в противоположном порядке. Например, многочлен, противоположный (4.1−1) будем записывать так:
(4.1−2)
Введем в множество многочленов операцию сложения, определяемую формулой:
(4.1−3)
Эта операция коммутативна, ассоциативна и обладает нейтральным элементом
таким, что
(4.1−4)
Полагая

x0=<1,0,…>
x1=<0,1,0,…>
x2=<0,0,1,0,…> (4.1−5)
xn=<0,0,…, 1>
можно определить многочлен с одной «переменной» х
В общем случае произведение многочленов
(4.1−6)
определим следующими правилами для вычисления коэффициентов произведения многочленов и их упорядоченной записи (рис. 4.1−1).
Рис. 4.1−1
Из таблицы видно, что для вычисления коэффициентов произведения достаточно взять сумму диагональных элементов. Эта сумма характеризуется одним и тем же значением коэффициента и отражает отношения координации между элементами с одним и тем же уровнем иерархии. Подчеркн¸м, что коэффициент аi выражает «сложность» отношений субординации элементов, расположенных на данном уровне. В явном виде эти отношения субординации между элементами многочленов мы будем выделять круглыми скобками, опуская при этом символ операции умножения.
Условимся считать, что для многочленов, отражающих структуру иерархической системы будет справедлив закон дистрибутивности слева для многочленов вида и справа -для многочленов вида . Например,
(4.1−7)
Отметим, что для структурных многочленов важен порядок сомножителей, т. к. умножение многочленов не ассоциативно и не коммутативно, т. е.
но в силу симметрии (4.1−8)
т.е. перестановка сомножителей местами порождает противоположный структурный многочлен. Отметим, что использование круглых скобок и формальное преобразование структурных многочленов позволяет получать большие преимущества при исследовании структуры системы, ибо позволяет формально осуществлять декомпозицию системы. Так, пусть мы имеем многочлен

(4.1−9)
Тогда противоположный структурный многочлен будет иметь вид:
(4.1−10)
Здесь стрелки (символы противоположности многочленов) «» и «» — над символами многочленов дополнительно означают и направление записи многочленов, т. е. определяют нумерацию слева направо или справа налево. Символы суммирования отражают этот факт алгебраически. Записи вида
и
означают, что элементы первого многочлена считаются пронумерованными слева направо, а вторая запись выражает тот факт, что элементы второго многочлена пронумерованы в обратном порядке. Сумма этих двух структурных многочленов определит симметрическую структуру — структурный многочлен вида
(4.1−11)
Подобные структуры мы будем называть замкнутыми. В замкнутых концептуальных структурах отношения субординации расщепляется на два потока. Один поток обслуживает связи сверху _ вниз (директивные), другой снизу _ вверх (исполнительные). Введ¸нный таким образом формализм может служить основой для представления иерархических структур во многих приложениях. Выше мы условились считать, что элементы, расположенные на разных уровнях иерархии и связанные между собой операцией умножения, находятся между собой в отношениях субординации, т. е. между такими элементами существуют отношения подчиненности. Элементы, расположенные на одном и том же уровне иерархии, и связанные операцией сложения, находятся между собой в отношениях координации. Заметим, что в сложных многоуровневых системах на одном и том же уровне иерархии могут находиться и элементы с отношениями субординации. В этом случае данный уровень иерархии «расщепляется» на подуровни, число которых равно арности (мах) отношения субординации между элементами этого уровня.
4.2. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ КОНЦЕПЦИЙ
Введeнный таким образом формализм, позволяет определять структурные связи системы в виде некоторого символического многочлена, который можно представить в виде структурной схемы. Например, многочлены
и (4.2−1)
можно записать в виде
(4.2−2)
где стрелки над символом указывают направления ориентированных связей с низлежащими уровнями иерархии. Тогда ориентированный граф можно представить в виде следующей структуры, в которой можно выделить 4 уровня иерархии.
Многочлены вида (4.2−1), (4.2−2) особенно удобны для представления древовидных структур. Однако в общем случае, за сч¸т введения «избыточных» элементов, любую более сложную структуру можно представить в виде некоторой совокупности древовидных структур с отношениями координации. Например, любую сетевую структуру можно привести к древовидной за сч¸т введения избыточности.
На рис. 4.2−2 показано, как структуру можно представить в виде эквивалентной древовидной структуры. Введение избыточных элементов может служить свидетельством того, что данные избыточные элементы, находящиеся в отношениях координации, интегрированы между собой, между ними имеется дополнительная связь и связанная с этой связью дополнительная функция. Вводя избыточные элементы, древовидную структуру можно изобразить в виде упорядоченной суммы иерархических древовидных подструктур. Число различных способов представления древовидных структур само по себе является доказательством того, насколько эти

структуры важны в повседневной жизни.
Рис. 4.2−1.
Рис. 4.2−2
Рис. 4.2.2 характеризует важнейшие свойства интегрированных друг с другом структур. Разложение такой интегрированной структуры в ряд позволяет выделить составляющие ее подструктуры и определить на каждом уровне иерархии степень полезности для единой структуры каждой ветви (см. 2.2.3 и 4.4). Абсолютная степень полезности будет определяться числом вхождений в единую структуру одноименных ветвей. Вводя на каждом уровне для каждой ветви ее относительный вес, мы получим количественное значение полезности этой ветви на данном уровне иерархии (относительная полезность). Отметим лишь, что всякая классификационная схема принимает в конце концов вид дерева. Определим аддитивную операцию «+" и мультипликативную операцию «*". Будем считать, что если два персонажа Х и У не взаимодействуют между собой, то их концепции связаны между собой аддитивной операцией «+". В противном случае эти концепции связаны мультипликативной операцией «*". В этом случае мы и имеем возможность непосредственно использовать полученные выше многочлены для изображения концептуальных структур. Пусть мы имеем следующий оператор концептуализации .
Тогда многочлен
(4.2−1)
можно изобразить в виде следующей структурной схемы
Рис. 4.2−3
Повторная концептуализация дает многочлен
(4.2−2)
для которого структурная схема будет иметь вид (рис. 4.3−4). Несмотря на более сложную структуру, схема на всех уровнях иерархии содержит в себе одну и ту же базовую структуру

Применяя элементарные преобразования, окончательно получим схему, изображенную на рис. 4.2−5. Особенность этих структурных схем заключается прежде всего в том, что они отражают важное свойство операторов концептуализации, которое заключается в том, что сколько бы раз мы ни производили концептуализаций, внутренняя организация концепции персонажей остается неизменной, инвариантной относительно оператора w, хотя сложность каждого элемента структуры возрастает.
Рис. 4.2−4
Однако возрастание этой сложности происходит таким образом, что каждый элемент структуры содержит в себе одну или несколько более элементарных структурных схем. Происходит расщепление уровней иерархии на подуровни. Подуровни в свою очередь могут иметь еще более тонкую структуру расщепления и т. д.
В результате мы получаем вложенные друг в друга упорядоченные совокупности подструктур. Другими словами, можно сказать, что все подобные подструктуры будут между собой подобны. Анализ схем рис. 4.2−4 и рис. 4.2−5 показывает, что в результате концептуализации происходит перестройка оболочек структурной схемы таким образом, что элементы с одним и тем же числом вхождений символов персонажей, находятся на одном и том же уровне иерархии и объединяются в оболочки.
Рис. 4.2−5

Так для схемы (4.2−4) мы имеем два уровня иерархии, соответственно две оболочки
(4.2−3)
При этом каждая оболочка состоит в свою очередь из подоболочек
(4.2−4)
Будем считать, что если элементы оболочки
(4.2−5)
удовлетворяют условию
(4.2−6)
то мы будем иметь упорядоченную систему подоболочек, вложенных, частично или полностью, друг в друга. Аналогично, если мы имеем концептуальную цепочку, в которой выполняется условие
(4.2−7)
то данная цепочка будет восходящей. При этом начальный элемент цепочки будем называть корнем, конечный - листом. Анализ структурных многочленов и соответствующих структурных схем показывает, что концептуальные структуры данного типа являются древовидными.
4.3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОНЦЕПТУАЛЬНЫХ СТРУКТУР
4.3.1. РАСКРЫТИЕ СКОБОК.
Пусть мы имеем структурный многочлен
Тогда, полагая, что для многочлена справедлив закон дистрибутивности, мы получим
.
4.3.2. ВЫНЕСЕНИЕ СИМВОЛА ПЕРСОНАЖА ЗА СКОБКИ.
Структурная схема для приведенного выше многочлена имеет вид, показанный на рис. 4.3−1. Вынесем за внешние скобки символ персонажа Х. Тогда мы получим многочлен, структурная схема которого будет иметь вид (рис. 4.3−2)
(4.3−1)
Мы получили для данного структурного многочлена компактную форму записи. Дальнейшее «сжатие» структуры в рамках данного представления уже является невозможным.
Рис. 4.3−1 Рис. 4.3−2

Отметим, что символ «1» в структурных многочленах означает формальное объединение частей структуры и означает, что в дальнейшем этот символ может замещаться каким-либо символом персонажа системы.
4.3.3. УМНОЖЕНИЕ СТРУКТУРНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
Если х0W1(х) и х0W2(у) есть структурные многочлены, то
х0W1(х) * х0W2(х)
есть также структурный многочлен. Здесь символ х0 означает корень структурного дерева, вместо которого будет в дальнейшем записан некоторый символ персонажа и, тем самым, будет осуществляться преобразование дерева в некоторое новое поддерево. Умножение многочленов да¸т
х 0W1(х) * х0W2(х) =х0(W1(х)*W 2(х)) (4.3−2)
из которого видно, что структурный многочлен W1(х) занял место переменной х0
Пусть
W1(х) =1+х, а W2(х) =(W1+х (W0))
Тогда
х0(W1(х) * W2(х) )=х0(W1(х) * х0(W10 (W0))) (4.3−3)
Для данного многочлена будет справедлива следующая интерпретация. Сомножители, стоящие в левой части отражают «сжатую» иерархическую структуру многочлена, в которой второй сомножитель является базисным элементом структуры (листом дерева). Количество сомножителей характеризует число уровней иерархии структуры, а структура каждого сомножителя характеризует структуру соответствующего уровня иерархии. Выражение, стоящее в правой части, отражает фактическую структурную сложность каждого элемента на самом элементарном уровне иерархии структуры.
4.3.4. СЛОЖЕНИЕ СТРУКТУРНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
Если х0W1(х) и у0W2(у) -структурные многочлены, то
х0W1(х) + у0W2(у) (4.3−4)
также структурный многочлен, представляющий собой децентрализованную структуру с максимальной сложностью отношений субординации в модулях, е¸ составляющих (W1(х) и W2(у)).
4.3.5. СДВИГ СТРУКТУРНОГО МНОГОЧЛЕНА
Это частный случай умножения структурных многочленов. Если W1(х)=хn -структурный многочлен, а W2(х)= есть также структурный многочлен, то в результате умножения получим
W1(х) * W2(х)= хn(W2(х))
структурный многочлен, сдвинутый на n уровней иерархии вправо (на структурной схеме — вниз), при этом «пустые» уровни иерархии заполняются символом персонажа Х.
Пусть мы имеем многочлен
(4.3−5)
Тогда х2 W1(х) дает
(4.3−6)
т. е. мы получили структуру, сдвинутую на два уровня иерархии вниз.
4.3.6. РАЗВЕРТКА СТРУКТУРНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ.
Это тоже частный случай умножения структурных многочленов вида
(4.3−7)
Структурные схемы этих многочленов имеют вид.

Тогда, выполняя умножение, получим
(4.3−8)
Последняя структурная схема может служить хорошей математической иллюстрацией закономерности преемственности и экспоненциального роста структуры системы в процессе е¸ эволюции, когда на каждом этапе система как бы копирует саму себя и потом добавляет новую уникальную оболочку, в соответствии с рекуррентными правилами формирования того или иного уровня иерархии. Тот факт, что любую структуру можно представить в виде совокупности древовидных структур за счет введения избыточных элементов, означает, что мы имеем дело с многофункциональными элементами, что мы таким образом имеем возможность выделить эти отдельные функции элемента, обособить их в рамках отдельной древовидной структуры, которая будет служить для достижения системой одной из ее функций. Использование структурных многочленов может быть полезно и для других классов структур, а не только древовидных. Для этого можно только ввести некоторые дополнительные операции, или модернизируя операции, введенные выше.
4.3.7. СВЕРТКА СТРУКТУРНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
В результате свертки структурный многочлен преобразуется таким образом, что по своей структуре будет тождественен к исходному концептуальному многочлену. Процесс свертки заключается в том, что происходит преобразование структуры к более простому виду.
Пусть, например, мы имеем следующие структурные многочлены
(4.3.7−1)
Здесь каждый последующий многочлен является сверткой предыдущего, т. е. каждый предыдущий многочлен в таких структурах играет роль элементарного члена структуры (базисный элемент). Используя метод подстановки, все эти многочлены можно развернуть, выражая многочлен Wi через W1.

4.4. О СТРУКТУРНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ
Одним из ярчайших примеров торжества идей законов иерархии может служить эволюция вычислительной техники и, в первую очередь, программного обеспечения компьютеров.
Программное обеспечение компьютеров появилось позднее аппаратного. По мере увеличения сложности аппаратуры возрастали и возможности программного обеспечения. Были созданы ассемблеры, компиляторы, операционные системы и системы управления базами данных. Хотя в основе ряда дисциплин, смежных с вычислительной техникой, например, математической логики, лингвистики, теории автоматов и др., лежит математика, у большинства специалистов до сих пор был и остается подход к разработке программного обеспечения скорее прагматический, нежели теоретический. А между тем эволюция программного обеспечения, эволюция компьютеров, со всей очевидностью свидетельствует о том, что именно в этой сфере наиболее ярко проявляются законы эволюции, законы иерархии. Предшествующее поколение программистов обучалось программированию непосредственно программированием. Программисты мыслили абстрактными категориями (машинными двоичными кодами). Пользователь получал результат, не зная ход (пути) решения задачи. Выход из тупика вначале был найден на пути структурного (модульного) программирования, при котором задача расчленялась на блоки (модули), из которых потом складывалась та или иная программа. Формировались библиотеки стандартных программ, из которых, как из кирпичиков, строились другие программы. Здесь уже начал возникать совершенно новый механизм (в программировании, но не в математике и др. науках), при котором на некоторый стандартный набор кирпичиков отражалось бесконечное число пространственных «образов». Последовательное прохождение дерева конкретного «образа» программы, с использованием некоторого набора конкретных базисных элементов, приводило к получению конкретного результата. В программировании стал развиваться естественный механизм, который по своим возможностям можно сравнить, пожалуй, только с мозгом человека. Структурное программирование явилось прообразом «образного мышления» компьютера, которое постоянно совершенствуется. При этом одни и те же кирпичики могли использоваться многократно, не только в рамках одного образа, но и при создании других компьютерных образов. Сами же кирпичики являлись листьями конкретных «образов». При этом, чем сложнее сеть деревьев с образами, тем сильнее будут возможности находить и определять «аналогичные» образы, тем больше у компьютера будет «интеллектуальных» возможностей. Дальнейшая эволюция подтвердила стратегическую линию на развитие этих возможностей. В качестве кирпичиков стали использовать сами данные. При этом чем больше накапливалось данных, тем острее становилась проблема управления этими данными. Поэтому возникли хранилища данных, с механизмами их контроля и управления, которые стали называть базами данных. Программное обеспечение и базы данных все более и более стали напоминать мозг человека. Действительно, здесь есть полная аналогия. В одном «полушарии» компьютера хранятся листья образов (программы и данные), а в другом _ сами образы, которые представляют собой многоуровневые цепочки произвольной длины, имеющие многочисленные зацикливания. При прохождении дерева образа в строго определенном порядке возникает «пространственный» объект-оригинал образа. Этот процесс может быть многоуровневым, многослойным. Составляя цепочки из кирпичиков, каждый из которых будет деревом образов, мы получим более сложное дерево, получим более сложный образ и т. д. Эта двойственная совокупность цепочек и кирпичиков будет составлять первый уровень иерархии системы, первый слой ее оболочек. Если теперь в качестве кирпичиков использовать образную часть оболочки и начать формировать из этого набора различные образы, то мы получим следующий двойственный слой системы и т. д. В принципе, именно по такому образу и подобию функционируют все иерархические системы. Поэтому можно сказать, что программирование является процессом спектрального разложения образа объекта на две составляющие, из которых первая связывает в строго определенном порядке все элементарные кирпичики образа, а сами кирпичики размещает во втором «полушарии». Можно сказать, что одно полушарие компьютера отвечает за образное мышление, другое _ за абстрактное, так как содержит только первичные данные. Это полушарие составляет самый низкий уровень «интеллекта» компьютера. Полушарие, отвечающее за образное мышление, естественно, составляет более высокий уровень интеллекта компьютера.
Таким образом, прогресс в вычислительной технике обязан, прежде всего, тому, что человек, не зная об этом, скопировал у природы самый оптимальный способ организации иерархических систем.


Во-первых, это увязывание всех элементов в единую целостную многоуровневую систему.
Во-вторых, это последовательный, строго эволюционный характер создания все более сложных иерархических систем.
В-третьих, это двойственный характер всех программных оболочек и подоболочек, их ограниченность и замкнутость, наличие прямых и обратных связей, и т. д. и т. п.
В-четвертых, интеграционный характер совершенствования баз данных, в результате которого и формируется искусственный интеллект компьютера. Процесс создания искусственного интеллекта можно пояснить следующим образом. В процессе интеграции иерархических структур, характеризующих конкретное решение какой-либо задачи (создание проекта, поиска информации, анализ структур и т. д.) эти частные структурные поддеревья накладываются друг на друга, формируя единую структуру, в которой каждая ветвь на каждом уровне иерархии единой структуры может иметь разное число вхождений в единую структуру и тем самым создавая естественный механизм нормирования этих ветвей по степени их «полезности» в единой структуре. Поэтому у Природы (у компьютера) для каждого уровня иерархии единой структуры имеется естественный механизм формального определения полезности (веса) каждой структурной ветви в относительных единицах. В результате процессов интеграции структурных поддеревьев в единое структурное дерево, ранжирования ветвей единой структуры по степени их полезности формируется такое понятие, как интуиция компьютера, интуиция искусственного Разума. Действительно, в этом случае при решении любой интеллектуальной задачи достаточно на каждом уровне иерархии выбирать вершину (ветвь), имеющую максимальный уровень полезности в структуре (задача максимизации полезности при определенном наборе двойственных ограничений целевой функции — типичная задача линейного программирования). Дальнейшая эволюция вычислительной техники будет связана с созданием принципиально нового компьютера, который будет способен копировать, воспроизводить и «мыслить» пространственными образами, точно так, как это делает человек. В принципе, эти успехи человека не являются новыми для программирования. Эти идеи изначально составляют основу лингвистики и служат для описания синтаксиса и семантики как естественных языков, так и языков, созданных исключительно для нужд программирования.
РЕЗЮМЕ
1. Структурные многочлены показывают их важнейшие свойства — свойства инвариантности, свойства симметрии преобразований, которые сохраняются даже при многократном применении одних и тех же преобразований, в результате которых структура многочленов остается неизменной. В самом общем случае эта инвариантность структурных многочленов справедлива для всех иерархических систем, независимо от их природы и свидетельствует о том, что концептуальные многочлены с такими свойствами могут играть роль всеобщего инварианта. И эта симметрия преобразований свидетельствует о некоторых фундаментальных свойствах иерархических систем любой природы. Поэтому далее этим фундаментальным свойствам иерархических систем, отражающим симметрию преобразования между уровнями иерархии в сложных системах, будет уделяться самое пристальное внимание. Операции над структурными многочленами вскрывают их иерархический смысл. Оказывается, что каждый структурный сомножитель можно отождествить с определенным уровнем иерархии структуры, в которой структурная сложность каждого уровня иерархии определяется соответствующим структурным сомножителем.
2. Вышеизложенные идеи о структурных многочленах могут иметь самостоятельное прикладное значение и могут быть применены для структурного описания чрезвычайно сложных интегрированных иерархических систем с использованием некоторых наиболее известных приемов, которые широко распространены в математике и могут быть полезны для работы с концептуальными многочленами.
3. Вводя те или иные операции, мы можем получать самые различные классы структурных многочленов для описания концептуальных структур. Рассмотренные структурные схемы концепций наглядно показывают сущность последовательного применения операторов концептуализации к исходному концептуальному многочлену. Структурные схемы раскрывают вложенность концептуальных оболочек и подоболочек друг в друга, их способность интегрироваться друг с другом, их способность к формированию двойственных и

мультидвойственных отношений. Свертка и развертка структурных многочленов может быть с успехом использована при решении задач создания искусственного интеллекта.
4. Структурные многочлены и схемы могут быть использованы и при анализе оболочек и подоболочек Периодической системы химических элементов, ядерных оболочек и подоболочек, при анализе классификаций элементарных частиц, а также других научных приложениях.
Глава 5. СЛОЖНОСТЬ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СТРУКТУР
5.1. ОПИСАНИЕ ПРАВИЛ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ И СТРУКТУРНОЙ СЛОЖНОСТИ
Правила описания отношений преемственности и структурной сложности могут быть заданы разными способами. Рассмотрим некоторые из этих способов.
5.1.1. ПРОИЗВОДЯÙИЕ ФУНКЦИИ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СТРУКТУР.
К задаче описания правил преемственности структурных многочленов можно подойти, используя метод производящих функций. Действительно, с учетом вложенности внутренних миров персонажей друг в друга, мы в любом случае будем иметь систему вложенных друг в друга оболочек и подоболочек иерархической системы, образованных операторами концептуализации. Из математики известно, что всякий раз, когда нам нужно получить информацию о последовательности чисел
<an> = < a0, a1, a2, a3, …> (5.1−1)
мы можем образовать бесконечную сумму по степеням параметра «х»
(5.1−2)
т. е. производящую функцию для числовой последовательности (5.1−1). Если эта последовательность определена интуитивно, т. е. если ап определяется по а, а, а, то это дает важные преимущества при исследовании. Многие поколения математиков в своих исследованиях использовали производящие функции. Важное значение при использовании производящих функций имеет вопрос о сходимости бесконечной суммы (5.1−2). Однако, с другой стороны, работая с производящими функциями, часто можно не беспокоиться о сходимости ряда, поскольку мы лишь исследуем возможные подходы к решению некоторой задачи. Когда мы найдем решение каким-либо способом, как бы не строг он ни был, можно всегда независимым способом убедиться в верности этого решения. Производящие функции очень широко используются в математике, т. к. являются мощным оружием при решении практических задач, связанных, например, с перечислением, распределением и разбиением множеств объектов различной природы. Отметим, что в некоторых разделах математики, например, в комбинаторике, переменная х никак не определена и считается просто абстрактным символом, роль которого сводится к тому, чтобы различать элементы числовых последовательностей. При этом различные преобразования таких последовательностей заменяются соответствующими операциями над производящими функциями. Действительно, в случае, если процессы осознания осуществляются с помощью одного и того же оператора осознания w=1+х, то, например, структурный многочлен вида
Wn = wп(W)= (1+x)п (W)
где п-число осознаний
будет порождать нужную нам последовательность коэффициентов
<an>= <a0, a1, a2, a3, …>
Таким образом, мы получили первое представление о тех алгоритмах, по которым Природа может производить осознание самой себя и осуществлять синтез новых, более сложных иерархических систем.
5.1.2. БИНОМИАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Правила задания структурной сложности между элементами иерархических систем и подсистем могут быть заданы методами перебора различных возможных значений, т. е. числом сочетаний из m элементов по n, которое

обозначается через
(5.1−2)
Величину называют биномиальными коэффициентами.
Соотношения (5.1−2) можно использовать для определения даже в том случае, если n не является целым числом (но для целых m). В качестве частных случаев справедливы
Существуют буквально тысячи тождеств, включающих в себя биномиальные коэффициенты. Таких соотношений настолько много, что каждое новое тождество уже никого не волнует, разве что самого автора. Все это говорит об их чрезвычайно широкой области применения. Из всех свойств биномиальных коэффициентов наиболее важное значение имеет биномиальная теорема
(5.1−3)
В соотношении (5.1−3) на индекс к не наложено никаких ограничений, т. к. при к<r соответствующие члены равны нулю. Биномиальная теорема утверждает, что соотношение (5.1−3) справедливо для всех r, если
Частный случай, когда у=1 имеет большое значение, поэтому отметим его специально
(5.1−4)
Полагая r =0,1,2, … мы получим последовательность биномиальных рядов, которая носит специальное название_треугольник Паскаля. Наиболее важное свойство биномиальных коэффициентов заключается в их удивительной симметричности. Действительно, записывая треугольник Паскаля в виде символической и числовой матрицы, мы будем иметь матрицу (5.1−5).

или
(5.1−5) Из матриц видно, что их элементы относительно главной диагонали образуют симметрические ряды — арифметический треугольник. Фундаментальный характер биномиальных коэффициентов, их повсеместное применение в различных разделах математики и других приложениях ни у кого не вызывает сомнения. Можно уверенно сказать, что между биномом Ньютона (и биномиальными коэффициентами) и законами симметрии существует тесная связь, что бином Ньютона и биномиальные коэффициенты отражают в себе самую фундаментальную закономерность природы — закономерность двойственности.
5.1.3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Арифметический ряд порядка к _ это последовательность значений многочлена степени
Р (х) = а0 + а1 х + а2 х2 + … + ак хк (5.1−7)
принимаемых им при последовательных целых, не отрицательных значениях переменных х (х=0,1,2, …). Если составить ряд из разностей соседних членов арифметического ряда, затем для полученной последовательности разностей образовать их разности (вторые разности), для вторых разностей образовать третьи разности и т. д., то на к-м этапе окажется, что все к-ые разности равны между собой. Обратно, если для некоторой последовательности чисел ее к-ые разности равны между собой, т о эта последовательность есть арифметический ряд порядка к. Пользуясь этим свойством, можно строить арифметические ряды различных порядков, отправляясь от их разностей. Например, последовательность 1,1,1, … можно рассматривать как первые разности последовательности натуральных чисел N
1,2,3,4, … (5.1−8)
как вторые разности последовательности треугольных чисел
1,3,6,10,… (5.1−9)
как третьи разности последовательности тетраэдрических чисел
1,4,10,20,… (5.1−10)
Название этих чисел объясняется тем, что треугольные числа выражают число шаров, уложенных в виде треугольника, а тетраэдрические _ в виде тетраэдра (пирамиды).
Рис 5.1−1

Треугольные числа выражаются формулой
(5.1−11)
а тетраэдрические — формулой
(5.1−12)
Обобщением треугольных чисел являются к-угольные, или фигурные числа, имеющие вид
(5.1−13)
при к =3 получаются треугольные числа,
при к=4 _ квадратные числа,
при к= 5 _ пентагональные числа, и т. д.
Название этих чисел выражают число шаров, расположенных в виде квадрата или пятиугольника.
Однако арифметический треугольник можно представить и в более общем виде
Р (х) = (1-х)-n (5.1−14)
При n=1 мы получим последовательность единиц 1, 1, 1, … При n=2 получим последовательность натуральных чисел, при n=3 — последовательность треугольных чисел (3), при n=4 _ последовательность тетраэдрических чисел и т. д. Рассматривая выражение (5.1−14) как бином Ньютона с отрицательным показателем _ n, формально записываем
(5.1−15)
Отсюда также сразу следует формальное соотношение
Отметим, что с помощью соотношения
(5.1−16)
можно построить обобщенный арифметический треугольник. Заметим, что треугольник Паскаля можно получить и с помощью рекуррентной формулы
(5.1−17)
Тогда смысл формулы (5.1−16) заключается в том, что при разложении ряда (5.1−16) по степеням х коэффициенты при хr выражают число способов получить сумму r, складывая n слагаемых, каждое из которых равно одному из чисел (5.1−17). Вообще (r+1) _ e число в (n+1) — й строке равно - числу кортежей длины n с суммой координат r. При m=2 получается таблица биномиальных коэффициентов
(5.1−18)
При m=3 _ таблица триномиальных коэффициентов
(5.1−19)
и т. д. В обобщенном арифметическом треугольнике его элементы при m=2к (четное) располагаются так, что числа предшествующей строки находятся над промежутками между числами следующей строки. При этом каждое число равно сумме к чисел предыдущей строки, находящейся слева от него, и к чисел, находящихся

справа. Если же m=2к+1 (нечетное), то числа пишутся друг над другом, а каждое число равно сумме находящихся над ним к чисел, расположенных в предыдущей строке слева от него, и к чисел, расположенных в той же строке справа от него. В обеих случаях сумма располагается симметрично относительно слагаемых, а строки m- треугольника образуют правильные симметрические ряды. Следует отметить, что если слева или справа от искомого числа в предыдущей строке меньше чисел, чем нужно для образования суммы, то недостающие слагаемые полагаются равными нулю. Данные последовательности арифметических рядов имеют много замечательных особенностей. Главная из этих особенностей заключается в том, что все числа этих рядов являются биномиальными коэффициентами и, кроме того, процесс получения арифметических рядов по сути дела является операцией разворачивания ряда, образованного разностями исходной числовой последовательности 1, 1, 1, 1, …
5.2. ПОКАЗАТЕЛИ СЛОЖНОСТИ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СТРУКТУР.
Под термином сложность иерархической структуры мы будем понимать характеристику или совокупность характеристик, используемых в качестве меры для сравнения одних иерархических структур с другими. В общем случае эта мера представляет собой диалектическое единство качества и количества. Следовательно, сложность иерархической структуры можно выразить только посредством некоторого множества показателей сложности W. В соответствии с определением меры сложности структуры множество W разбивается на два подмножества:
Wr-множество количественных показателей сложности;
Wk-множество качественных показателей сложности;
Это диалектическое единство качества и количества с одной стороны, и действительная сложность структур с другой стороны, обусловливают многозначность отображения множества W в себя. Нахождение этого отображения (качественных и количественных связей между показателями сложности) составляет трудную проблему. Для иерархических структур можно в общем случае выделить некоторые наиболее общие, наиболее важные показатели, которые характеризуют структурные, качественные и количественные связи между элементами, модулями. Отметим, прежде всего, что структура характеризуется составом и внутренней организацией (собственно структурой). В соответствии с этим можно различать количественную и качественную меру сложности структуры.
Количественную меру сложности будем определять е¸ составом, т. е. числом структурных единиц (элементов или модулей), принадлежащих заданному множеству элементов (модулей), входящих в состав структуры. Под качественной мерой сложности мы будем понимать собственно структурную сложность, учитывающую уровень декомпозиции системы (структуры), уровень и число уровней иерархии и т. д. Другими словами, понятие качественной сложности структуры является понятием относительным и определяется рассматриваемым уровнем иерархии модуля (элемента) и его рангом. Во многих случаях это понятие может включать в себя не только синтаксическую часть описания, характеризующую чисто структурные свойства, но и смысловую, семантическую часть описания.
Вначале ограничимся только сравнительным определением этого термина. Будем говорить, что при заданном множестве элементов (модулей) и двух системах правил идентификации этих элементов, таких, что
gi+1=gi(mod R1) gi+1=gi(mod R2) (5.2−1)
Качественная «сложность» структур G (R1), регулярных в смысле R1— больше качественной сложности структур G (R2), регулярных в смысле R2, если
G (R1) Й G (R2)
Две структуры будут считаться эквивалентными только в случае, если и их составы, и их структуры совпадают, т. е. они имеют одинаковую количественную и качественную сложность. Другими словами, структурная сложность определяется отношениями сравнимости элементов, модулей структуры. Заметим, что структура каждой системы характеризуется ее мультидвойственным спектром и может быть выражена числом в соответствующей иерархической системе счисления, которое может быть использовано для отношений сравнимости между элементами системы и системами. Мера сложности является той характеристикой элемента,

модуля, с помощью которой устанавливаются эти отношения сравнимости между элементами (модулями) структуры. При этом качественная сложность модуля проявляется в его внутренней организации, которая обладает определ¸нными свойствами. Именно эта совокупность всех свойств модуля, каждое из которых характеризует модуль с какой-то одной стороны, и представляет в совокупности качество этого модуля. С другой стороны, кроме определ¸нного качества, характеризующего модуль в целом, последний обладает и количественной характеристикой. В отличие от качества, количество характеризует интенсивность присущих модулю свойств и выражается числом. Это диалектическое единство качества и количества и образует меру сложности элемента или модуля. Мера сложности — это своего рода граница, рамки, в которых элемент (модуль) оста¸тся самим собой. Изменение этой меры, этого определ¸нного сочетания количественной и качественных сторон, приводит к изменению элемента или модуля, к изменению его сложности, к изменению его места, функций в структуре и, следовательно, к превращению его в другой элемент или модуль. Следует отметить, что между количественной мерой сложности и качественной существуют и серь¸зные отличия. Так, изменение качества (изменение структурных отношений между элементами и модулями структуры) приводит к коренному изменению элемента (модуля) и превращению его в другой модуль. Изменение же количества, в известных пределах, не приводит к заметному изменению качества элемента (модуля), т. к. существующие связи с введением дополнительных элементов изменяются незначительно. Количественная мера сложности элемента или модуля оценивается е¸ составом, т. е. числом структурных единиц, объединенных в уровни иерархии и принадлежащих заданному множеству элементов (модулей). Количественный состав иерархической структуры можно оценить следующим образом:
i, (5.2−2)
где i — целые числа, характеризующие уровень иерархии элементов;
gn— целые числа, характеризующие количественный состав ее n — го уровня иерархии.
Выражение (5.2−2) будем называть спектром 1-го ранга.
Если же структура имеет более сложный спектр, в котором в качестве базисного элемента используется элемент, имеющий спектр 1-го ранга, то мы получим структуру со спектром 2-го ранга
(5.2−3)
где i _ число уровней иерархии первой оболочки структуры,
j _ число уровней иерархии второй оболочки структуры.
Здесь уже каждый уровень иерархии «расщепляется» на подуровни. Аналогично, в спектре 3-го ранга будет иметь место расщепление подуровней иерархии, т. е. мы получим ещ¸ более «тонкий» спектр расщепления структуры:
, (5.2−4)
Из последнего выражения следует, что в общем случае, осуществляя декомпозицию системы, спектр более высокого ранга можно выразить через спектры более низкого ранга, в конечном итоге _ через спектр 1-го ранга. Это значит, что при оценке сложности системы мы должны учитывать уровень е¸ декомпозиции. Особенно важно это при сравнении сложности двух или более структур на предмет их эквивалентности. При таком подходе для описания одной и той же системы мы будем иметь некоторое множество описаний, имеющих различную степень детализации (декомпозиции). Кроме того, даже в случае одного и того же уровня декомпозиции рассматриваемых модулей существует проблема определения, являются ли две сравниваемые структуры эквивалентными. Дело в том, что для произвольных структур все известные алгоритмы «сравнимости», гарантирующие однозначную оценку, являются экспоненциальными. Фактически для структур, имеющих небольшое число уровней иерархии, эту задачу решить нелегко. Перед лицом этого комбинаторного взрыва исследователи часто отказываются от поиска эффективного алгоритма сравнения и взамен этого строят простые процедуры, от которых ожидается хорошая работа в большинстве случаев.

Инвариантом структуры называют параметр, имеющий одно и тоже значение для сравниваемых структур. Среди самых очевидных можно назвать: число элементов, число связей, число модулей соответствующего ранга, число уровней иерархии, уровень декомпозиции и т. д. При сравнении двух структур, как только обнаруживается, что два значения одного и того же параметра отличаются друг друга, то приходят к заключению, что данные структуры не эквивалентны. Упорядочивая подобные параметры по их сложности и значимости, мы тем самым определяем код, по которому и сравниваем две структуры. В нашем случае таким кодом может служить спектр соответствующего ранга, который фактически является числом, дающего относительную оценку сложности структуры и выраженным в некоторой позиционной иерархической системе счисления. В этом случае при оценке эквивалентности структур мы можем говорить, что две структуры эквивалентны друг с другом с точностью до n — го уровня иерархии (до n — го уровня декомпозиции). Подобный подход к оценке сложности структур по их спектру соответствующего ранга позволяет определять сложность рассматриваемых структур по существу, т. е. с требуемой точностью. При этом синтаксическая часть описания системы является описанием структуры системы и ее состава, а семантическая часть описания является описанием ее функциональной, смысловой структуры (дерева функций). Структура синтаксической и семантической части описания могут не совпадать, но могут и полностью накладываться друг на друга. В последнем случае можно говорить о более целостной структуре системы. В пределах одной и той же структуры можно ввести дополнительные показатели оценки количественной и качественной сложности элементов и модулей. Эти показатели, в силу иерархичности строения спектра структуры, также будут относительными. Одним из таких показателей количественной оценки может служить показатель эволюционности структуры, который можно определить как
(5.2−5)
Этот показатель может использоваться для сравнительной оценки элементов и модулей, расположенных на одном и том же уровне иерархии системы и находящихся между собой в отношениях координации. Аналогично можно определить показатель эволюционности для элементов и модулей, находящихся на разных уровнях иерархии системы:
(5.2−6)
Этот показатель может использоваться, для модулей (элементов) с отношениями субординации. Определим теперь общесистемные показатели сложности иерархических структур. Из определения иерархической структуры следует, что все эти структуры характеризуются многоуровневостью. В соответствии с этим определением введем понятие максимально допустимый уровень иерархии n. Тогда текущий уровень иерархии в такой структуре будет находиться в пределах от 1 до n.
Следующий показатель будет характеризовать, в общем случае двойственность целевой функции системы (и ее структуры) и также будет связан с уровнями иерархии. Если этот показатель связать с типом структуры, то его можно обозначить следующим образом
(5.2−7)
где значение ms= +1 будет, например, характеризовать связи по управлению (прямые связи), а значение ms= - 1 будет соответственно характеризовать связи по исполнению (обратные связи). Значение будет характеризовать целостность всей структуры.
Введем еще один комплексно-сопряженный показатель двойственности отношений субординации и координации иерархической структуры
(5.2−8)
 — характеризует прямые связи в двойственно сопряженной структуре,

— характеризует обратные связи в двойственно-сопряженной структуре,
-характеризуют целостность двойственно-сопряженной структуры. Обозначая через совокупность всех подоболочек с отношениями субординации, входящих в состав оболочки n-го уровня иерархии, определим их состав следующим образом
(5.2−9)
где n-определяет уровень иерархии оболочки (и число ее подоболочек),
 — определяет количественный состав подоболочек j-го уровня иерархии.
Если связать, например, с отношениями субординации последовательное соединение элементов, а с отношениями координации — их параллельное соединение, то совокупность всех оболочек (с отношениями субординации и координации) можно записать в следующем виде
(5.2−10)
При мы будем иметь структуру, характеризующую отношения субординации,
при мы получим двойственную структуру, характеризующую обратные связи системы,
при мы получим целостную структуру, в которой между одноименными двойственными подоболочками существуют отношения координации.
Аналогично, для комплексно-сопряженной структуры мы получим
(5.2−11)
При мы будем иметь структуру, характеризующую отношения субординации,
при мы получим двойственную структуру, характеризующую обратные связи,
при мы получим целостную структуру, в которой между одноименными двойственными подоболочками существуют отношения координации. Следует отметить, что между двойственными структурами также существует единство. Если отношения между двойственными элементами соответствующих двойственных структур отождествить с понятием «сильное взаимодействие», то соответствующие отношения между двойственно-сопряженными элементами можно назвать «слабым взаимодействием».
Двойственно — сопряженные отношения можно записать в следующем виде
Тогда комплексный показатель эволюционности, с учетом двойственности иерархических структур и их комплексного сопряжения, можно записать в следующем виде
(5.2−12)
Данное выражение является интегральной характеристикой количественной и качественной сложности иерархических структур определенного класса. Используя определенные таким образом показатели, приведем следующий пример. Пусть мы имеем структуру, для которой матрица- строка имеет вид
(5.2−13)
Тогда количественная и качественная сложность структуры будет характеризоваться рядом
(5.2−14)
Из этой матрицы видно, что в иерархической структуре имеется 4 уровня иерархии, что самый первый подуровень

иерархии характеризуется количественным составом <1>, а самый последний <1,3,5,7>. Эволюционный показатель сложности структуры с учетом двойственности будет иметь вид (при )
Тогда для эволюционного показателя комплексно-сопряженной структуры получим
(при )
Общий показатель эволюционности будет равен
(5.2−15)
Именно такую интегральную характеристику количественной и качественной сложности имеет Периодическая система химических элементов. Для этой структуры ее отношения, связанные с показателем можно назвать «сильными», а взаимодействия, связанные с отношениями между двойственно-сопряженными структурами — слабыми. Применительно к атомам химических элементов к такому типу взаимодействия можно отнести двойственные отношения между ядерными и электронными подоболочками и оболочками .
5.3. ИНФОРМАЦИОННЫЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ СЛОЖНОСТИ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Рассмотрим, какие возможности и способы исследования представляет информационный подход [1] к анализу иерархических структур. Введем для этого ряд дополнительных новых понятий и определений. Сложность системы из J одинаковых независимых элементов, т. е. таких, состояния каждого из которых не зависят от состояний других элементов, характеризуется числом возможных состояний системы как целого, которое в данном случае, очевидно, составляет К j , где К _ число равновероятных состояний одного элемента. Однако данная оценка сложности становится неудобной, как только речь пойдет о системах с не равновероятными состояниями. Поэтому более удобной оказывается оценка сложности, которая получается из вышеприведенной посредством логарифмирования:
С=log К j = J log К = - J log Pk (5.3−1)
где Рк = 1/К _ вероятность к — го состояния элемента.
Обобщая выражение (5.3−1) на случай применения элементов с не равновероятными состояниями, получаем:
(5.3−2)
где Н _ энтропия элемента, по Шеннону, отражающая его сущность в системе.
Наконец, в общем случае для применения различных элементов
(5.3−3)
где m — число состояний системы, как целого, Рj -вероятность j-го состояния системы.
В дальнейшем полученную оценку С будем именовать содержанием системы, Нi _ сущностью элемента, а J _ информацией. Из выражения (5.3−1) следует, поскольку в Н = log К минимальное отличное от нуля значение Н соответствует числу К состояний элемента, равному двум, то это значение Н целесообразно принять в качестве

единицы измерения («кванта») сущности. Тогда основание логарифма придется принять равным двум, чтобы обеспечить log 2 =1. Эта единица измерения сущности называется бит. Итак
1 бит = log 2 2.
Нетрудно заключить, что не только сущность Н, но и информация J измеряется в битах, поскольку всегда справедливо тождество
J = log 2 2 J = J log 2 2 = J бит.
Тогда содержание системы согласно должно измеряться в бит2.
Таким образом, согласно содержание системы из трех элементов с двумя равновероятными состояниями у каждого составляет
С1 =3 log 2 = 3 бит2
(здесь и далее основание логарифма 2 будем опускать). Содержание элемента с восемью состояниями также составляет
С21=1 log 8 =3 бит2,
а содержание системы из двух независимых элементов с тремя состояниями несколько больше и составляет
С3= 2 log 3 =3,2 бит2.
Практический интерес представляет определение системы с максимальной сущностью элементов, т. е. с максимальным содержанием, приходящимся на элемент системы. Ограничимся пока рассмотрением только таких систем, в которых число состояний системы равно числу элементов, из которых она состоит, т. е. равно информации J. В классе таких систем имеем согласно (2)
Нк= log J./ J.
Максимум сущности элемента соответствует
(5.3−4)
Откуда следует J =e и Нк мах= 0,535 бит
Таким образом, максимальной сущностью элементов в классе рассматриваемых систем обладала бы система с числом элементов, равным числу Эйлера, ближайшим целым к которому является число 3, чем, вероятно, объясняется тяготение человека ко всякого рода триадам и троицам. При этом, хотя число 2 дальше от числа Эйлера, чем число 3, тем не менее для системы из двух элементов Нк = 0,5 бит, т. е. мало чем отличается от сущности элементов в трехэлементной системе, где Нк=0,53 бит. Выше мы рассматривали только так называемое системное содержание, которому в (5.3−3) отвечает Рj, представляющее собой совместную вероятность соответствующих состояний элементов системы, т. е. произведение условных вероятностей тех или иных состояний различных элементов. Между тем, помимо системного содержания Сс, можно выделить еще собственное содержание С0 системы (которому в (5.3−3) соответствует Рj, представляющее собой априорную совместную вероятность отдельных состояний различных элементов системы, т. е. произведение вероятностей отдельных априорных состояний системы, вне связи их между собой, и взаимное содержание Свз системы элементов, представляющее собой разность системного и собственного содержания.
Свз = Сс _ С0 (5.3−5)
В качестве примера рассмотрим 3-х элементную систему с тремя равновероятными состояниями (Рj= 1/3), имеющую максимально допустимую сущность дискретных элементов. Для этой системы согласно (3) системное содержание составляет
Сс=log 3 = 1,6 бит2
При этом каждый из элементов системы может, вообще говоря, иметь сколько угодно состояний, лишь бы эти состояния были так сблокированы, что в совокупности обеспечивали всего три состояния системы как целого. Если же система состоит из 2-х позиционных элементов, в каждом из которых оба состояния равновероятны, то их априорная совместная вероятность составит Рj=(0,5)3, чему согласно (5.3−3) соответствует собственное содержание системы
С0=log 8 = 3 бит2

Таким образом, взаимное содержание согласно (4) составит
Свз= - 1,4 бит2
Интересно отметить, что собственное содержание С0 такой оптимальной по сущности системы, характерной для нервной системы человека, соответствует равновероятному выбору из восьми, что подтверждает гипотезу Миллера [102], согласно которой оперативная память человека способна оперировать в среднем только с семью объектами. Учитывая общность этого явления с закономерностью, характеризующую свойства и симметрию иерархических пространств, можно сказать, что данная закономерность распространяется и на чисто человеческие системы управления, а одной из причин структуризации вообще являются ограниченные возможности элементов систем по тому или иному критерию, или по их совокупности. Рассмотренный информационных подход к анализу сложности структуры материальных объектов применим к иерархическим системам любой природы.
При этом первый вопрос, который необходимо решить, это вопрос о том, составляет ли изучаемая совокупность элементов целое, т. е. является ли она действительно системой или только создает обманчивую видимость системы. Решить вопрос о целостности системы можно, исследуя содержание системы. При этом, если система, помимо собственного содержания, обладает еще и взаимным содержанием, то она имеет свойство целостности. Взаимное содержание проще всего определить согласно (5.3−5) как разность системного и собственного содержания системы.
Следует обратить внимание, что из (5.3−3), если вести суммирование по элементарным носителям информации, каждый из которых содержит 1 бит информации, следует, что системное содержание численно равно системной сущности, а собственное содержание численно равно сумме сущностей отдельно взятых элементов. Рассмотрим следующие схемы (рис. 5.3−1):
Схема а), имеющая четыре равновероятные состояния, обладает сущностью
Нс= - log 0,25
т. е. системным содержанием С0= 2 бит2.
В то же время схема б), имеющая всего 2 равновероятных состояния, обладает сущностью Нс= - log 0,5 и системным содержанием Сс= 1 бит2. В свою очередь, схема в) имеет только одно состояние, т. е. ее системное содержание равно нулю.
Рис. 5.3−1
Все эти схемы состоят из двух элементов, собственное содержание которых при равновероятных состояниях составляет, согласно (5.3−1) С0= 2 бит2. Таким образом, для схемы а) взаимное содержание элементов, согласно (5.3−4) равно нулю и она не обладает свойством целостности, для схемы б) взаимное содержание элементов составляет Свз = - 1 бит2, а для схемы в) С вз = - С0 = - 2 бит2 и, следовательно, эти схемы обладают свойством целостности. Оценка содержания частей и целого позволяет сделать вывод, что сутью всякого устойчивого объединения является уменьшение содержания целого по сравнению с собственным содержанием частей за счет установления их взаимосвязанности, т. е. за счет появления взаимного содержания частей, являющегося смыслом целого. Например, в ядерной физике появление взаимного содержания соответствует явлению дефекта массы. Другой пример. Если мы имеем набор из нескольких букв, который не представляет для читателя понятного целого, то содержание этого сочетания равно сумме содержаний отдельных букв, поскольку мы здесь имеем дело с последовательным соединением букв, при котором их сущности Н суммируются. Таким образом, в этом случае

С0 = J1 H,
где J1 -число букв в наборе.
Если же упомянутый набор букв составляет понятное целое, то буквы в наборе становятся взаимосвязанными (избыточными), что позволяет нам прибегать к сокращениям понятных слов. Если мы используем безубыточное сокращение слова, т. е. такое слово, которое уже нельзя сократить без ущерба для понимания, содержащее только J1 < J2 , то
Сс =J2 H < С0
Аналогичная картина наблюдается при объединении слов во фразы. Это уже другой, более высокий, уровень иерархии. При этом системное содержание всей фразы, хотя и меньше суммарного содержания слов, но не может быть меньше собственного содержания одного слова. Этот предельный случай имеет, например, место во фразе «масло масляное», где содержание всей фразы равно содержанию одного слова. Если же слова во фразе вступают в противоречие, то системное содержание неустойчивой фразы должно быть больше собственного содержания слов. Например, в словосочетании «круглый квадрат» каждое из слов имеет вполне определенное содержание, а вместе они имеют бесконечное содержание, а точнее неопределенное содержание.
Вторым вопросом , который возникает при анализе систем, является вопрос о степени целостности, или просто о целостности, как количественной «сложности» системы. Удобнее всего использовать для этой цели относительные оценки _ отношение
При этом нулевая целостность означает простую совокупность несвязанных частей, а целостность, равная единице _ абсолютную целостность. Иногда целесообразна сопряженная оценка
a=Сс0= 1 — a
которую можно назвать коэффициентом использования частей в целом. Применительно к рассматриваемым схемам эта оценка дает соответственно
aа=1, aб = 0,5, aв= 0.
Иными словами, не обладающая целостностью система элементов подразумевает наиболее универсальное, полное использование свойств своих частей, а абсолютно целостная система, напротив, вообще лишает элементы их первоначальных свойств, используя лишь те свойства, которые присущи системе как целому и которые не содержатся в отдельно взятых ее элементах.
Третий вопрос, который необходимо решить при анализе системы _ это вопрос о коэффициенте использования каждого из ее элементов. Решение этого вопроса особенно актуально для иерархических структур, элементы которых почти всегда имеют отличное друг от друга содержание в зависимости от уровня иерархии, которому они принадлежат. Этот вопрос имеет уже непосредственную связь с понятием оптимальной структуры. Смысл этого понятия будет заключаться в том, что число уровней иерархии системы имеет определенный предел. Рассмотрим следующую иерархическую схему. Эта схема содержит 4 уровня иерархии, каждый из которых имеет два равновероятных состояния, чему соответствует системное содержание Сс= 1 бит2. Однако на верхнем уровне все это содержание принадлежит единственному элементу, для которого
Сс0=1 бит2, b=1.
На втором уровне иерархии имеются два равноправных элемента, между которыми поровну делится содержание уровня, так что для каждого из них
Сс=0,5 бит2, С0= 1 бит2, Свз= - 0,5 бит2, b= 0,5.
На третьем уровне его содержание делится поровну между четырьмя равноправными элементами, так что для каждого из них
Сс=0,25 бит2, С0= 1 бит2, Свз= - 0,75 бит2, b= 0,25.
Наконец, для 4-го уровня его содержание делится поровну между восемью равновероятными элементами
Сс=0,125 бит2, С0= 1 бит2, Свз= - 0,875 бит2, b= 0,125

Выше мы рассматривали случаи, когда системное содержание и смысл системы совпадали. Между тем иногда прикладное содержание (смысл) системы бывает уже, чем ее полное содержание. Это имеет место, когда для достижения определенных целей используется только часть потенциальных возможностей системы.
Четвертый вопрос, возникающий при анализе структуры системы _ это вопрос о коэффициенте полезного действия (КПД) как отдельных элементов, так и системы в целом.
Под КПД g понимается при этом отношение смысла С элемента или системы к системному содержанию, т. е. . Из этого следует, что только элемент верхнего уровня используется полностью, элементы среднего уровня — наполовину, а элементы нижнего уровня _ только на четверть их собственного содержания.
Рис. 5.3−2
Оставшаяся часть собственного содержания приходится на их взаимное содержание, т. е. на содержание взаимодействия элементов в пределах своего уровня. В принципе, если нам известны все соотношения между элементами, оболочками и подоболочками системы, т. е. отношения между их собственным, системным и взаимным содержанием, то тем самым мы можем решить и обратную задачу, а именно определить структуру системы. Таким образом, данный информационный подход может быть использован для оценки структурной сложности самых разнообразных иерархических систем.
Приведенный метод оценки может быть с успехом использован и для оценки структурной сложности Периодической системы химических элементов (и ядер атомов) после определения их структуры (см. часть 3, глава 1), как сложной иерархической системы. При этом на первом этапе анализа можно использовать относительные оценки сложности оболочек и подоболочек Периодической системы.
5.4. КЛАССЫ ПРОИЗВОДЯÙИХ СТРУКТУР.
Ниже, с учетом основных закономерностей иерархических систем, будут построены некоторые «базисные» классы производящих функций.
5.4.1. БИНОМИАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Нам необходимо создать такие классы производящих функций, которые бы учитывали основные закономерности иерархических систем, их ограниченность, замкнутость и двойственность. Рассмотрим в первую очередь класс производящих функций, в основе которого будут биномиальные ряды. Именно биномиальные ряды учитывают в явном виде двойственность структур. Рассмотрим следующую последовательность производящих функций G0(x)=1+2x+2x2+2x3 + …
G1(x)=1+3x+5x2+7x3 + … (5.4−1)
G2(x)=1+4x+ 9x2+16x3+ …
G3(х)=1+5х+14х+30х
которые можно формально переписать как
Gn(x)=(1-x)-n (1+x), n=1,2,3,. (5.4−2)
Заметим, что для функций
Gn(x)=(1+x)-n (1-x), n=1,2,3,… (5.4−3)
мы будем иметь

G0(x)=1- 2x+ 2x2- 2x3+.
G1(x)=1−3x+5x2- 7x3+… (5.4−4)
G2(x)=1−4x+9x2-16x3 +
G3(x)=1−5x+14x2-30x3 + …
Анализ последних выражений показывает, что мы имеем производящие функции для числовых последовательностей «деформированных» арифметических рядов, члены которых являются биномиальными коэффициентами. Полагая, что соседние члены производящих функций сопряжены между собой по закону «отрицания отрицания», мы получим следующий полный набор производящих функций
Gn(x)=Pn(x)(1-x) (5.4−5)
где P1(x)=(1+x)-1=1-x+x2 -x3+ …
P2(x)=(1+x)-2=1−2x+3x2 -4x3+…
P3(x)=(1+x)-3=1−3x+6x2 -10x3+…
P4(x)=(1+x)-4=1−5x+14x2 -30x3+…
Рис. 5.4−1.
На рисунке 5.4−1 все возможные пути формирования конечной числовой последовательности изображены в виде графа. Заметим, что данные производящие функции обладают еще одним важным свойством.
Формально они представляют собой произведение неприводимых сомножителей n — многочленов. Анализ полученных выражений и рис. 5.4−1 показывают, что мы имеем ограниченное число вариантов формирования требуемой закономерности. Однако при рассмотрении этих вариантов следует учитывать возможную не коммутативность мультипликативной операции умножения многочленов.
Индексы у производящих многочленов в явном виде указывают уровень иерархии той или иной структуры, полученной с помощью соответствующего производящего многочлена. Выбирая, или ограничивая число членов ряда, мы будем получать то или иное подмножество иерархических систем с ограниченным числом уровней иерархии.
Таким образом, мы определили класс производящих функций структур, который учитывает закономерность двойственности иерархических систем (как внутреннюю, так и внешнюю). Кроме того, этот класс производящих структур является «замкнутым», ибо мы каждый раз будем получать инвариантные структуры, не выходящие за пределы данного класса структур. Определим в данном классе уровни и подуровни иерархии. Ниже, при анализе структуры Периодической системы химических элементов, будет показано, что именно этот класс производящих функций характеризует структуру химических элементов.

5.4.2. ОБОЛОЧКИ И ПОДОБОЛОЧКИ ПРОИЗВОДЯÙИХ ФУНКЦИЙ
Условимся, что производящие многочлены вида Pi(x) будут порождать подоболочки иерархического пространства i-го уровня, а производящие многочлены вида Gi(х) соответствующие оболочки иерархического пространства i-го уровня. Напомним, что многочлены Gi(х) = (1-х) Pi(x), т. е. получаются путем удвоения Pi(x) многочлена подоболочки, которое осуществляется со сдвигом. Таблица 5.4.2−1 содержит числовые характеристики производящих функций, характеризующие «спектр» производящей функции того или иного уровня иерархии. Они отражают всеобщую закономерность строения материи, правила порождения подоболочек и оболочек иерархических систем.
Таблица 5.4.2−1
В таблице отражены данные только для четырех уровней иерархии. Спектры для любого другого уровня иерархии можно легко построить по индукции.
5.4.3. ДРУГИЕ КЛАССЫ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СТРУКТУР
Рассмотренный выше класс производящих функций основан на свойствах бинома Ньютона (1-х)-n. Фундаментальная особенность этой формулы заключается в том, что она отражает закономерность двойственности. Из других классов иерархических структур рассмотрим производящие функции для структур, порождаемые числами Фиббоначи. Бытует очень широко распространенное мнение, что весь окружающий нас мир подчинен и построен с использованием пропорций, определяемый «золотым сечением», определяемым пропорцией 1:1,618. Анализ рядов Фиббоначи, их сходимость к «золотому сечению», позволяет сделать предположение о том, что при дальнейшей эволюции иерархических систем на более высоком уровне иерархии, в силу закономерности интеграции сложных систем, произошло искажение первоначальной закономерности, произошла «мутация» первородной производящей функции, вследствие структурной ограниченности иерархических структур. Однако у этих систем все же осталось одно общее свойство. Это свойство удвоения. При формировании чисел Фиббоначи закономерность удвоения проявляется в том, что для формирования очередного члена ряда берется сумма двух его последних членов. Поэтому данная закономерность должна на более элементарных уровнях проявляться как закон — закон двойственности. Этот принцип родственен принципу удвоения, который используется в основной закономерности построения иерархических систем и отражен в структуре рассмотренного выше класса производящих функций. По мере усложнения иерархических систем, по мере их интеграции, происходит взаимопроникновение оболочек и подоболочек друг в друга. Устанавливаются все новые связи, которые будут носить мультидвойственный характер. Однако между ее любыми непосредственно взаимодействующими элементами всегда будут присутствовать отношения двойственности. В самом общем случае можно сказать, что все мультидвойственные отношения в сложных (и соответствующие классы производящих функций) порождаются производящими многочленами вида:
где х, у, z персонажи системы, а -сама система (исходный многочлен)
Процедуре осознания соответствует теперь алгебраическая операция умножения исходного многочлена на многочлены 1+х, 1+у, 1+z. При этом персонажи производят осознание последовательно. Легко изобразить и случай, когда осознание производят все три персонажа одновременно. Оператор концептуализации будет таким:

,
а эволюция многочлена, характеризующего состояния концептуальных систем, выразится соотношением
,
где п-число концептуализаций.
В более сложных случаях в операторах концептуализации могут использоваться сложные персонажи вида
,
где матрицы Аn представляют собой оболочки из взаимодействующих персонажей.
В общем случае можно сказать, что на более высок их уровнях иерархии закономерность, в соответствии с которой формируется «золотое сечение» будет проявляться как чисто статистическая закономерность. Но нельзя исключать и другой возможности, которая заключается в том, что рассмотренные выше производящие функции иерархических структур обязаны своим происхождением именно ряду Фиббоначи, что ряд Фиббоначи отражает некоторые фундаментальные принципы, в соответствии с которыми и рождаются производящие функции иерархических пространств, что данная закономерность имеет такое же фундаментальное значение, как двойная спираль в молекуле ДНК. Ниже при анализе собственных иерархических подпространств такая возможность будет рассмотрена на примере формирования структуры ядерных оболочек.
РЕЗЮМЕ
1. Показатели сложности иерархических структур имеют важное значение для описания процессов эволюции этих иерархических систем. Описаны правила преемственности и структурной сложности иерархических систем. Приведены показатели сложности этих систем. Рассмотренные методы анализа сложности систем могут быть с успехом использованы во многих приложениях.
2. Проведен анализ свойств некоторых фундаментальных классов производящих функций, используемых для порождения концептуальных оболочек и подоболочек иерархических структур. Показана прямая связь этих производящих функций с закономерностями иерархии и, в первую очередь, с закономерностью двойственности иерархических систем.
3. Обосновано введение производящих функций для иерархических систем и проведен анализ свойств некоторых фундаментальных классов производящих функций, используемых для порождения концептуальных оболочек и подоболочек иерархических структур.
4. Приведенные классы производящих функций, как это будет показано дальше, используются Природой для описания процессов эволюции звезд, элементарных частиц, ядер химических элементов, атомов, Периодической таблицы химических элементов в целом.
5. Рассмотрены приемы и методы формального построения и описания концептуальных систем, позволяющие в общем виде описывать взаимодействие иерархических систем самой различной природы. Концептуальные оболочки, описывающие иерархические системы разной природы, являются инвариантами этих иерархических систем и могут служить основой для эволюционного подхода к анализу и синтезу иерархических систем, оценки преемственности и сложности их структуры.
Глава 6. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
6.1. ЛИНЕЙНОЕ ИЕРАРХИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
Иерархичность — фундаментальное свойство нашего мира. Поэтому целесообразно, чтобы эти фундаментальные свойства в явном виде отражало бы и «обычное» линейное n-мерное пространство. Все разделы естествознания в явном или неявном виде используют понятия об иерархии, об иерархических пространствах, об иерархических системах. Не отстает в этом плане даже фантастика. Существует множество фантастических книг, в которых в явном или неявном виде фигурируют такие понятия, как гиперпространства,

переход в другое измерение и т. п. вещи. Сущность нижеследующих основных понятий и определений, свойств иерархических пространств, их связь с окружающим нас миром, определяет не только алгоритмы построения окружающего нас мира, но и дают ключ к пониманию этих чисто фантастических понятий. В узком смысле данные понятия могут служить основой для создания полнокровной теории иерархических пространств, призванной описывать и классифицировать объекты и явления окружающего нас мира. В широком смысле данная теория описывает основные фундаментальные свойства нашего мира и призвана служить методологической основой для многих наук естествознания. Эта теория может быть применима и к таким сферам, как бизнес. В частности, в соответствии с положениями этой теории любая финансовая или маркетинговая пирамида должна быть ограничена определенными показателями уровня ее сложности. Эти показатели являются естественными (например, число жителей ограничено определенным пределом и т. д.) или искусственными, цель которых направлена на стабилизацию функционирования пирамиды, на ее устойчивость.
Формально к понятию линейного иерархического пространства приводит и следующий пример. Пусть мы имеем вектор
Х (j) =j 1, Хj 2,, Хj 3,,Хj 4,…,Хj n) (6.1−1)
элементами которого являются векторы — столбцы с действительными коэффициентами
Из линейной алгебры известно, что всякую не особенную матрицу можно представить в виде произведения нижней треугольной матрицы на матрицу с ортогональными и строками, т. е.
Х=ТтR или Х т=R т Т (6.1−2)
где Т- нижняя треугольная матрица с единичной диагональю,
Х т, R т — транспонированные матрицы
Пусть
R= (R (1), R (2), R (3),…, R (n))
Полагая для простоты, что порядок матриц n=3, мы получим
Х (3)=Т T R (3)
Х (3)= Т (R (1), R (2), R (3))
где
R(1)= (r11, r12, r13)
R(2)=(r21, r22, r23)
R(3)=(r31, r32, r33)
аналогично, полагая, что матрица Т является вектором _ столбцом, со строками вида
Т (1)=(1, 0, 0)
Т (2)=(t21, 1, 0)
Т (3)=(t31, t32, 1)
Тогда окончательно Х (1)=R (1) Х (1)ОL 1
Х (2)=t21R(1)+ R(2) Х(2)ОL 2
Х (3)=t31R(1)+ t32R(1) +R(3) Х(3)ОL 3
где L 1, L 2, L 3 — множество векторов соответствующих линейных подпространств.
Преобразование матриц к треугольному виду очень широко используется во многих прикладных науках, в частности, в линейной алгебре, для решения линейных уравнений методами ортогонализации. Перепишем треугольную матрицу Х в виде матрицы — строки
Х=(Х (1), Х (2), Х (3), … , Х (n)) Х (j)ОL j , j=1,2, …, n
Тогда множество векторов
L n(Х)=L (Х (1), Х (2), Х (3),…, Х (n))={<Х (1), Х (2), Х (3), …, Х (n)> |Х (1)ОL 1, …, Х (n)ОL n } (6.1−3)
образует упорядоченную совокупность линейных m-мерных (m£n) подпространств, которую мы и будем называть иерархическим n-мерным линейным пространством.
Иерархические подпространства вида (3) будем называть оболочками n-мерного иерархического пространства. Иерархическое пространство может иметь разные уровни сложности, т. е. могут иметь более тонкую

структуру. Положим, что единичные орты, которые образуют треугольную матрицу
Х (1)=<1> Х (1)ОL 1
Х (2)=<0, 1 > Х (2)ОL 2
Х (n)=<0,0,0, …, 1 > Х (n)ОL n
являются векторами иерархического пространства нулевого уровня, т. е.
являются базисными ортами обычного линейного пространства.
Тогда множество векторов
Х <1>=<Х (1)> Х(1)ОL 1
Х<2>=<Х (1), Х (2) > Х(2)ОL 2
Х <n>=<Х (1), Х (2), …, Х (n) > Х (n)ОL n
порождают n — мерное иерархическое пространство 1-го уровня. Взяв в качестве базиса векторы иерархического пространства 1-го уровня, мы получим иерархическое пространство 2-го уровня. Наконец, в общем случае множество векторов
L <n><n>)={<Х <1>,Х <2>,Х <3>, … ,Х <n>>| Х <1>ОL <1>, … , Х <n>ОL <n> } (6.1−4)
будет порождать иерархическое n-мерное пространство m-го уровня, которое мы будем обозначать символом L <n>. Факт принадлежности иерархического пространства тому или иному уровню иерархии будем обозначать в виде самого старшего индекса этого пространства, например, иерархическое n-мерное пространство m-уровня будем обозначать через L <m, n> , а соответствующие ему векторы через Х<m, n>. Очевидно, что в иерархических пространствах с уровнем сложности более 1, оболочки пространства, в свою очередь, образуют подоболочки, т. е. имеют более тонкую структуру. В общем случае для обозначения подоболочек будем использовать символы
L <m, n, k,.> и Х <m, n, k,…>
Последовательность индексов в обозначении подоболочки может быть упорядоченной или по уменьшению уровня иерархии рассматриваемого иерархического пространства, или по их возрастанию, при этом последовательность индексов должна удовлетворять условию
m ³ n ³ k ³ …
или m £ n £ k £ …
в зависимости от типа иерархического пространства.
6.1.1. ВОЗРАСТАЮЩЕЕ И УБЫВАЮЩЕЕ ИЕРАРХИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
Иерархическое пространство L <m, n, k, …> будем называть возрастающим, если оно порождается множеством векторов вида Х <m, n, k,…>, а последовательность индексов его оболочек и подоболочек удовлетворяет условию
m £ n £ k £ …
Если же в этом пространстве последовательность индексов удовлетворяет условию
m ³ n ³ k ³ …
то такое пространство будем называть убывающим.
6.1.2. СВЕРНУТОЕ ИЕРАРХИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
Иерархическое пространство будем называть вложенным (или свернутым), если
L <m, 1> З L <m, 2> З L <m, 3> З … L <m, n> ¹ 0
и L <m, 1> О L <m, 2>О L <m, 3>О … L <m, n>
Во вложенном иерархическом пространстве базисы иерархических подпространств, т. е. все его оболочки и подоболочки, являются вложенными друг в друга.
6.1.3. РАЗВЕРНУТОЕ ИЕРАРХИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
Если же
L <m, 1>З L <m, 2>З L <m, 3> З … L <m, n>=0

и
L <m, 1> П L <m, 2>П L <m, 3>П … L <m, n>
то такое иерархическое пространство мы будем называть развернутым. В таком иерархическом пространстве все оболочки (и подоболочки) являются обособленными, т. е. не содержатся друг в друге.
6.2. БАЗИСНЫЕ МАТРИЦЫ ИЕРАРХИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
Представим базис линейного пространства 0-го уровня иерархии в виде следующей матрицы
E (0,n)=(e1, e2, e3, e4, … , en)
Тогда базисную матрицу для линейного пространства 1-го уровня иерархии можно записать в следующем виде:
для возрастающего иерархического пространства
E (1,n)=(E (0,n, 1), E(0,n, 2), E (0,n, 3), E (0,n, 4),…, E (0,n, n))
для убывающего иерархического пространства запись будет иметь вид
E (1,n)=(E (0,n, n),…, E (0,n, 4), E (0,n, 3), E (0,n, 2),…, E (0,n, 1))
т.е. матрица записывается в обратном порядке
Тогда для иерархического пространства m- уровня иерархии мы получим
E (m, n)=(E (m-1,n, 1), E (m-1,n, 2), E (m-1,n, 3), E (m-1,n, 4),…, E (m-1,n, n))
Для убывающего иерархического пространства запись будет иметь вид
E (m, n)=(E (m-1,n, n)),… , E (m-1,n, 4), E (m-1,n, 3), E (m-1,n, 2),…, E (m-1,n, 1))
В общем случае базисная матрица такого m-мерного иерархического пространства является квазидиагональной. На главной диагонали этой базисной матрицы располагаются базисные матрицы иерархических собственных подпространств, которые содержат собственные значения и собственные векторы соответствующих им подпространств. Базисные матрицы для свернутых иерархических пространств являются треугольными
6.3. РАЗМЕРНОСТЬ ИЕРАРХИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
Если
L <m, n>М L <m, 1>И L <m, 2>И L <m, 3>И … L <m, n>
является объединением иерархических подпространств, то, обозначая через
Р <m, n>= L <m, 1>З L <m, 2>З L <m, 3>З … L <m, n>
пересечение этих подпространств, можно определить размерность линейного иерархического пространства L <m, n>. Пересечение этих подпространств позволяет определить размерность линейного иерархического пространства как разность суммы размерностей всех подпространств пространства L<m, n > и суммой размерностей всех пересеченных подпространств, т. е.
В частном случае, для свернутого иерархического пространства будем иметь
Для развернутого иерархического пространства получим
т. к. пересечение иерархических подпространств отсутствует.
Соответственно, для свернутого иерархического пространства квазидиагональная базисная матрица может быть представлена как матрица размерности n, а для развернутого иерархического пространства L <m, n > квазидиагональная матрица может быть преобразована к базисной матрице размерности.
В общем случае для иерархического пространства L <m, n, k,… > , когда имеет место дальнейшее расщепление уровней иерархии, размерность таких пространств можно определить как

(6.3−1)
6.4. КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА ИЕРАРХИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ.
1. Любое иерархическое пространство характеризуется допустимым числом уровней его иерархии (размерностью, числом оболочек).
2. Каждый текущий уровень иерархии характеризуется допустимым числом подуровней, в нем содержащихся (размерностью, числом подоболочек).
3. Каждый текущий подуровень иерархии характеризуется критерием его сложности, определяющим количественный состав этого подуровня (подоболочки).
4. Количественный состав подуровня зависит от свойств базисных векторов, из которых формируется данный подуровень иерархии (внутренняя и внешняя двойственность).
Чем выше уровень иерархии, тем сложнее структура иерархического пространства, тем сложнее и спектр его характеристик этого пространства. Параметры этого спектра характеристик будем называть квантовыми числами иерархического пространства, поскольку все они определяют условия порождения более сложных структур из более простых, определяют условия квантования уровней и подуровней иерархии. Для изображения квантовых чисел иерархических пространств будем использовать следующие обозначения:
m - определяет число размерность иерархического пространства,
n — определяет число подоболочек, входящих в состав m-ой оболочки, n=1,2,…, m,
k — определяет число подоболочек, входящих в состав n- подоболочки, k=1,2,…, n,
Очевидно, чем сложнее иерархическое пространство, тем большее число квантовых чисел необходимо для его характеристики.
Из определения квантовых чисел и выражения (6.3−1) следует, что эти квантовые числа совпадают с соответствующими индексами выражения (6.3−1) и характеризуют размерности иерархических оболочек и подоболочек.
Введем еще одно квантовое число — которое будет характеризовать двойственность подоболочек и оболочек иерархического пространства L<m, n, k, … >. Тогда количественный состав любой оболочки иерархического пространства с использованием введенных таким образом квантовых чисел будет определяться следующим выражением:
(6.4−1)
где -определяет количественный состав соответствующей подоболочки.
Для комплексно-сопряженной структуры, вводя показатель ее двойственности,
получим
(6.4−2)
Очевидно, что полную характеристику количественного и качественного состава иерархической структуры можно получить, записав ее в следующем виде
(6.4−3)
Совокупность квантовых чисел отражает внутреннюю структуру материальных объектов, образующих иерархическое пространство, вложенность оболочек и подоболочек иерархических подпространств (частичного или полного) друг в друга. Они характеризуют спектр иерархического пространства. И этот спектр по своей сущности совпадает с понятием спектра, принятого в физике, математике. Из теории рядов известно, что для

анализа спектров излучения материальных объектов используется математический аппарат разложения функций в ряды Фурье, содержащие гармонические составляющие этих спектров. Уже сам этот факт свидетельствует об иерархической природе происхождения этих спектров. Поэтому нас не должен удивлять тот факт, что спектры излучения химических элементов содержат информацию о структурной сложности химических элементов, об их иерархических свойствах. Сам спектр излучения химических элементов является визитной карточкой этих химических элементов, которая содержит всю, или большую часть, информации о свойствах и структуре этих элементов, геном, зафиксированным внешним исследователем, по которому можно не только «узнать» этот элемент, но и воссоздать его структуру. По этим спектрам можно судить не только о количественном составе оболочек и подоболочек в данном атоме, не только о степени сложности структуры той или иной оболочки (подоболочки), не только о месте той или иной оболочки (подоболочки) в общей иерархической структуре материального объекта, но также и о правилах порождения той или иной оболочки (подоболочки). Это утверждение может быть использовано как факт принадлежности Периодической системы химических элементов к иерархическому пространству определенного уровня иерархии, т. к. спектры химических элементов также отражают и внутреннюю структуру этих химических элементов и, следовательно, Периодическая система химических элементов открыла пока еще не все свои тайны. Если со «сложностью» оболочек иерархического пространства L <m, n,…> связать размерности подпространств (подоболочек), образующих его оболочки, то мы получим упорядоченное множество величин вида
<m, n, к, … >
Первый символ m характеризует размерность самого старшего иерархического пространства. Этот показатель является главным квантовым числом иерархического пространства, поскольку размерность иерархических подпространств не может быть больше m (главного квантового числа). Поэтому можно проводить анализ подоболочек, имеющих самую максимальную размерность, которая равна m. В этом случае мы будем иметь последовательности кортежей длины m, характеризующие тонкий спектр расщепления m-мерного пространства на n-мерные подпространства, т. е. мы будем иметь самую сложную оболочку соответствующего иерархического подпространства, которая содержит в себе все остальные подоболочки данного подпространства. Тогда для подпространства нулевого уровня получим <1,1,1, … 1>,
для подпространств 1-го уровня иерархии мы будем иметь <1,2,3,… ., m>
для подпространств 2-го уровня получим соответственно <1,3,6,10,… .>
для подпространств 3-го уровня получим соответственно <1,4,10,20, … .>
В свою очередь n — мерные подпространства также могут иметь спектр расщепления.
Из этих выражений можно обнаружить, что размерности иерархических подпространств являются биномиальными коэффициентами. Используя другие правила идентификации, можно построить и другие иерархические пространства, имеющие другие спектры расщепления. Эти спектры являются важнейшей характеристикой иерархического пространства. Они очень тесно перекликаются с «обычным» понятием, используемым во многих прикладных разделах естественных наук, например, при анализе спектров атомов и т. д. Наличие у любого целостного объекта спектра разложения свидетельствует о том, что данный объект имеет иерархическое строение. Наличие тонкой структуры спектра у оболочек этого объекта свидетельствует о том, что в составе иерархической системы имеются подоболочки. Тогда этот объект можно отнести уже ко второму уровню иерархии и т. д. Система спектров объекта оказывается как бы вложенной друг в друга. Наличие у объекта сложного спектра расщепления свидетельствует об их фундаментальном значении в характеристике этого объекта. Более того, поскольку каждый объект имеет свой индивидуальный спектр, то этот спектр и является самым первичным носителем «генной» информации об объекте. Поэтому не будет преувеличением сказать, что совокупность спектров расщепления уровней иерархии объекта представляют собой генеалогическое дерево, характеризующее историю эволюции материального объекта, что эта совокупность спектров несет в себе некоторые собственные значения и собственные векторы иерархического пространства, характеризующие только данный конкретный объект. Полный спектр расщепления иерархических структур будет характеризоваться следующим выражением:

, (6.4−4)
где -характеризует количественный и качественный состав иерархической структуры, характеризующей весь спектр ее расщепления,
— характеризует количественный и качественный состав структуры с отношениями субординации и координации
,
— характеризует количественный и качественный состав двойственно-сопряженной структуры,
m - определяет число размерность иерархического пространства,
n — определяет число подоболочек, входящих в состав m-ой оболочки, n=1,2,…, m,
k — определяет число подоболочек, входящих в состав n- подоболочки, k=1,2,…, n,
— характеризует двойственность отношений субординации и координации в иерархической структуре,
— определяет характер отношений в комплексно-сопряженной структуре,
-определяет количественный состав соответствующей подоболочки.
Следовательно, квантовые числа, характеризующие спектр того или иного объекта, целиком и полностью определяют условия «квантования» этого иерархического объекта.
6.5. СОБСТВЕННЫЕ ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ПОДПРОСТРАНСТВА
Собственные иерархические пространства являются чрезвычайно важным звеном новой науки, т. к. они являются всеобщим инвариантом, всеобщей категорией, присутствующей абсолютно во всех физических явлениях, на всех уровнях организации материи. Ниже будут рассмотрены некоторые свойства этих пространств с точки зрения математики. В следующей главе, при рассмотрении свойств целевых функций, будут более подробно рассмотрены свойства собственных подпространств, как физической категории. Возможно, что именно в самом феномене собственных подпространств Вселенной кроется разгадка ее вечности. Разные собственные подпространства, взаимодействуя между собой, формируют единое самосогласованное поле собственных подпространств, в соответствии со своими собственными замкнутыми циклами эволюции материи.
6.5.1. ИНВАРИАНТНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО.
Инвариантность — самая главная отличительная черта всех физических законов. Следовательно, это свойство должны содержать и ее самые фундаментальные законы. В самом тривиальном случае инвариантность двух объектов, структур, явлений и т. д. означает, что в них существует симметрия относительно тех или иных преобразований. В общем случае инвариантность означает мультидвойственную симметрию относительно тех или иных преобразований. Например,
Понятие инвариантности лежит в основе всех математических методов, использующих взаимно -однозначные преобразования математических объектов (систем, подсистем).

К таким методам можно отнести различные рекурсивные и итерационные математические процедуры. Основная особенность всех этих методов заключается в том, что при каждом обращении к такой рекурсивной процедуре вычисления всегда осуществляются по одной и той же схеме (алгоритму), с сохранением всех входных параметров до тех пор, пока не будет достигнут выход из соответствующего уровня рекурсии.
Можно сказать, что каждое рекурсивное обращение к процедуре является самодостаточным и в определенной мере независимым от других обращений к ней. Этот простой пример дает первое интуитивное представление о собственном подпространстве систем любой природы.
Определим вначале инвариантное пространство. Пусть Х — n-мерное линейное пространство и у=Ах — линейное преобразование на пространстве X. Пусть Х1М Х является некоторым подпространством X, обладающим, однако, тем свойством, что если х О Х1, то и у=АхОХ1 . Подпространство Х1, обладающее подобным свойством, называется инвариантным относительно линейного преобразования у=Ах.
Особенный интерес представляют собой одномерные инвариантные пространства, представляющие собой прямые в пространстве X, проходящие через начало координат.
Рис. 6.5.1.-1 Одномерное инвариантное пространство.
Если х — произвольная точка пространства Х и, а — вещественная переменная, меняющаяся от — µ до +µ, то aх будет представлять собой одномерное подпространство X, проходящее через х (при a=1) и через начало координат (при a=0), как показано на рис. 6.5.1−1 для п=2. Такое одномерное подпространство будем обозначать R1. Можно предположить, что среди бесконечного множества одномерных пространств R1 всегда найдутся такие, которые будут инвариантны относительно преобразования у=Ах, т. е. для любого хОR1 имеет место у=АхОR1.
6.5.2. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦ
Обозначим через l отношение у к х, которое при этом будет просто вещественным числом, т. е. можем записать у=l х. Тогда, если R1 — инвариантное подпространство, то для хО R1 имеет место равенство
(6.5.2−1)
Вектор х¹0, удовлетворяющий соотношениям (6.5.2−1), называется собственным вектором матрицы А, а число l — собственным значением (характеристическим числом) матрицы А. Это число l является важнейшей характеристикой инвариантного подпространства R1.
Для определения характеристических чисел матрицы перепишем соотношение (6.5.2−1) в ином виде, введя тождественное преобразование х=Iх. При этом получаем:
(6.5.2−2)
Соотношение (6.5.2−2) представляет собой систему линейных однородных уравнений, которая может быть записана в явном виде как
(6.5.2−3)

Эта система имеет не тривиальное решение только в том случае, если выполняется условие
(6.5.2−4)
Соотношение (6.5.2−4) называется характеристическим уравнением матрицы, А и представляет собой алгебраическое уравнение n-й степени относительно l. Действительно, раскрывая определитель и группируя члены с одинаковыми степенями К, левую часть уравнения (6.5.2−4) можно представить в виде многочлена по степеням:
Легко заметить, что здесь qо=det А, qп=(-1)n. Таким образом, для нахождения собственных значений матрицы А получаем уравнение п-й степени относительно :
Это уравнение имеет п корней, среди которых могут быть и одинаковые, являющиеся собственными значениями матрицы А. Конечно, не все собственные значения обязательно будут действительными, но так как А- действительная матрица, то комплексные корни будут встречаться сопряженными парами. Возьмем любое собственное значение li, и подставим его в исходную систему уравнений (6.5.2−2) Получим уравнения
которое имеет нетривиальное решение, так как det (А -liI)=0. Это решение дает вектор хi, определяемый с точностью до скалярного множителя. Этот вектор и называется собственным вектором матрицы А.
Так как li, может быть комплексным числом, то хi может содержать комплексные компоненты. Однако поскольку комплексные корни встречаются сопряженными парами, то комплексные собственные векторы также будут встречаться сопряженными парами.
Согласно (6.5.2−1) собственные векторы хi и соответствующие им собственные значения li связаны соотношениями
которые могут быть записаны в более компактной форме как
где V-квадратная матрица, составленная из собственных векторов матрицы А; L-диагональная матрица, у которой по главной диагонали расположены числа li, а все остальные элементы равны нулю:
Инвариантное иерархическое подпространство, содержащее собственные значения, будем называть собственным. Из математики известна следующая теорема о собственных значениях матрицы А.
Теорема. Если собственные значения матрицы, А размером n занумерованы так, что первые к из них различны, то соответствующие собственные векторы линейно независимы.
Таким образом к собственным значениям собственного пространства предъявляется основное требование _ все они должны быть различны. Введем в состав каждого иерархического подпространства собственное иерархическое подпространство L (0,n) М L (m, n). Собственное иерархическое подпространство L (0,n) содержит собственные значения и собственные векторы иерархических подпространств L (m, n). При этом собственные значения и собственные векторы характеризуют не только «вес» данного иерархического подпространства в общей иерархии пространства m-го уровня, не только ориентацию его начального собственного вектора, но и «привязку» их к началу координат данного подпространства L (m, n). В иерархическом собственном пространстве совокупность собственных значений и собственных векторов характеризует эволюцию траекторий собственных векторов его собственных подпространств, их взаимную ориентацию. В случае, если собственные

значения и собственные векторы иерархического подпространства будут равны нулю, то мы будем иметь вырожденный случай, а все подпространство в этом случае будет свернутым в нуль-точке. Если же собственные значения и собственные векторы будут некоторым образом упорядочены, будет иметь место условия их «квантования» и
L (1,n) Л L (2,n) Л L (3,n) … Л L (0,n),
то мы будем иметь упорядоченную цепочку подпространств, при этом по мере продвижения к более сложным иерархическим пространствам «начало координат» всего иерархического пространства будет последовательно перемещаться по цепочке
L (1,n) ® L (2,n) (r) L (3,n) … ® L (0,n)
или
L (1,n) ¬ L (2,n) ¬ L (3,n) … ¬ L (0,n)
Особое место в определении иерархического пространства играют собственные подпространства L (0,n). Собственные векторы собственных подпространств в иерархическом пространстве определяют «вес» данной оболочки (подоболочки) в общей иерархии подпространств. Если «вес» рассматриваемого пространства является скалярной величиной, то это значит, что базисные орты иерархического пространства нулевого уровня являются нулевыми, но собственное значение — отлично от нуля.
6.5.3. ВИДЫ СОБСТВЕННЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ
Введенное таким образом понятие собственного иерархического пространства (подпространства) является естественным обобщением для n-мерного линейного пространства, которое будет являться частным случаем иерархического пространства. Действительно, если базисные векторы собственных подпространств иерархического пространства будут равны, а их начала координат в одной и той же точке, то мы будем иметь совокупность упорядоченных, вложенных друг в друга линейных подпространств с началом координат в одной и той же точке. По этой причине иерархическое пространство с такими свойствами мы и будем называть вложенным. Всякий раз, когда мы имеем упорядоченную совокупность вложенных друг в друга иерархических подпространств, мы можем говорить, что все эти подпространства имеют общее начало координат.
Если же базисные векторы собственных подпространств не являются равными нулю, а их вес такой, что иерархические пространства не пересекаются, то мы будем иметь случай развернутого иерархического пространства. Совокупность иерархических подпространств, расположенных в виде некоторой цепочки, обладает тем свойством, что начало координат этих иерархических подпространств не совпадают. При этом по мере продвижения к более «сложным» иерархическим подпространствам «центр тяжести» (начало координат) всей рассматриваемой структуры также будет последовательно перемещаться по цепочке. По этой причине такие пространства уже обладают определенной структурной сложностью.
Рис. 6.5.3−1.

Наконец, может иметь место случай, когда в качестве нового «начала координат» будет выступать вся структура в целом. Это значит, что каждое иерархическое подпространство имеет свой собственный «вес», свой масштаб измерений, свою метрику, свою собственную функцию, но все эти показатели сложности иерархического пространства являются «квантованными», получаются из показателей иерархических подпространств с меньшим уровнем иерархии, с меньшим уровнем сложности. В общем случае, при движении от собственной системы координат одного собственного подпространства к другой будет происходить и поворот собственной инвариантной системы координат этого подпространства на некоторый определенный угол (рис. 6.5.3−1).
В этом случае «траектория» поворотов систем координат в таком собственном пространстве будет выражаться кусочно-линейной зависимостью.
Все базисные орты во всех без исключения собственных системах координат являются одними и теми же. Разница между ними заключается в том, что каждая собственная система координат может содержать отличные от других собственных систем координат свои собственные значения, определяющий «веса» и направление базисных орт.
Ниже, при рассмотрении функциональных подпространств, будут описаны принципы формирования некоторого специального класса собственных функциональных подпространств, имеющих чрезвычайно важное значение для понимания структурных аспектов формирования электронных и протонных подоболочек атомов химических элементов.
Все собственные подпространства иерархического пространства определенного класса являются по отношению друг к другу инвариантными, имеющими один и тот же базисный набор орт, одну и ту же базисную функцию. Они будут отличаться друг от друга индивидуальным набором собственных значений, которые для каждого собственного подпространства являются постоянными. Эти константы определяют «центр тяжести» собственной системы координат и ее ориентацию в пространстве (привязка к иерархическому подпространству с меньшим уровнем иерархии).
6.5.4. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ
Свойства собственных подпространств отражают, в первую очередь, самые фундаментальные закономерности иерархии. Разные классы собственных пространств отличаются функциями, заложенными в основу симметрии преобразования. Так, если положить, что при переходе из одного подпространства в другое происходит последовательное изменение числа измерений этого подпространства, то в зависимости от этого мы можем получить и различные классы производящих функций иерархических пространств.
Понятие собственных подпространств предоставляет математикам и представителям других научных приложений создавать удивительные теории, уже изначально согласованные с законами иерархии, создавая единую многоуровневую теорию собственных пространств определенного класса, призванную решать конкретные задачи определенной науки, порождая Специальные Теории Относительности, в которых в состав собственных значений включено уже не только время, но, например, и масса и т. д. Эта Теория может служить иллюстрацией фантастической возможности порождения всей Вселенной из одной элементарной частицы, или, наоборот, поглощения одной элементарной частицей всей Вселенной.
Ограниченность.
Это свойство означает, что в соответствии с закономерностью об ограниченности каждое собственное подпространство является ограниченным.
Если мы по образу и подобию начнем увеличивать масштабы некоторой иерархической системы, то через некоторое число этапов система развалится под тяжестью «структурной перегрузки». Например, можно построить многоэтажный замок из спичек, но если мы попытаемся построить точно такой же из бревен, то он может оказаться настолько высоким и тяжелым, что рухнул бы под собственной тяжестью.
Этот пример свидетельствует о том, что вследствие действия закономерности об ограниченности иерархических систем все физические законы оказываются не инвариантными относительно изменений пространственного масштаба. Иначе говоря, не инвариантность относительно преобразования подобия.
Но может быть имеет место безграничное уменьшение этих масштабов? Закономерность об

ограниченности свидетельствует о том, что должна существовать и существует некоторая самая элементарная собственная система, из которой могут складываться все остальные. Об этом свидетельствует, например, тот факт, что порядок размеров атома имеет абсолютное одинаковое для всей Вселенной значение. Размеры атома связаны с универсальной физической постоянной — постоянной Планка (). Они определяются соотношением , где m и e — масса и заряд электрона. Указанное соотношение дает для порядка линейных размеров атома значение м. Закономерность ограниченности свидетельствует о том, что «электрон» также исчерпаем, как и атом». Но если микромир ограничен в размерах, если все иерархические системы являются по своим размерам ограниченными, то должен быть ограничен и Макромир. В силу дискретности собственных подпространств имеет место и квантованный характер преобразований собственных значений этих подпространств. Из квантованного характера свойств следует, что значение целевой функции от ее аргумента является линейной или кусочно-линейной зависимостью.
Замкнутость. Второе свойство собственных подпространств заключается в их замкнутости. Именно закономерность замкнутости, «принцип порочного круга», позволяет обойти ограничения, связанные с ограниченностью собственных подпространств. Это свойство заключается в том, что на определенном этапе эволюции иерархическая система, существующая в рамках данного собственного подпространства, или должна перейти на новый уровень иерархии, в другое собственное подпространство с более высоким уровнем иерархии (эволюционная интеграция), или завершить цикл своей эволюции и начать эволюцию сначала (инволюционная дифференциация). Всегда, когда все потенциальные ниши текущего собственного подпространства будут заполнены, то у системы остается два выбора. В первом случае система замыкается сама на себя (инволюционная дифференциация). Этот процесс связан с разрушением системы в рамках данного собственного подпространства, после чего система начинает заполнять вакантные ниши заново. Это локальное замыкание системы в рамках текущего собственного подпространства. Это локальный кругооборот внутри собственного подпространства. В другом случае после заполнения вакантных ниш и попытки создания новой, более сложной системы, начинается фазовый переход в другое собственное подпространство с более высоким уровнем иерархии (эволюционная интеграция). Осуществляется нормировка системы, формируется скрытая масса и начинается строительство новой системы с новыми собственными значениями, но по тем же самым правилам «игры».
Инвариантность. Симметрия преобразований (инвариантность) в каждом собственном подпространстве характеризуется линейной зависимостью вида у=кх. Не инвариантность преобразований будет иметь место только в отношении изменения масштабов. В общем случае симметрия преобразований собственного пространства характеризуется кусочно-линейной зависимостью.
Самодостаточность. Каждое собственное подпространство является самодостаточным. В нем действуют все физические законы, с учетом симметрии преобразования и ограничений, накладываемых на физические законы собственным подпространством.
Закон сохранения «дефекта масс». Из физики известно, что процессы взаимопревращения потенциальной и кинетической энергии происходят таким образом, что их сумма всегда остается постоянной, сохраняемой (без учета трения и других потерь). Поэтому, говоря о кругообороте материи в природе, можно говорить о законе сохранения «дефекта массы» собственных подпространств, как следствие симметрии преобразований.
Скрытая масса является эквивалентом потенциальной энергии собственного подпространства, а ее высвобождение эквивалентно превращению потенциальной энергии в кинетическую. При переходе на более высокий уровень иерархии происходит увеличение потенциальной энергии собственного подпространства, а при обратном переходе высвобождение энергии за счет скрытой массы.
В собственных подпространствах это свойство отражается в форме существования собственных значений, выносимых в результате нормировки собственных подпространств за «скобки» этого подпространства. Поэтому свойства всех собственных подпространств собственного пространства одного и того же класса являются не отличимыми друг от друга, т. е. являются инвариантными. Все физические законы в них имеют одну и ту же

форму, а сам закон сохранения «дефекта масс», обладающий симметрией преобразования, свидетельствует о глобальном характере закона сохранения энергии.
6.5.5. СИНГУЛЯРНЫЕ ТОЧКИ СОБСТВЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ
В каждом собственном подпространстве (пространстве) существуют две особые сингулярные точки. Через эти точки данные собственные подпространства (пространства) сообщаются и взаимодействуют с другими собственными подпространствами (пространствами). Эти сингулярные точки обладают замечательными свойствами. В этих точках происходит трансформация собственных значений одного собственного подпространства (пространства) в собственные значения другого. Изучение свойств этих точек является чрезвычайно актуальной задачей, т. к. впервые ко всем аналогичным особым точкам в самых разных иерархических системах, независимо от их природы, может быть применен один и тот же подход, с единых позиций законов иерархии, законов милогии.
Так, например, при прохождении света через линзу происходит инверсия изображения, при отражении объекта в зеркале мы получаем зазеркальный мир. Линза и зеркало, обладая разными свойствами, привели к одному и тому же результату — преобразовали исходное изображение в зазеркальное. Точка плавления льда, точка кипения жидкости и т. д. являются точками, в которых происходит преобразование одной формы материи в другую, трансформация в зазеркальную противоположность.
Подобные сингулярные точки существуют на всех уровнях иерархии материи, как в микромире, так и в макромире. Эти сингулярные точки имеют самое прямое отношение и к таким экзотическим объектам Вселенной, как кварки, как черные и белые дыры и, следовательно, дают возможность изучать свойства этих объектов. На входе в сингулярную точку старая форма материи как бы умирает, исчезает за горизонт «черной дыры», а затем появляется из «белой дыры» в новой зазеркальной форме. Именно в этих сингулярных точках начинаются (или заканчиваются) процессы эволюционной интеграции (или инволюционной дифференциации), в локальных или глобальных масштабах, формируя замкнутые циклы эволюции материи.
6.6. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИЕРАРХИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
6.6.1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Из строгой упорядоченности построения иерархического пространства следует, что все подпространства
L (m, j) М L (m, n) , j=1,2,., n
должны быть инвариантными относительно некоторого оператора этого пространства, т. е. если х1О.L (m, j) является вектором некоторого подпространства L (m, j) , обладающего тем свойством, что если хОХ1 то у=вх ОХ. Следовательно, необходимо определить такую функцию, которая была бы инвариантной относительно некоторого оператора. Поскольку экспоненциальная зависимость является самой фундаментальной, самой основной закономерностью развития иерархических систем, а экспоненциальные функции обладают многими замечательными свойствами, то рассмотрим в первую очередь функцию вида eibx.. Операторы дифференцирования и интегрирования оставляют функцию eibx инвариантной, а собственным вектором оператора дифференцирования будет матрица ib
(6.6 -1)
Для обратного оператора — интегрирования мы будем иметь обратную матрицу ib-1
В качестве базисных единичных функций можно выбрать только следующие
e ibx, — e ibx, e — ibx, — e -- ibx
Далее, инвариантность операторов дифференцирования и интегрирования проявляется в том, что эти операторы изменяют только «вес» и «ориентацию» функции в комплексной плоскости. Например,
(6.6−2)

Кроме того, экспоненциальные функции имеют естественный механизм для «перенормировки» иерархических экспоненциальных пространств любого уровня иерархии.
Кроме того, экспоненциальные функции обладают также свойством «дискретности», т. е. могут «расщепляться». Например,
(6.6−3)
где b =е bi матрицы размерности r.
Теперь вопрос о том, можно ли, используя подобные базисные функции, получить иерархическое пространство. Для ответа на этот вопрос рассмотрим взаимосвязь между иерархическим линейным пространством L (m, n) и функциональным пространством F (m, n) .
Из математики известно, что задать числовую функцию f на n-мерном линейном пространстве L n над полем коэффициентом к — значит дать правило, позволяющее поставить в соответствие каждому вектору x О L n некоторое число из поля к (значение функции f для этого вектора х). Если в пространстве задан некоторый базис e1, e2, e3,… позволяющий каждый вектор x О L n записать в виде
х = х1е1 2е2+ 3е3+4е 4++ … хnеn
то задача заключается в том, чтобы для каждого вектора х выразить значения f (x) через координаты х1, х2, х3, х4, …, хn (посредством некоторой формулы).
Экспоненциальная функция вида eibx, определенная на пространстве L n, будет линейной, если она удовлетворяет условию линейности.
F (l1х1 +l2х2++l3 х3++l4х4+ + …lnхn )=l1f (х1) +l2f (х2)+l3 f (х3)++l4f (х 4)++…lnf (х n) (6.6−4)
для любых векторов х1, х2, х 3, х4, …, хn и любых чисел l1, …, ln
Экспоненциальная функция будет удовлетворять свойствам линейности только в том случае, если на левую часть уравнения (6.6−8) воздействовать оператором дифференцирования, который осуществляет операцию преобразования функции в линейную, т. е. является оператором «развертки» экспоненциальной функции и само условие линейности экспоненциальной функции приобретает вид
¶F (l1х1 +l2х2++l 3х3++l4х 4++ …lnхn )/¶x=
¶F (l1f (х1 )) +¶F (l2f (х 2))/¶x+¶F (l3 f (х3))/¶x+ +¶F (l4f (х 4))/¶x++ …¶F (lnf (х n ))/¶x= (6.6−5)
l1f (х1) +l2f (х2 )+l3f (х3 )++l4f (х 4)++ …lnf (хn )
Обратное преобразование (свертка) осуществляется с помощью оператора интегрирования
т¶F (l1х1 +l2х2++l3 х3++l4х4+ + …lnхn)/¶x= (6.6−6)
l1f (х1) +l2f (х2)+l3 f (х3)++l4f (х 4)++ …lnf (хn) +C
Другими словами, оператор дифференцирования осуществляет преобразование функционального пространства F n в линейное пространство L n, а оператор интегрирования, наоборот, осуществляет преобразование от линейного пространства к функциональному.
Таким образом, можно сказать, что оператор интегрирования характеризует процессы интеграции системы в функционально единое целостное образование, а оператор дифференцирования, наоборот, характеризует процесс разбиения функционально целостной системы на части, в линейное пространство. С учетом этих преобразований можно считать, что экспоненциальные функции вида eibx, определенные на пространстве L n, в котором определены операторы дифференцирования и интегрирования, являются линейными.
Из математики известно, что множество всех линейных функций, заданных в пространстве L n над полем к, образует линейное пространство той же размерности, при этом линейное пространство F n, состоящее из всех линейных функций, определенных на пространстве L n, называется сопряженным пространству L n. Поскольку пространства F n и L n являются частными случаями соответствующих иерархических пространств, то эти пространства также будут сопряженными относительно друг друга, а их базисные матрицы будут транспонированными. Здесь речь идет пока только о симметрии этих базисных матриц, а не о соответствии численных коэффициентов. Подобный дуализм пространств L n и F n можно интерпретировать следующим образом. Если пространство L n связать, например, со структурными свойствами элементов (корпускулярными

в случае атомов), то пространство F n будет характеризовать их функциональные свойства.
Несколько слов об основных особенностях функциональных иерархических пространств. «Корпускулярные» иерархические пространства характеризуются наличием многоуровневой структуры. Функциональное пространство характеризуется только «разметкой» уровней иерархии — спектром возможных значений, которое может принимать целевая функция системы. Так, в микромире функциональное иерархическое пространство характеризует все свойства той или иной потенциальной ямы, все возможные уровни энергии, которые может принимать та или иная элементарная частица в данной потенциальной яме. Другими словами, функциональное пространство, не обладающее структурными свойствами, тем не менее определяет все структурные свойства вложенных в него «корпускулярных» иерархических пространств, демонстрируя единство функционального и линейного пространства. Частицы не могут занимать ниши этого функционального пространства как попало. Эти потенциальные ниши могут заниматься частицами только последовательно, формируя тем самым упорядоченные собственные корпускулярные пространства, двойственные функциональным.
6.7. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ИЕРАРХИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
Если через d/dx обозначить оператор дифференцирования, ставящий в соответствие каждому элементу f О V его производную, то легко видеть, что оператор дифференцирования есть линейный оператор пространства L. Если l О R, то функция elx есть собственный вектор оператора дифференцирования, т. к.
Поэтому любое действительное число является собственным значением оператора дифференцирования. В более общем случае
где, А _ матрица собственных значений оператора дифференцирования.
Из математики известно, что состояние любой стационарной системы может быть описано системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Общее решение для таких систем имеет вид
(6.7−1)
где А — произвольная постоянная невырожденная матрица,
В — исходная матрица
В свою очередь, в силу иерархичности строения материальных объектов, каждая оболочка (подоболочка) может иметь свой спектр расщепления. Поскольку каждая такая оболочка обладает свойством целостности, то ее можно рассматривать как некую частицу, которую можно описать системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Тогда совместное решение может иметь вид
или (6.7−2)
где В, С,…, Z -некоторые постоянные невырожденные матрицы.
Тогда, задаваясь некоторыми начальными условиями для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, мы будем получать, например, частные решения вида
(6.7−3)
Таким образом, задача сводится к тому, чтобы при некоторых начальных условиях получить требуемые частные решения вида (6.7−3).
Беляев М. И. « Милогия «, 1999−2001 год, © 

Для этого необходимо решить проблему собственных векторов и собственных значений системы дифференциальных уравнений. Анализируя полученные частные решения, можно искать более общие частные решения и т. д. Это чрезвычайно трудоемкий путь. Однако этому пути есть альтернатива. Задача ставится следующим образом. Требуется установить, каким общим требованиям должны удовлетворять собственные векторы и собственные значения, определить их свойства и на этой основе определить вид матриц А, В, С,… Какими же свойствами должны обладать собственные векторы и собственные значения решения (6.7−3)?
Во-первых, эти свойства должны быть уникальными, носить всеобщий характер.
Во-вторых, эти свойства должны отражать в себе законы симметрии строения материи.
В-третьих, эти свойства должны быть такими, чтобы они отражали иерархичность строения материи и преемственность ее строения, т. е. такими, чтобы они вскрывали сам принцип порождения собственных векторов и собственных значений.
Всем этим требованиям соответствуют спектры расщепления уровней иерархии материальных объектов, а искомые матрицы как раз и будут являться искомыми собственными значениями. Таким образом, задача значительно облегчается, т. к. зная спектры расщепления объекта на оболочки, оболочек _ на подоболочки и т. д., и полагая, что матрицы А, В, С,… характеризуют совокупность спектров этих оболочек (подоболочек), можно составить общее решение системы дифференциальных уравнений и определить некоторые начальные условия, которые соответствуют найденному решению. Можно предположить, что любой материальный объект содержит общее решение при некоторых начальных условиях, а матрицы А, В, С,… общего решения (6.7−2) могут отражать (содержать) в явном виде это частное (но естественное) решение системы неизвестных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Из свойств линейного иерархического пространства следует, что матрицы коэффициентов А, В, С,. следует искать в виде квадратной матрицы, отражающие принципы симметрии и свойства собственных векторов и собственных значений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. По этой причине такие матрицы можно называть матрицами групп симметрии. Правила порождения собственных векторов этих матриц должны удовлетворять требованиям всеобщности и отражать структуру материальных объектов. Всем этим условиям и удовлетворяют их спектры разложения на уровни иерархии. Выше было показано, что общее решение системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид
(6.7−4)
В качестве интегральной матрицы уравнения
можно взять
(6.7−5)
Полагая х =0, получим
(6.7−6)
Действительно, поскольку
(6.7−7)
То подставляя полученное соотношение и равенство (6.7−6) в матричное уравнение
(6.7−8)
Имеем

(6.7−9)
т. е. матрица (6.7−6) является интегральной матрицей уравнения
Исследуем структуру интегральной матрицы (6.7−6) и покажем, что она определяется элементарными делителями матрицы, которые в свою очередь являются собственными значениями оператора дифференцирования.
Случай 1. Из линейной алгебры известно, что если матрица АТ -каноническая и диагональная
АТ=[l1, l2 , l3,…, ln]
а ее простые элементарные делители
l-l1, l-l2, l-l3, … , l-ln
соответствуют всем характеристическим числам матрицы AT экспоненциальной функции
то интегральная матрица в этом случае принимает вид
(6.7−10)
т.е. экспоненциальная функция от диагональной матрицы есть диагональная матрица, диагональными элементами которой являются соответствующие экспоненциальные функции.
В этом случае интегральная матрица также является диагональной матрицей.
(6.7−11)
Случай 2. Матрица АТ — каноническая квазидиагональная. Подобные квазидиагональные матрицы будут соответствовать некоторому развернутому иерархическому пространству, т. е. когда иерархические подпространства не пересекаются. Пусть
где
(6.7−13)
Матрица порядка h, в которой на главной диагонали стоит число li, на нижеследующей диагонали число 1, а все остальные элементы равны нулю. Отсюда следует, что
J1(lm)=lm
В матрице АT сумма всех показателей всех элементарных делителей равна ее порядку, т. е. h1+h2+ … +hn=n
А матрица вида (6.8−13) соответствует элементарным делителям
(l-l1)h1, (l-l2)h2, …, (l-lr)hr
где h1, … , hr — целые числа.
Поскольку пространству L<1,n> 1-го уровня иерархии удовлетворяют условия
h1=1, …, hr=r
то элементарные делители будут иметь вид
(l-l1)1, (l-l2)2, …, (l-lr)r
Аналогично, пространству L<2,n> будут соответствовать элементарные делители
(l-l1)1, (l-l2)3, (l-l2)6 … , (l-lr)r
Тогда в общем случае интегральная матрица принимает вид

(6.7−14)
Так как АT квазидиагональная матрица A1, A2, A3, …, Ar, то в силу того, что
можно получить тождество
Откуда
(6.7−15)
т. е. и в этом случае интегральная матрица (6.8−6) является также квазидиагональной.
По индукции можно сделать вывод, что интегральные матрицы иерархических пространств с более высоким уровнем иерархии также будут квазидиагональными. Выше мы показали, что каждому собственному вектору соответствует матрица собственных значений вида iA. Очевидно, что для оператора интегрирования матрица собственных значений будет равна iAT, где AT — транспонированная матрица. Рассмотрим теперь пространство с базисом e1, e2, …, en. Возьмем в этом базисе оператор F, задаваемый формулами
(6.7−16)
где lОN -поле целых чисел.
(6.7−17)
Матрица этого оператора в базисе e1, e2, …, en обозначается через Jn(l) и называется n-мерной жордановой клеткой, соответствующей числу l. На главной диагонали этой матрицы стоят числа, на параллельной ей сверху (или снизу) диагонали _ единицы, все остальные элементы жордановой клетки _ нули. Тогда базисную матрицу n-мерного иерархического пространства 1-го уровня иерархии можно записать в виде канонической жордановой формы (6.7−18).
(6.7−18)

Пусть теперь оператор F есть оператор дифференцирования вида (6.7−19)
Тогда, записывая этот оператор в клеточной форме, мы получим (6.7−20)
Действие оператора Fn(n) на жорданову форму порождает диагональную матрицу вида
(6.7−21)
где ,
Тогда из условия ортогональности строк и столбцов матрицы матрицу можно переписать в компактной форме
(6.7−22)
где
Условие ортогональности вытекает из геометрического смысла оператора дифференцирования. Теперь, в силу того, что полученная матрица имеет смысл треугольной матрицы, то зная одно единственное собственное значение, мы можем, используя некоторые рекурентные формулы, вычислить все остальные. И мы снова получим квазидиагональную матрицу, в которой на главной диагонали стоят «единицы» вида i,-1,-1, 1, i. В этом случае матрица Sn(n) будет содержать собственные значения векторов иерархического пространства. Можно также сказать, что матрица Ln(n) будет характеризовать «ориентацию» единичных собственных векторов иерархического пространства и в общем виде равна
(6.7−23)
где li, i= 1,., n характеризуют «веса» иерархических подпространств.
Тогда главная и побочные диагонали матрицы Sn(n) в общем случае будут содержать матрицы собственных значений, характеризующих отношение между собственными векторами оператора Fn(n). И эти

собственные значения таковы, что они составляют арифметические ряды вида
<1,1,1,1,1,… >
<1,2,3,4,5,… > (6.7−24)
<1,3,6, 10,… >
Эти отношения обладают тем свойством, что главное собственное значение в каждом случае равно сумме побочных собственных значений. Так, если побочные собственные значения составляют ряд <1,2,3,4,…, 4,3,2,1>,
то последовательность главных собственных значений уже образует следующий ряд
<1,3,6, 10,…, 10,6,3,1>
Этот процесс формирования собственных значений для иерархических пространств с более высоким уровнем иерархии можно описать, используя следующий оператор дифференцирования симметричной квазидиагональной жордановой формы
(6.7−25)
Смысл этого оператора будет заключаться в том, что он из матрицы Sn(n) «вырезает» два ее главных члена (главную и побочную диагональ _ две главные «гармоники»)
(6.7−26)
В результате мы получим новую жорданову форму (клетку), более высокого уровня иерархии, у которой на главной диагонали будут стоять собственные значения, составляющие ряд
<1,3,5,7,…, 7,5,3,1>.
Применяя к такой клетке оператор дифференцирования, мы получим матрицу, у которой на главной диагонали будет стоять последовательность чисел
<1,4,9,16,…, 16,9,4,1>
Таким образом, используя понятие инвариантных пространств, мы вычислили (или получили возможность вычислить) все их собственные значения в виде квазидиагональной матрицы. Так для 1-го уровня иерархии эти собственные значения можно отобразить в виде следующей матрицы -матрица групп симметрии 1-го уровня иерархии (6.7−27).
Матрицу групп симметрии 2-го уровня иерархии отображает матрица (6.7−28), а матрицу групп симметрии 3-го уровня иерархии соответственно выражение (6.7−29).
(6.7−27)

(6.7−28)
(6.7−29)
Ниже, при анализе Периодической системы химических элементов будет показано, что выражение (6.7−28) характеризует числовой состав и структуру подоболочек Периодической системы химических элементов, а выражение (6.7−29) характеризует уже структуру и состав оболочек. Это дает основание предположить, что весь спектр собственных значений и векторов подоболочек Периодической таблицы соответствует иерархическому пространству 2-го уровня иерархии. Именно этот спектр собственных значений и собственных векторов иерархического пространства определяет все его свойства, все его константы. Если внутренняя «сущность» собственных векторов является иерархическим пространством к-го уровня, то собственные вектора и собственные значения этого иерархического пространства, являющегося некоторым целостным объектом, могут служить базисными векторами и порождать новое более сложное иерархическое пространство к+1 _ го уровня иерархии, используя вышеприведенные математические зависимости.
Проблема теперь заключается в том, чтобы выяснить пределы этого иерархического пространства.
6.8. БАЗИСНЫЕ ФУНКЦИИ ИЕРАРХИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
Теперь наша задача заключается в том, чтобы путем последовательного использования оператора дифференцирования определить некоторый базисный набор функций eix, такой, чтобы линейный оператор дифференцирования имел бы простой спектр. Рассмотрим функцию eiАx. При последовательном дифференцировании и суммировании этой функции мы получим ряд
(6.8−1)
Обратная операция, интегрирование, дает
(6.8−2)
где АТ — транспонированная матрица А.
Здесь функция еiAx является собственным вектором оператора дифференцирования (интегрирования), а выражения в скобках- суть их собственные значения.
Все эти собственные значения различны. Следовательно, для того, чтобы спектр дифференцирования (интегрирования) имел простой спектр (при некоторых начальных условиях), необходимо, чтобы собственные

векторы были линейно независимыми.
Выше мы уже отмечали, что выбор длины собственного вектора определяется неоднозначно, но экспоненциальные функции обладают свойством естественной нормировки собственных векторов. Однако и в этом случае выбор длины все еще не однозначен. Так, если ек — собственный вектор, то еек - также собственный вектор. Если в иерархическом функциональном пространстве F n функция е играет роль базисной функции, т. е. базис иерархического пространства должен состоять из некоторого набора функций вида е, то этот набор должен быть ограниченным. Это может означать, что неоднозначность собственных векторов можно еще уменьшить, если нам известен уровень иерархии собственного вектора этого пространства. Попытаемся построить базис функционального иерархического пространства, используя функции вида
е, е-iх , -е,-е-iх (6.8−3)
Рассмотрим некоторые особенности этих функций, используя разложение этих функций в ряды
е= cos x +i sin x = 1 + ix — (x2/2!) — (ix3/3!) + (x4/4!) + (ix5/5!) -…
= - cos x — i sin x = -1 — ix + (x2/2!) + (ix3/3!) — (x4/4!) — (ix5/5) + … (6.8−4)
е-iх = cos x -i sin x = 1 — ix — (x2/2!) + (ix3/3!) + (x4/4!) — (ix5/5!) — …
-iх = - cos x +i sin x = -1 + ix + (x2/2!) — (ix3/3!) — (x4/4!) + (ix5/5!) + …
При некотором фиксированном х мы получим в комплексной плоскости упорядоченную последовательность значений членов этих разложений. Соединяя последовательно полученные точки на плоскости, мы получим семейства спиралей (рис. 6.8−1).
Эти ряды обладают замечательной особенностью, которая заключается в том, что если члены ряда изобразить в комплексной плоскости, то мы получим семейство спиралей. Для положительных функций (еи е-iх) эти спирали будут раскручивающимися. Для отрицательных функций функций (-еи -е-iх) спираль будет закручивающейся. Группируя полученные функции в соответствии с их «спиральностью», мы получаем всего две группы функций _ одна с правой «спиральностью», другая _ с левой. В каждой группе, состоящей из двух функций, одна функция от другой сдвинута на угол p. Из рисунка 6.8−1 видно, что противоположные элементы имеют одно и тоже направление «вращения», но сдвинутых по фазе, а обратные функции имеют противоположную спиральность. Используя элементарные преобразования, получим теперь для функции е следующую формулу- «экспоненциальную волну»:
е= еiх/2 еiх/2 = (cos x/2 +i sin x/2) еiх/2= еiх/2 cos x/2+i еiх/2 sin x/2
Анализ полученной формулы показывает, что аналогичные преобразования будут справедливы для любой экспоненциальной функции вида (6.9−4), которые иллюстрируют не только закономерность двойственности (зеркального сопряжения), но и математическую сущность этой двойственности. Из всего вышеизложенного можно сделать предположение о том, что живая и неживая Природа используют для своего развития (эволюции) одни и те же экспоненциальные «гены», один и тот же периодический закон, а «экспоненциальная волна» отражает основное свойство этого закона _ принцип высшей симметрии, принцип двойной спирали. Если мы сейчас включим в число рассматриваемых еще и комплексно-сопряженные функции
, iе-iх , -iе,-iе-iх
Рис. 6.8−1

и сгруппируем их в соответствии с их «спиральностью», то мы получим всего восемь различных экспоненциальных функций, которые могут быть использованы в качестве базисных функций пространства F n. Из этих восьми функций, 4 функции обладают правой спиральностью, а 4 _ левой. В этом находит свое проявление закономерность двойственности этих базисных функций.
Из них можно образовать следующий базисный набор для право _ и левоспиральных функций
, -е, iе, -iе> (6.8−5)
-iх , iе-iх , -е-iх , -iе-iх > (6.8−6)
если сейчас мы будем последовательно складывать одноименные функции какого-либо из двух базисных набора, то мы получим соответственно бесконечный правый или левый «винт», т. е. мы можем сказать, что экспоненциальные функции обладают «спином».
Таблица 6.8−1
Этот базисный набор функций обладает еще одним замечательным свойством, аналогия которого обнаруживается в любых других оболочках иерархических систем любой природы. Это свойство заключается в том, что базисные наборы образуют правый или левый винт только в том случае, если строго соблюдается последовательность их сопряжения в этих «винтах».
Таким образом, анализ свойств базисных правоспиральных функций (6.8−5), в соответствии с закономерностью о двойственности иерархических систем, и таблицы позволили уточнить состав подоболочек и оболочек иерархических систем (таблица 6.8−1). Особенность этих наборов базисных функций (правоспиральных или левоспиральных) заключается в том, что «спин» каждой очередной функции этого набора сдвинут относительно предыдущей на угол 1800, при этом последняя функция оказывается замкнутой на первую. Нечто подобное явление наблюдается в молекуле ДНК, в которой только четыре элемента (Аденин, Тимин, Гуанин и Цитин) служат для формирования двойной спирали ДНК. Если же в качестве противоположных базисных функций принять обратные базисные функции, то мы получим следующий набор
, е-iх , iе, iе-iх >
В этом наборе так же две первые функции обладают противоположным «спином», а две другие _ комплексно сопряжены с первыми. В математике есть еще одно замечательное число — мнимая единица . Еще никто не смог дать ответ на вопрос о том, почему это число играет такую важную роль в самых разных математических приложениях, почему теория комплексной переменной играет такую большую роль в самых разных научных приложениях. А происходит это потому, что мнимая единица обладает уникальными свойствами, которыми не обладает ни одно другое число. Так, последовательно умножая ее саму на себя, мы получим
т.е. мы получим только 4 разные взаимосвязанные базисные значения комплексных чисел, из которых построено все здание теории комплексного переменного. Поэтому можно сказать, что этот базисный набор отражает уникальные свойства собственного пространства 0-го уровня иерархии, имеющего базис . Из математики известно, что самыми фундаментальными операторами являются операторы дифференцирования и интегрирования, а экспоненциальные функции являются инвариантными относительно этих операторов. Например,
(6.8−7)

т. е. эти операторы изменяют только «вес» функции в комплексной плоскости.
Экспоненциальные функции имеют естественный механизм для перенормировки экспоненциальных подпространств любого уровня иерархии, т. к.
(6.8−8)
t
Рис. 6.8−2 Рис. 6.8−3
Из рис. 6.8−2 видно, что функции еibx и е-ibx обладают разной спиральностью и они зеркально симметричны. Они обладают противоположной двойственностью и образуют единичный целостный объект, который может быть использован для построения более сложного экспоненциального ряда, более сложной экспоненциальной спирали. Если функции вида eix и — eix связать с отношениями координации, а eix e-ix с отношениями субординации, то мы получим следующий способ формирования оболочек иерархических систем.
Вначале формируются подоболочки с отношениями координации. Затем они дополняются двойственными им подоболочками с противоположным «спином».
И как только оболочка полностью сформирована, то в результате ее замыкания она нормируется и тем самым получается целостная единичная оболочка, из которой можно «лепить» по тому же самому алгоритму следующую, более сложную оболочку. Кроме того, экспоненциальные функции обладают свойством дискретности, т. е. могут квантоваться. Например, разложение функции дает
или в более общем виде
где BBi — матрицы размерности r.
Из рис. 6.8−3 видно, что расщепление экспоненциальной функции в комплексной плоскости порождает пульсирующую волну, которая иллюстрирует универсальную закономерность движения
Из рис. 6.8−1 можно, видимо, сделать вывод, что в иерархическом экспоненциальном пространстве F n существуют, с учетом комплексного сопряжения, не более 8 функций, пригодных для использования в качестве базисных функций. Используя эти функции и учитывая, что переход к подпространству более высокого уровня иерархии осуществляется после естественного нормирования текущего экспоненциального подпространства, в результате чего образуется «начало координат» иерархического подпространства с более высоким уровнем иерархии. Выберем допустимые комбинации базисных функций, исходя из условий естественной их нормировки. Тогда мы получим следующие допустимые пары
, е-iх>,
, iе-iх>
<iе, е-iх> (6.8−9)
<iе, -iх>
аналогично для отрицательных базисных функций мы получим
<-е, -е-iх> ,
<-е, -iе-iх>
<-iе, -е-iх> (6.8−10)

<-iе, -iе-iх>
И снова мы получили только 8 допустимых комбинаций. Эти наборы могут характеризовать условия «замыкания» иерархических подоболочек в оболочки и правила формирования левых или правых спиралей. Наконец, из математики известно, что если ряд вида е + … + е изобразить в виде графика с логарифмической шкалой натуральных логарифмов, то мы получим график прямой линии, т. е. мы получим одномерное инвариантное пространство.
Анализ эволюции различных живых организмов или отдельных их видов, эволюции социальных формаций, исторических этапов планеты Земля, и т. д. показывает, что все эти этапы также могут быть изображены в логарифмической шкале времени. Поэтому можно утверждать, что мы имеем дело с закономерностью экспоненциального развития иерархических систем, которая в общем случае определяется базисным набором из восьми экспоненциальных функций.
6.9. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ИЕРАРХИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.
Под понятием положительной иерархической структуры мы будем понимать структуру, градиент сложности которой будет возрастать от периферии к центру. Это такие структуры, у которых вся масса распределена преимущественно в центре.
Аналогично, под отрицательной иерархической структурой мы будем понимать такую, градиент сложности которой направлен от центра к периферии. Такие структуры подобны мыльному пузырю, в котором подавляющая часть его массы распределена по периферии.
Группируя базисные функции по их знаку перед значением экспоненциальной функции, мы получим две группы базисных функций.
, iе, е-iх, iе-iх> (6.9−1)
<-е, -iе, -е-iх , -iе-iх> (6.9−2)
Выражение (6.9−1) характеризует положительные базисные функции иерархического пространства, а выражение (6.9−2) _ отрицательные.
Анализ положительных базисных функций показывает, что в первом наборе функции еи iе будут иметь одну спиральность, а функции е-iх и iе-iх — противоположную спиральность. Аналогично для отрицательных функций — еи -iе будут иметь одну спиральность, а функции -е-iх и -iе-iх — противоположную. Для того, чтобы из этих функций построить «винт», необходимо у обратных функций изменить «спиральность», за счет зеркального сопряжения их спинов.
В зависимости от того, у какой функции мы будем менять ориентацию спина, мы будем получать левую или правую спираль. Допустимые пары комбинаций для положительных базисных функций показывают, что компоненты этих пар представляют собой базисные функции с противоположной спиральностью.
6.10. НЕЙТРАЛЬНЫЕ ИЕРАРХИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.
Под нейтральными структурами будем понимать такие, у которых «масса сложности» равномерно распределена по всему иерархическому пространству. Из базисного набора, состоящего из 8 функций, можно образовать два вида нейтральных структур
Положительная нейтральная структура .
Этот вид иерархической структуры можно формировать только из положительных базисных функций
, iе, е-iх, iе-iх> , (6.10−1)
Выбирая из этих функций такие, которые в сумме дают нулевой «спин», мы получим 2 допустимых пары, характеризующие функциональные свойства положительных иерархических структур. В итоге мы снова получим только две комбинации
, е-iх> ,
<iе, -iх> (6.10−2)
Заметим, что в этих нейтральных структурах градиент сложности не равен нулю, и направлен от периферии к центру.

Отрицательная нейтральная структура .
Этот вид иерархической структуры можно формировать только из отрицательных структур
<-е, -iе, -е-iх , -iе-iх> (6.10−3)
Из этого набора можно получить только 2 допустимые пары. Группируя эти базисные функции таким же образом, мы получим два набора
<-е, -е-iх>
<-iе, -iе-iх> (6.10−4)
которые и характеризуют функциональные свойства отрицательных иерархических структур.
В этих иерархических структурах градиент возрастания их сложности направлен от центра к периферии. Таким образом, базисный набор из 8 экспоненциальных функций определяет все типы возможных комбинаций базисных векторов функциональных иерархических пространств.
Нейтральные структуры могут быть образованы и путем сопряжения отрицательных и положительных базисных функций, но только по границам их «сфер влияния».
6.11. СОБСТВЕННОЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Экспоненциальная зависимость в Природе является самой фундаментальной, а ее свойства просто уникальны. Рассмотрим в общих чертах принципы формирования собственных подпространств, с базисными функциями, рассмотренными выше. Вначале заметим, что в инвариантном собственном пространстве значение целевой функции от ее аргумента носят характер линейной зависимости. Такая зависимость существует, если значение целевой функции иерархического подпространства выразить через шкалу натуральных логарифмов. Следовательно, мы можем говорить о том, что для данного класса функционального иерархического пространства получили двойственный класс линейного иерархического пространства.
Из определения собственных подпространств следует, что при переходе от одного собственного подпространства к другому происходит изменение одного или нескольких собственных значений, включенного в состав трансформируемых при фазовых переходах собственных значений целевой функции системы. Поскольку собственные подпространства ведут себя как обычные инерциальные системы координат, то такой переход можно описывать следующим образом.
В момент перехода, который начинается в момент завершения формирования очередной подоболочки собственного подпространства системы, к собственной системе координат Уi+1, Оi+1, Х i+1 осуществляется изменение собственного параметра Xi, и начало собственной системы координат сдвигается по оси Xi на величину . После чего осуществляется естественная нормировка сформированной подоболочки. Пусть перед нормировкой мы будем иметь следующие экспоненциальные функции
и
Тогда при естественной нормировке мы будем иметь
Таким образом в результате нормировки экспоненциальных функций общий множитель оказался вынесенным за скобки. Он стал новым собственным значением новой системы координат. Когда собственная система координат получит информацию об аргументе своей целевой функции, она определит свою ориентацию относительно текущей системы координат и число «вакантных ниш» в новом собственном функциональном подпространстве.
Собственное подпространство данного класса будет иметь еще одну постоянную величину-сдвиг собственной системы координат относительно начала координат текущего собственного подпространства. Этот сдвиг характеризует «дефект массы» новой системы координат. Собственное подпространство как бы забывает о том, что оно в текущем собственном подпространстве уже имело какой-то «вес». Этот вес выносится «за скобки» нового собственного подпространства, т. е. собственное подпространство обладает свойством дискретности. В

нем элементарная функция является элементарным квантом, который одинаковым образом используется на любом уровне иерархии, усиливая его умножением на соответствующее собственное значение собственного иерархического подпространства. Это означает, что на любом уровне иерархии возмущения, возникшие в собственном подпространстве в рамках процесса саморегуляции, могут при передаче возмущений в другие собственные подпространства многократно усиливаться или уменьшаться точно также, как это имеет место, например, в электрических цепях.
Рис. 6.11−1
На рис. 6.11−1 показан фрагмент, демонстрирующий один из возможных вариантов формирования собственных подпространств экспоненциального пространства. Из рисунка следует, что структура всех собственных подпространств является локализованной в этих подпространствах и в соответствии с этим свои основные целевые функции выполняет независимо от целевых функций других собственных подпространств, т. е каждое собственное подпространство является как бы самодостаточным. При рассмотрении структуры ядерных подоболочек и оболочек эти принципы формирования собственных подпространств будут рассмотрены более подробно. Сейчас мы только заметим, что собственные значения, характеризующие сдвиг собственной системы координат относительно текущей системы координат и ориентации ее в пространстве (привязка) могут осуществляться следующим образом.
Каждое собственное подпространство получает в «наследство» информацию о двух самых последних сформированных собственных подпространствах (результирующий вектор), осуществляет в соответствии с этим сдвиг системы координат и ее ориентацию в пространстве. Затем формирует новый аргумент для базисной функции нового собственного подпространства. Этот аргумент содержит в себе всю необходимую информацию о всех «вакантных нишах» собственного подпространства, получая таким образом у Природы право на самостоятельное функционирование, в соответствии с принципами самоорганизации. Далеко не каждый претендент будет допущен в такую вакантную нишу. Собственное подпространство ревниво оберегает себя от несанкционированного проникновения «чужаков». Если их собственные значения отличаются от требуемых, то они просто не допускаются внутрь этого пространства. Если же собственное значение и аргумент целевой функции совпадает, то претендент впускается внутрь, где ему предоставляется возможность занять вакантную нишу и в соответствии с этим получить в этой нише постоянную прописку (ориентацию) в собственном подпространстве.
Таким образом, на входе собственного подпространства существуют эффективные фильтры, ответственные за связь с внешней средой. Если во внешней среде под воздействием возмущений произошло изменение собственных значений, участвующих в формировании собственного значения подпространства, то система немедленно скорректирует ориентацию в пространстве и сдвиг относительно начала координат соседнего собственного подпространства.
Выше были рассмотрены принципы формирования иерархических пространств с использованием производящих функций. Сейчас уже можно в принципе ставить вопрос о том, как Природа формирует эти производящие функции, используя элементарно простые правила.

В соответствии с закономерностью о двойственности систем Природа берет две последние собственные подоболочки, получает из них суммированием новое собственное значение целевой функции для новой собственной подсистемы, формируя тем самым очередной член ряда Фиббоначи, ответственного за рождение «золотого сечения», и осуществляет нормировку собственного подпространства с определением собственного аргумента целевой функции. Например, если аргумент целевой функции данного собственного подпространства будет равен 5х, то это может означать, что число «вакантных ниш» в данном иерархическом собственном подпространстве равно 5. Таким образом, базисные экспоненциальные функции является элементарными квантами, которые одинаковым образом могут использоваться на любом уровне иерархии и усиливаться путем умножения на соответствующее собственное значение собственного иерархического подпространства.
6.12. О ТЕОРИИ ПОДОБИЯ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Теория подобия, инвариантность, собственные иерархические подпространства и пространства являются одним из краеугольных камней фундамента теории иерархии. Из закономерности структурной ограниченности и замкнутости иерархических систем, а также закономерности двойственности иерархических систем следует, что каждый раз, когда возникает целостная иерархическая система, мы можем говорить об иерархической системе с новым уровнем иерархии. На этом уровне иерархии структура иерархической системы предыдущего уровня иерархии повторяется (и заключается) в одном элементе этой целостной системы, из которого будут строиться оболочки на новом уровне иерархии. Каждый такой элемент будет являться двойственным (внешняя или внутренняя). В первом случае мы будем иметь два элемента, обладающие некоторым набором противоположных свойств. Во втором случае мы будем иметь один элемент, но этот элемент будет обладать внутренней противоречивой (двойственной) структурой. Внутреннюю структуру такого элемента можно представить как диполь с двумя противоположными свойствами. Возникает возможность описания процесса эволюции иерархических систем в рамках некоторой общей теории подобия иерархических систем. Безусловно, в основе этой теории подобия должны лежать хорошо известные и широко используемые математические методы подобия (тел, фигур, структур, процессов, теорий и т. д.). Эта теория должна органически сочетать в себе теорию эволюции звезд, кристаллов, живых организмов, включая теорию Дарвина, теорию эволюции социальных систем, теорию эволюции искусственного разума. Одной из главных задач этого раздела милогии может стать задача описания явлений, связанных с различными проявлениями так называемой внутренней структурируемости объектов. Например, сколько бы мы ни старались отделить северный полюс магнита от южного, мы каждый раз получим новые магниты, имеющие два полюса. Другой пример — картина, записанная в виде голограммы. Если мы разобьем голограмму на части, то любой из осколков будет содержать информацию о всей картине. Тоже самое можно сказать и о генах. Последние достижения по клонированию живых организмов также свидетельствуют об удивительном явлении, когда из одной или нескольких клеток живого организма можно вырастить его точную копию. Сегодня наука уже стоит на пороге создания живых организмов, еще никогда не существовавших в природе, а это уже высший уровень практического освоения человеком достижений теории подобия, используемой природой. Последние достижения свидетельствуют о том, что человеческий разум вплотную приблизился к решению проблемы искусственного интеллекта. Хотим мы того или не хотим, процесс эволюции человеческого разума не остановить. Мы подходим к черте, за которой будет создан искусственный разум, превосходящий разум человека, т. к. этот разум создается не разумом отдельного человека, а Коллективным Разумом, которым обладает все человечество. Мы должны дать себе отчет в том, что сам разум изначально появился и совершенствовался как продукт коллективного мышления человечества. Каждый отдельный разумный индивидуум постоянно общался и взаимодействовал с коллективным разумом. Без этого появление мыслящего человека было бы невозможным. Человечество уже сегодня находится на таком этапе своей эволюции, когда Коллективный Разум готовится к переходу на качественно иной уровень «элементной базы» — уровень искусственного интеллекта, такой, что построенный на этой элементной базе система-искусственный Сверхразум будет превосходить по интеллекту любого отдельного человеческого индивидуума. Уже недалеко и то время, когда будут созданы гибридные человекомашинные интеллектуальные роботы. Действительно, если окружающая человечество среда в недалеком будущем окажется не пригодной для жизни живых организмов, то этот путь

окажется единственным путем сохранения высшего разума, когда подобные интеллектуальные роботы получат возможность к своему воспроизводству, например, с помощью клонирования. Теория подобия может стать инструментом для прогнозирования стратегических путей развития иерархических систем и получения рекомендаций по их дальнейшему использованию. Математический аппарат для такой теории существует и широко используется в естественных науках. В качестве примера здесь отметим только несколько аспектов. В естественных системах действуют естественные механизмы саморегулирования, самовоспроизведения и саморазвития. В основе этих механизмов самоорганизации систем лежат методы самоподобия, которые можно отнести к специфической теории, которую можно назвать теорией самоорганизации (самоподобия), вытекающей из закономерностей иерархии и, в первую очередь, закономерности о двойственности систем. Основы теории собственных подпространств, рассмотренные выше, могут стать основой для создания такой общей теории подобия.
На самых низших уровнях иерархии закономерность двойственности и другие закономерности эволюции иерархических систем проявляются как законы. По мере роста сложности иерархических систем, по мере их интеграции в более сложные иерархические системы, в которых оболочки и подоболочки являются не полностью вложенными друг в друга, а представляют упорядоченные цепочки. Поэтому в силу отношений мультидвойственности, подоболочки из разных подсистем и систем начинают взаимодействовать между собой. Между ними устанавливаются отношения координации. Эти отношения таковы, что сами по себе они не выводят из состояния «равновесия» эти оболочки (подоболочки) системы. Их порог чувствительности ниже порога выработки управляющего сигнала, который вывел бы из равновесия другие подоболочки системы, с которыми данная подоболочка находится в отношениях субординации, которые обладают большей чувствительностью к возмущениям и большим приоритетом. В результате интеграции возникает возможность сращивания между собой взаимодействующих оболочек и подоболочек, между которыми устанавливаются устойчивые контакты. Поэтому в таких системах, при увеличении числа уровней иерархии, «реликтовые» закономерности могут проявляться уже в других формах. Так одной из форм проявления генетической сущности подобных явлений являются фракталы. Пристальное внимание к подобным явлениям самоподобия (фрактальности) объектов исследователи начали проявлять в конце 50-х годов. Очень многие хаотичные, на первый взгляд, природные процессы, такие, например, как формирование геологических разломов, атмосферных явлений, береговой линии моря и т. д. обнаруживают некоторое самоподобие, т. е. геометрический рисунок возникающих образований оказывается очень похож, несмотря на различие в их размерах и ориентации. Для такого самоподобия было предложено понятие детерминированный хаос. Процессы зарождения из хаоса самоподобных фигур (фракталов) изучаются нелинейной неравновесной термодинамикой и математикой (фрактальная геометрия). К подобным процессам относят эпиденмии, изменение погоды и климата, работу органов живых существ и т. п. У самоподобных объектов часть подобна целому по некоторым параметрам. Фракталоподобные структуры образуют нейроны головного мозга, дыхательные пути и пучки кровеносных сосудов. Четко выраженная фрактальность может и должна наблюдаться в различных общественных структурах. Знание законов эволюции иерархических систем, знание законов «сращивания» подоболочек и оболочек разных систем может внести новый импульс в исследование явлений фрактальности, которые возникают в процессе взаимодействия иерархических систем друг с другом, в процессе их взаимопроникновения друг в друга, при условии устойчивых связей между ними. Явления самоподобия, двойственности, симметрии и асимметрии очень тесно связаны между собой. Так человек в процессе своей деятельности отражается в своей ауре, которая является зеркальной копией процессов, протекающих в живых клетках организма, демонстрируя яркий пример самоподобия. Явление самоподобия многогранны и являются следствием реализации механизмов самоорганизации. Эти явления оказывают влияние на все сферы деятельности человека, включая, например, и творчество, когда под влиянием ритмов (процессов), происходящих во внешней и внутренней среде человека, формируются вторичные процессы, которые проявляются в настроении, переживаниях и фиксируются в его творческих произведениях. В рамках теории подобия (самоподобия) может найти свое естественное объяснение и природа не понятных в настоящее время феноменов НЛО, которые наблюдались во все века. Подобно тому, как рождаются новые и гибнут старые звезды, так и феномены НЛО, и шаровые молнии могут рождаться по одним и тем же сценариям, с использованием

одних и тех же правил.
РЕЗЮМЕ
Содержание данной главы имеет важное значение для единой теории эволюции иерархических систем. В ней рассмотрены основные закономерности и свойства, присущие иерархическим пространствам.
1. Описаны основные свойства иерархических пространств. Впервые обоснованы принципы формирования собственных значений и собственных векторов этих пространств, которые играют роль фундаментальных констант и характеризуют свойства «начала координат» для этих пространств, а их многомерность возникает в результате многоуровневого строения.
2. Используя введенный формализм, получены неизвестные ранее алгоритмы формирования оболочек и подоболочек иерархических пространств. Эти алгоритмы, как это будет показано ниже, имеют фундаментальное значение для формирования оболочек самых нижних «этажей» Иерархии, в том числе для Периодической системы химических элементов, для электронных и ядерных оболочек атомов, для классификации элементарных частиц, для классификации звездного вещества. Можно с уверенностью сказать, что выявлена новая неизвестная ранее всеобщая закономерность строения материи, определены правила, по которым «господь бог играет в кости», создавая свои творения. 3. Из определения свойств иерархических пространств становится очевидной дискретность уровней иерархии. Важнейшим показателем сложности иерархического пространства является его спектр, который не только характеризует уровень иерархии этого пространства, но и количественный состав оболочек и подоболочек этого иерархического пространства. Дискретность иерархических пространств порождает дискретность их спектров. Поэтому числа, характеризующие в спектре иерархического пространства количественный состав его оболочек и подоболочек, являются квантовыми числами этого иерархического пространства. При анализе Периодической таблицы и ядерных оболочек будет показана полная тождественность квантовых чисел иерархических пространств основным квантовым числам, используемых в физике для описания процессов квантования уровней энергии атомов.
4. Проведен анализ некоторых важнейших классов производящих функций иерархических пространств. Ниже будет показано, что рассмотренные классы производящих функций лежат в основе описания структурных свойств Периодической системы химических элементов, ядерных оболочек, классификации элементарных частиц. Результаты этого системного анализа открывают перед исследователями новые неизвестные ранее закономерности строения материи.
5. Системный анализ Периодической системы химических элементов, ядерных оболочек, классификации элементарных частиц с единых методологических позиций был бы не возможен без использования методов анализа, составляющих основы новой теории, без использования производящих функций. Результаты этого системного анализа открывают перед исследователями новые неизвестные ранее закономерности строения материи.
6. Закономерности иерархии, описанные в данной части книги, лежат в основе естественных механизмов саморегуляции, самовоспроизведения и саморазвития всех без исключения иерархических систем, включая биологические и социальные организмы. Эти механизмы будут с успехом использованы при анализе Периодической системы химических элементов, элементарных частиц и звездных элементов.
7. Закономерности иерархии являются теми самыми фундаментальными аксиомами, используя которые такая наука как математика может описать весь мир. Только в этом случае будет преодолен принцип «порочного круга», преодолен кризис математики, который возникает на «песке» мультидвойственных, произвольно выбранных наборов тех или иных аксиом, порождая все новые и новые, не связанные друг с другом теории.
Глава 7. ЦЕЛЕВЫЕ ФУНКЦИИ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ
7.1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Само понятие функции близко к понятию цели. Оба эти понятия тесно связаны друг с другом. Функция системы характеризует проявление ее свойств в данной совокупности мультидвойственных отношений и представляет собой способ действия системы (в первую очередь, ее сенсорных оболочек и подоболочек) при взаимодействии с внешней средой. Поэтому функция системы характеризует функциональное предназначение системы или цель ее функционирования. Каждая оболочка (подоболочка) системы также имеет свою целевую

функцию (целевая функция оболочки системы). Совокупность целевых функций оболочек и подоболочек системы образует многоуровневую систему, из которой формируется единая самосогласованная целевая функция системы. Поэтому любая целевая функция характеризует целостность системы. Чем выше уровень самосогласованности целевой функции системы, тем выше ее целостность. Поэтому самосогласованность целевой функции является ее главным свойством, которое проявляется во всех системах, независимо от их природы. Например, в социальных системах, при принятии того или иного целевого решения, происходит вначале согласование его проекта с заинтересованными сторонами и т. д.
7.1.1. ДВОЙСТВЕННОСТЬ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ
Любая целевая функция системы носит системный характер. Поскольку любая иерархическая система характеризуется мультидвойственными отношениями с многоуровневым спектром двойственных отношений, то и целевая функция системы представляет собой спектр двойственных целевых функций ее оболочек и подоболочек. Именно из совокупности самосогласованных целевых функций оболочек, подоболочек и элементов формируется самосогласованная целевая функция всей системы. Поэтому можно сказать, что самосогласованность является основным свойством любой целевой функции системы, даже в том случае, если система представляет собой совокупность антагонистических оболочек. Такая самосогласованность может привести к тому, что целевые функции антагонистических оболочек будут «мирно сосуществовать» в такой системе. Мультидвойственные функциональные отношения «сотканы» в системе из двойственных. Поэтому какой бы сложной ни была целевая функция системы, она в конечном итоге формируется из элементарных двойственных функций, и эта двойственность проявляется в целевой функции системы. В различных разделах математики встречаются так называемые теоремы двойственности. Каждая из них позволяет для любого утверждения построить по определенному стандартному правилу другое утверждение таким образом, что из справедливости первого автоматически следует справедливость второго. Так, принцип двойственности известен в проективной геометрии. Другие примеры двойственности можно найти в литературе, посвященной алгебрам Буля. Замечательный пример теоремы двойственности мы встречаем в линейном программировании и других приложениях. Эти задачи обладают замечательными свойствами. Одно из них формулируется в теореме о двойственности.
Теорема. Если одна из двойственных задач 1 или 2 имеет решение, то и другая задача также имеет решение и при этом максимум функционала F1 равен минимуму функционала F2:
(7.1−1)
В качестве примера можно рассмотреть следующую задачу линейного программирования. Задачи этого типа очень широко используются в самых разных приложениях.
Данная задача может быть сформулирована следующим образом.
Дана система линейных уравнений
(7.1−2)
и линейная функция
(7.1−3)
Требуется найти такое неотрицательное решение системы

(7.1−4)
при котором функция F принимает наименьшее значение (минимизируется). Условия (7.1−2) называются ограничениями задачи. Строго говоря, условия (7.1−4) также являются ограничениями, однако их не принято так называть ввиду того, что они являются общими для всех задач линейного программирования. Целевая функция F в общем случае не является линейной. Переменные целевой функции определяют набор параметров системы, которые подвергаются изменениям в процессе функционирования системы в режиме саморегуляции.
Теорема (7.1−1) имеет чрезвычайно важное значение для систем с внешней двойственностью. Целевые функции таких систем являются противоположными друг другу. Поэтому понятно, что совокупность таких противоположных друг другу функций формируют единую самосогласованную целевую функцию (рис. 7.1.1−1) системы с внешней двойственностью. Если одна целевая функция подсистемы стремится к минимуму, а другая — к максимуму, то самосогласованная целевая функция такой системы представляет собой равновесную «цену» между минимумом и максимумом.
Рис. 7.1.1−1
Таким образом, самосогласованная функция систем с внешней двойственностью реализует принцип минимакса, а точка О (рис. 7.1.1−1) характеризует систему в стационарном состоянии. Принцип минимакса, характеризующий равновесное состояние систем, чрезвычайно широко известен во многих математических приложениях. Все это свидетельствует о том, что уже изначально в целевые функции системы природа заложила принцип оптимального управления процессами саморегуляции. Из практики нам известно, что значение самосогласованной целевой функции системы в большинстве случаев не равна нулю. Поэтому чаще всего в ней будет иметь преобладающее значение та или иная половинка целевой функции и, следовательно, она также будет стремиться к своему целевому минимуму или максимуму, демонстрируя таким образом многоуровневый характер процессов саморегулирования.
7.1.2. ОГРАНИЧЕНИЯ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ
Система ограничений, накладываемых на целевую функцию, определяют область ее допустимых решений. Допустимое решение, минимизирующее целевую функцию F (7.1−3) называют оптимальным. Если такое оптимальное решение существует, то оно является, как правило, единственным. Система ограничений определяет область допустимых решений в режиме саморегуляции системы. Ограничения целевой функции формируются из значений предельных параметров. Эти ограничения могут носить многоуровневый характер. Если в процессе функционирования системы какой-либо из этих предельных параметров превысит критическое значение, то начнутся соответствующие процессы трансформации самой целевой функции элемента, подоболочки, оболочки и системы в целом. Ограничения целевой функции можно разбить на две группы. К первой группе можно отнести ограничения, накладываемые на предельные параметры целевой функции. Эти параметры являются ответственными за границы «территории», в пределах которых существует данная целевая функция системы. Ко второй группе можно отнести ограничения, накладываемые на целевую функцию законами сохранения, существующими в рамках данной целевой функции системы.
7.1.3. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ
Целевая функция может содержать и содержит определенный набор постоянных значений (констант), которые будем называть собственными значениями системы. Основное свойство всех этих собственных значений (и собственных векторов) заключается в том, что они сохраняют свое значение (являются инвариантами) до тех

пор, пока существует система с заданными качественными характеристиками, пока существует ее целевая функция системы с заданными свойствами. Собственные значения могут быть абсолютными, т. е. не изменять своего значения в течении всего жизненного цикла системы, а могут носить и локальный характер. Набор локальных собственных значений характеризует некоторое семейство «родственных» систем, имеющих одну и ту же целевую функцию, но отличающуюся некоторыми дополнительными ограничениями, накладываемыми на локальные собственные значения в некотором собственном иерархическом подпространстве.
7.1.4. СОБСТВЕННЫЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ
Все законы сохранения являются естественным следствием закона сохранения двойственности систем, ее целостности. Законы симметрии и асимметрии также являются формами проявления законов и закономерностей двойственности. Законы сохранения двойственности и законы симметрии, в силу того, что они обязаны своим происхождением одним и тем же законам иерархии, являются взаимосвязанными. Целевая функция, помимо собственных значений и собственных векторов системы, может содержать собственные законы сохранения, справедливые для этой системы. Как правило, локальные законы сохранения характеризуют свойство двойственности определенных параметров системы, которые взаимодействуют друг с другом. Эта двойственность проявляется в том, что многие законы сохранения носят вид
где и - некоторые двойственные параметры системы.
Многие законы сохранения, известные человечеству, имеют именно такой вид. Собственные законы сохранения системы накладывают дополнительные ограничения на целевую функцию системы, которые описываются функциями, имеющих в рамках данной системы постоянное значение. Собственные законы сохранения могут носить как абсолютный, так и относительный характер. В последнем случае мы также будем иметь некоторое семейство родственных систем, имеющих одну и ту же целевую функцию, и отличающихся только дополнительными ограничениями, накладываемыми на собственные законы сохранения.
7.1.5. ВЗАИМОСВЯЗЬ ЦЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ С ЗАКОНАМИ ИЕРАРХИИ
Целевые функции системы очень тесно связаны с самыми фундаментальными законами иерархии, закономерностями Природы, составляющими основу новой науки. На рис. 7.1.5−1 приведена схема, характеризующая иерархию законов Природы и их взаимосвязь с целевыми функциями. Законы и закономерности новой науки являются самыми фундаментальными законами и закономерностями Природы, которые непосредственно связаны с целевыми функциями систем. Ниже приведена схема, характеризующая иерархию законов Природы и их связь с целевыми функциями иерархических систем. Из рисунка видно, что на самом верхнем уровне иерархии располагаются законы и закономерности милогии. Из рисунка видно, что единственным и самым фундаментальным законом милогии является закон зарядово-спиновой перенормировки. Сущность этого закона будет приведена ниже (часть 3, глава 3).
На втором уровне иерархии располагаются законы сохранения и законы симметрии и асимметрии. Эти законы непосредственно вытекают из законов и закономерностей новой науки. На третьем уровне иерархии, или третью оболочку законов природы, составляют собственно целевые функции иерархических систем и вытекающие из них принципы самоорганизации этих систем.
На четвертом уровне располагаются все известные из прикладных наук законы. При этом самую верхнюю оболочку этих законов составляют законы диалектики и категории философской глобалистики. Эти законы и категории будут играть роль методологического фундамента прикладных наук. Взаимосвязанность и взаимозависимость наук приводит к тому, что все «прикладные» законы и закономерности также имеют многоуровневую структуру и их можно классифицировать по различным признакам. Одни из них могут носить всеобщий характер, другие — общий, третьи нести в себе специфические особенности конкретных систем и т. д. Каждая иерархическая система, независимо от ее природы, имеет свою целевую функцию, которая формируется под влиянием законов милогии и вытекающих из них законов сохранения, симметрии и асимметрии.
Целевые функции подсистем характеризуются отношениями субординации и координации. Любая целевая

функция является более чувствительной к отношениям субординации, чем к отношениям координации. Кроме того, отношения субординации всегда имеют приоритет перед отношениями координации. По этой причине целевые функции с отношениями субординации следует называть основными, а целевые функции с отношениями координации — дополнительными целевыми функциями.
Рис. 7.1.5−1
Любая целевая функция системы обладает двойственностью. Она имеет два противоположных функциональных полюса, в которых принимает соответственно минимальное и максимальное значение.
Любая целевая функция имеет свой собственный набор предельных параметров. Если значения этих параметров превысят критический уровень, то система начинает процесс трансформации в качественно новое состояние или, в противном случае, она будет разрушена.
Любая целевая функция содержит индивидуальный набор двойственных параметров и, следовательно, законы сохранения этих двойственных параметров.
Любая целевая функция системы имеет свой индивидуальный набор собственных значений и собственных векторов, которые в рамках системы данного качества являются неизменными и играют роль констант.
Любая целевая функция иерархической системы имеет многоуровневый характер. На каждом уровне иерархии существует собственная целевая функция, и, следовательно, каждый уровень иерархии может характеризоваться индивидуальными наборами собственных значений (и векторов), ограничений (предельных параметров), законов сохранения двойственных параметров, которые будут носить локальный характер. Каждый

уровень иерархии системы может характеризоваться собственными ритмами «жизни» (собственным временем).
Из особенностей функционирования и свойств целевых функций вытекают принципы их самоорганизации. Эти принципы в полной мере относятся и к целевым функциям социальных систем, с той разницей, что для социальных систем эти принципы формулируются как принципы высшей демократии (часть 4). Принципы самоорганизации характеризуют жизнеспособность целевых функций всех систем, независимо от их природы. Из рис. 7.1.5−1 видно, что законы иерархии и целевые функции системы тесно переплетены. Их очень трудно отделить друг от друга. Такая тесная связь целевых функций с законами иерархии наводит на мысль о том, что они замкнуты друг на друга, что свойства целевых функций систем могут быть источником рождения законов иерархии. По крайней мере, можно утверждать, что «потенциальная яма» целевой функции системы описывает все ее возможные состояния и возможные состояния всех ее основных и дополнительных целевых функций. При этом в каждый момент времени эти целевые функции могут находиться только в одном из устойчивых состояний, предусмотренных данным функциональным иерархическим пространством системы. При этом каждое устойчивое состояние целевой функции порождается процессами саморегуляции, в результате которых и возникают самосогласованные поля самой разной физической природы.
7.1.6. О «СКРЫТОЙ МАССЕ» ЦЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
В силу многоуровневого строения целевая функция иерархических систем складывается из целевых функций их оболочек, подоболочек и отдельных элементов. Поскольку каждая из целевых функций оболочек, подоболочек имеет свой собственный вектор направленности, то сумма всех этих целевых векторов будет больше по абсолютной величине, чем вектор целевой функции системы. Поэтому любая целевая функция может содержать «скрытую массу». Возможно, что именно это свойство целевых функций лежит в основе понятия целостности системы, а также известного из физики явления «дефекта массы».
Можно сказать, что «масса» является надводной частью «айсберга» любой системы, не зависимо от ее природы. Так, рассматривая проблему сознания, можно сказать, что все наши поступки, сознательные и бессознательные, гнездятся в нашем подсознании. Сознание человека составляет только видимую часть айсберга «сознание + подсознание», «скрытая масса» сознания лежит в подсознании. Поэтому именно эта «скрытая масса» сознания характеризует самодостаточность любого индивидуума.
7.2. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
Свойство двойственности целевой функции системы, имеющей два противоположных полюса (минимум и максимум целевой функции), означает, что система существует в рамках данного качества только до тех пор, пока ее целевая функция не выходит за рамки предельных значений. При нарушении этого главного ограничения происходит трансформация целевой функции в новое состояние, а соответственно и переход системы в новое качество. Процессы трансформации целевых функций из одного состояния в другое характеризуется фазовыми переходами, в процессе которых происходит смена ограничений системы. Поэтому в общем случае под фазовым переходом системы из одного состояния в другое будем понимать такую ее трансформацию, при которой одно или несколько ее собственных значений становятся переменными целевой функции, изменение которых происходит в строго определенных пределах. Это означает, что фазовый переход характеризует трансформацию системы в качественно новое состояние. Аналогом фазовых переходов в теории управления служат переходные процессы. Фазовый переход заканчивается, когда переменная перестает изменяться, т. е. становится новым собственным значением системы в ее новом состоянии. Фазовые переходы происходят в особых сингулярных точках, которые существуют практически во всех иерархических системах.
Состояние системы, при котором происходит процесс трансформации одного или нескольких собственных значений, будем называть в дальнейшем 0-переходом. Так, при запуске спутника Земли начинается фазовый переход из одного состояния в другое. Фазовый переход заканчивается при выводе спутника на орбиту. При недостаточной для вывода на орбиту скорости разгона объект возвращается в исходное состояние (падение на Землю). Фазовый переход от жизни к смерти заканчивается смертью живого организма. Если болезнь излечима, то состояние организма возвращается к исходному.

В физике точками 0-переходов могут служить точки кипения, замерзания, плавления и т. д. При превращениях элементарных частиц фазовые переходы описывают процесс перемещения частиц из одной потенциальной ямы в другую.
В конечном счете, при завершении фазового перехода система переходит на другой уровень иерархии или возвращается в исходное состояние. Естественно, что в набор собственных значений системы должны вход